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【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 10-1随机抽样 新人教A版

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10-1 随机抽样
基础巩固强化 1.问题:①三种不同的容器中分别装有同一型号的零件 400 个、200 个、150 个,现在 要从这 750 个零件中抽取一个容量为 50 的样本;②从 20 名学生中选出 3 名参加座谈会. 方法:Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法. 其中问题与方法能配对的是( )

A.①Ⅰ,②Ⅱ C.①Ⅱ,②Ⅰ
[答案] C

B.①Ⅲ,②Ⅰ D.①Ⅲ,②Ⅱ

[解析] ①容器与抽取的样本无关,且总体数比较大,故可用系统抽样来抽取样本,② 总体与样本都较少,可用随机抽样法.故选 C. 2.(2013·安徽省安庆二中第一学期段考)某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数 如表,已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19,现用分层抽样的 方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( 一年级 女生 男生 373 377 二年级 x 370 ) 三年级 y z

A.24
[答案] C

B.18

C.16

D.12

[解析] 由条件知,二年级女生有 2000×0.19=380 名, ∴三年级有学生 2000-(373+377+380+370)=500 名, 64 由分层抽样定义知,在三年级应抽取 500× =16 名. 2000 3.(2012·浙江嘉兴基础测试)一个单位有职工 80 人,其中业务人员 56 人,管理人员 8 人,服务人员 16 人,为了解职工的某种情况,决定采取分层抽样的方法,抽取一个容量 为 10 的样本,每个管理人员被抽到的概率为( )

A. C.

1 80 1 8

B. D.

1 24 1 4

[答案] C [解析] 本题主要考查分层抽样的特点. 据题意管理人员这一层中每个个体被抽到的概 10 1 率等于从总体中抽取 10 个样本每个个体被抽取的概率,即其概率为 = . 80 8

1

4.(文)将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,?,600.采用系统抽样方法抽取 一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003,这 600 名学生分住在三个营区.从 001 到 300 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区.三个营区被抽中 的人数依次为( )

A.26,16,8 C.25,16,9
[答案] B

B.25,17,8 D.24,17,9

[解析] 根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为

600 =12,故抽取的号码构成以 3 50

为首项,公差为 12 的等差数列.在第Ⅰ营区 001~300 号恰好有 25 组,故抽取 25 人,在第 Ⅱ营区 301~495 号有 195 人,共有 16 组多 3 人,因为抽取的第一个数是 3,所以Ⅱ营区共 抽取 17 人,剩余 50-25-17=8 人需从Ⅲ营区抽取. (理)(2012·山东理, 4)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查. 为此将他 们随机编号为 1,2,?,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽 到的 32 人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B, 其余的人做问卷 C,则抽到的人中,做问卷 B 的人数为( )

A.7 C.10
[答案] C

B.9 D.15

[解析] 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人,将整体分成 32 组,每组 30 人,即 l=30, k 组的号码为(k-1)30+9, 451≤(k-1)30+9≤750, k∈Z, 第 令 而 解得 16≤k≤25, 则满足 16≤k≤25 的整数 k 有 10 个. 5.(文)(2011·安徽名校联考)某市电视台为调查节目收视率,想从全市 3 个区按人口 数用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本,已知 3 个区人口数之比为 2?3?5,如果最 多的一个区抽出的个体数是 60,则这个样本的容量=( A.96 C.180 [答案] B [解析] 设样本容量为 n,则 ∴n=120. (理)(2012·大连部分中学联考)某公司有普通职员 150 人、中级管理人员 40 人、高级 管理人员 10 人, 现采用分层抽样的方法从这 200 人中抽取 40 人进行问卷调查, 若在已抽取 的 40 人的问卷中随机抽取一张,则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为 ( )
2

)

B.120 D.240

5 60 = , 2+3+5 n

A. C.

1 4 1 20

B. D.

1 5 1 100

[答案] C [解析] 由分层抽样知,在普通职员中抽 30 人,中级管理人员抽 8 人,高级管理人员 中抽 2 人.由古典概型知,所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为 1 ,选 C. 20

6.某企业三月中旬生产 A、B、C 三种产品共 3000 件,根据分层抽样的结果,企业统计 员制作了如下的统计表格.由于不小心,表格中 A、C 产品的有关数据已被污染看不清楚, 统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10 件,根据以上信息,可得 C 产品的 数量是( ) 产品类别 产品数量(件) 样本容量(件) A.900 件 C.90 件 [答案] B B.800 件 D.80 件

A

B
1300 130

C

?x+y+1300=3000, ? [解析] 设 A、 产品数量分别为 x 件、 件, C y 则由题意可得: ? 130 ?? x-y? ×1300=10, ?
∴?
? ?x+y=1700, ? ?x-y=100,

∴?

? ?x=900, ? ?y=800.

故选 B. 7.一个总体分为 A、B 两层,其个体数之比为 4?1,用分层抽样法从总体中抽取一个 1 容量为 10 的样本,已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为 ,则总体中的个体数是________. 28 [答案] 40 [解析] 设 x、 分别表示 A、 两层的个体数, y B 由题设易知 B 层中应抽取的个体数为 2, ∴ 2

y? y-1?

1 = ,解得 y=8 或 y=-7(舍去),∵x?y=4?1,∴x=32,x+y=40. 28

8.(2011·安徽皖南八校联考)某班有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名 学生中抽出 10 名学生,将这 50 名学生随机编号 1~50 号,并分组,第一组 1~5 号,第二 组 6~10 号,??,第十组 46~50 号,若在第三组中抽得号码为 12 的学生,则在第八组中 抽得号码为________的学生.

3

[答案] 37 [解析] 组距为 5,(8-3)×5+12=37. 9.(2011·蚌埠二中质检)某工厂对一批产品进行抽样检测,根据抽样检测后的产品净 重(单位:g)数据绘制的频率分布直方图如图所示,已知产品净重的范围是[96,106],若样 本中净重在[96,100)的产品个数是 24,则样本中净重在[98,104)的产品个数是________.

[答案] 60 [解析] 设样本容量为 x,则 x·(0.05+0.1)×2=24,∴ x=80,∴样本中净重在

[98,104)的产品个数是 x·(0.1+0.15+0.125)×2=80×0.375×2=60. 10.(文)(2011·北京石景山测试)为预防甲型 H1N1 病毒暴发,某生物技术公司研制出 一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于 90%,则认为测试没有通 过),公司选定 2000 个流感样本分成三组,测试结果如下表:

A组
疫苗有效 673

B组 x

C组 y

疫苗无效

77

90

z

已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,问应在 C 组抽取多少个? (3)已知 y≥465,z≥30,求不能通过测试的概率. [解析] (1)∵在全体样本中随机抽取 1 个,抽取 B 组疫苗有效的概率约为其频率,即 =0.33, 2000 ∴x=660. (2)C 组样本个数为 y+z=2000-(673+77+660+90)=500,
4

x

360 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,则应在 C 组抽取个数为 2000 ×500=90. (3)设测试不能通过的事件为 A,C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y,z),由(2) 知 y+z=500,且 y,z∈N,所有基本事件有:(465,35),(466,34),(467,33),(468,32), (469,31),(470,30)共 6 个, 若测试不能通过,则 77+90+z>2000×(1-0.9),即 z>33, 2 1 事件 A 包含的基本事件有:(465,35),(466,34)共 2 个,∴P(A)= = ,故不能通过测 6 3 1 试的概率为 . 3 (理)有关部门要了解地震预防知识在学校的普及情况,命制了一份有 10 道题的问卷到 各学校做问卷调查.某中学 A、B 两个班各被随机抽取 5 名学生接受问卷调查,A 班 5 名学 生得分为 5、8、9、9、9;B 班 5 名学生得分为 6、7、8、9、10. (1)请你估计 A、B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些; (2)如果把 B 班 5 名学生的得分看成一个总体,并用简单随机抽样方法从中抽取样本容 量为 2 的样本,求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于 1 的概率. 1 2 [解析] (1)∵A 班的 5 名学生的平均得分为(5+8+9+9+9)÷5=8, 方差 s1= [(5- 5 8) +(8-8) +(9-8) +(9-8) +(9-8) ]=2.4;
2 2 2 2 2

B 班的 5 名学生的平均得分为(6+7+8+9+10)÷5=8,方差 s2= [(6-8)2+(7-8)2 2
+(8-8) +(9-8) +(10-8) ]=2. ∴s1>s2. ∴B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些. (2)从 B 班 5 名同学中用简单随机抽样方法抽取容量为 2 的样本共有不同抽法有 10 种, - 1 ∵总体平均数为 x = ×(6+7+8+9+10)=8,∴其中样本 6 和 7,6 和 8,8 和 10,9 和 10 5 4 2 的平均数满足条件,故所求的概率为 = . 10 5 能力拓展提升 11.(2011·北京东城模拟)在 100 个零件中,有一级品 20 个,二级品 30 个,三级品 50 个,从中抽取 20 个作为样本. ①采用简单随机抽样法:抽签取出 20 个样本; ②采用系统抽样法:将零件编号为 00,01,??,99,然后平均分 20 组抽取 20 个样本; ③采用分层抽样法:从一级品,二级品,三级品中共抽取 20 个样本.
5
2 2 2 2 2

1 5

下列说法正确的是(

)

A.无论采用哪种方法,这 100 个零件中每一个零件被抽到的概率都相等 B.①②两种抽样方法,这 100 个零件中每一个零件被抽到的概率都相等;③并非如此 C.①③两种抽样方法,这 100 个零件中每一个零件被抽到的概率都相等;②并非如此 D.采用不同的抽样方法,这 100 个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的 [答案] A 12.(2011·深圳模拟)某学校在校学生 2000 人,为了迎接“2010 年广州亚运会”,学 校举行了“迎亚运”跑步和登山比赛活动, 每人都参加而且只参与其中一项比赛, 各年级参 与比赛的人数情况如下表: 高一年级 跑步人数 登山人数 高二年级 高三年级

a x

b y

c z

1 其中 a?b?c=2?5?3,全校参与登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动 4 的满意程度,从中抽取一个 200 人的样本进行调查,则高三年级参与跑步的学生中应抽取 ( ) A.15 人 C.40 人 [答案] D [解析] 3 3 由题意,全校参与跑步的人数占总人数的 ,高三年级参与跑步的人数为 4 4 B.30 人 D.45 人

3 1 ×2000× =450,由分层抽样的概念知,高三年级参与跑步的学生中应抽取 ×450=45 10 10 人,故选 D. 13. (文)(2011·九江二模)某工厂的三个车间在 12 月份共生产了 3600 双皮靴, 在出厂 前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的 产品数分别为 a、b、c,且 a、b、c 构成等差数列,则第二车间生产的产品数为( A.800 C.1200 [答案] C [解析] 因为 a、b、c 成等差数列,所以 2b=a+c, ∴ B.1000 D.1500 )

a+b+c
3

=b, ∴第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一, 根据分层抽样的

性质可知,第二车间生产的产品数占总数的三分之一,即为 1200 双皮靴.

6

(理)

某校对高三年级的学生进行体检, 现将高三男生的体重(单位: kg)数据进行整理后分成 六组,并绘制频率分布直方图(如图所示).已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为 0.16、0.07,第一、第二、第三小组的频率成等比数列,第三、第四、第五、第六小组的频 率成等差数列,且第三小组的频数为 100,则该校高三年级的男生总数为( A.480 C.420 [答案] D [解析] 设第一、第二、第三小组的频率构成的等比数列公比为 q,第三、第四、第五、 第六小组的频率构成的等差数列公差为 d,则由题意知
? ?0.16+0.16q+0.16q +? ? 2 ?0.16q +3d=0.07, ?
2

)

B.440 D.400

0.16q +d? +?

2

0.16q +2d?

2

+?

0.16q +3d? =1,

2

?0.16+0.16q+0.64q +6d=1, ? 即? 2 ? ?0.16q +3d=0.07.

2

消去 d 得,16q +8q-35=0. 5 ∵q>0,∴q= . 4 ∴第三组的频率 P=0.16q =0.25. 设男生总数为 x,则 x×25%=100,∴x=400. 14.(2012·浙江文,11)某个年级有男生 560 人,女生 420 人,用分层抽样的方法从该 年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本,则此样本中男生人数为________. [答案] 160 280 2 [解析] 本题考查了分层抽样的特点,因抽样比为 = ,所以样本中男生数应 560+420 7
7
2

2

2 为 560× =160. 7 分层抽样是按比例抽取,一定要先找出抽样比. 15. (2011·西安模拟)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况, 拟采用分层抽样的 方法从 A,B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查.已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工 厂. (1)求从 A,B,C 区中应分别抽取的工厂个数; (2)若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比,用列举法计算这 2 个 工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率. 7 1 [解析] (1)工厂总数为 18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数的比为 = , 63 9 所以从 A、B、C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2. (2)记从 A 区抽取的两个工厂为 A1、A2,从 B 区抽取的三个工厂为 B1、B2、B3,从 C 区抽 取的两个工厂为 C1、C2,从这七个工厂中随机抽取两个,基本事件空间 Ω ={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2), (A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1), (B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2)}中共有 21 个基本事件,其中事件 A=“这两个工厂 11 中至少有一个来自 A 区”中含有 11 个基本事件,∴P(A)= . 21 16.(2011·安徽淮南一模)某中学的高二(1)班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师 按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组. (1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项试验,方法是先 从小组里选出 1 名同学做试验, 该同学做完后, 再从小组内剩下的同学中选一名同学做试验, 求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率; (3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为 68,70,71,72,74,第二次做试 验的同学得到的试验数据为 69,70,70,72,74,请问哪位同学的试验更稳定?并说明理由. 4 1 1 [解析] (1)P= = ,∴某同学被抽到的概率为 . 60 15 15 45 x 设有 x 名男同学,则 = ,∴x=3. 60 4 ∴男、女同学的人数分别为 3,1. (2)把 3 名男同学和 1 名女同学记为 a1,a2,a3,b,用(x,y)记录第一次抽到学生编码 为 x,第二次抽到学生编码为 y,则选取两名同学的基本事件有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b), (a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3)共

8

12 种,其中有一名女同学的有 6 种, ∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为

P= = .
- 68+70+71+72+74 (3) x 1= =71, 5 -

6 12

1 2

x 2=
2 1

69+70+70+72+74 =71, 5
2

? 68-71? s=

+?+? 5 +?+? 5

74-71? 74-71?

2

=4,
2

s2= 2

?

69-71?

2

=3.2.

第二位同学的试验更稳定.

1. 为了检查某超市货架上的奶粉中维生素的含量, 要从编号依次为 1 到 50 的袋装奶粉 中抽取 5 袋进行检验,用系统抽样方法确定所选取的 5 袋奶粉的编号可能是( A.5,10,15,20,25 C.1,2,3,4,5 [答案] D 50 [解析] 由系统抽样的概念知,抽样间距应为 =10,故选 D. 5 2.为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有 52 名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽到一个容量为 4 的样本,已知 7 号、33 号、46 号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是( A.13 C.20 [答案] C 52 [解析] 由系统抽样的原理知抽样的间隔为 =13, 故抽取的样本的编号分别为 7,7+ 4 13,7+13×2,7+13×3,即 7 号、20 号、33 号、46 号,从而可知选 C. 3.做了一次关于“手机垃圾短信”的调查,在 A、B、C、D 四个单位回收的问卷依次成 等差数列,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为 100 的样本,若在 B 单位抽取 20 份问 卷,则在 D 单位抽取的问卷份数是( A.30 份 ) B.35 份 B.19 D.51 ) B.2,4,8,16,32 D.7,17,27,37,47 )

9

C.40 份 [答案] C

D.65 份

[解析] 由条件可设从 A、B、C、D 四个单位回收问卷数依次为 20-d,20,20+d,20+ 2d,则(20-d)+20+(20+d)+(20+2d)=100,∴d=10, ∴D 单位回收问卷 20+2d=40 份. 4.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画了样本 的频率分布直方图(如下图),为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从 这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在(2500,3000)(元)月收入段 应抽出的人数为( )

A.25 C.35 [答案] A

B.30 D.40

[解析] 抽出的人数为:0.0005×500×100=25,选 A. 5.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为 n 的样本,其频 率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)的同学有 30 人,若想在这 n 个人中抽取 50 个 人,则在[50,60)之间应抽取的人数为( )

10

A.10 C.25 [答案] B [解析] 根据频率分布直方图得总人数

B.15 D.30

n=

30 1-? 0.01+0.024+0.036?

×10

=100,依题意知,应采取分层抽样,再根据分层

30 抽样的特点,则在[50,60)之间应抽取的人数为 50× =15. 100 6.一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本.已 1 知 B 层中每个个体被抽到的概率都是 ,则总体中的个体数为________. 12 [答案] 240 [解析] 由分层抽样的定义知,B 层中每个个体与总体中每个个体被抽到的机会相等, 1 故总体中的个体数为 20÷ =240. 12 7.(2012·河南郑州市质检)郑州市某学校为了促进教师业务能力的提升,决定组织部 分学科教师参加市达标课活动,规定用分层抽样的方法,先从语文、英语、政治、历史、地 理学科中抽取部分教师参加,各学科教师人数分布表如下: 学科 人数 抽取人数 (1)求 a,b,c 的值; (2)若要在历史和地理学科已抽取的教师中,随机选取两名教师参加市教学技能竞赛, 求抽取的两位教师全是历史教师的概率. [解析] (1) 因 为 语 文 、英 语 、 政 治 、 历 史 、 地理 这 5 个 学 科 的 总 人 数之 比 为 语文 24 8 英语 24 8 政治 15 历史 12 地理 9

a

b

c

8?8?5?4?3,所以按照分层抽样各学科抽取的教师人数分别为 8 人、8 人、5 人、4 人、 3 人. 故 a=5,b=4,c=3. (2)设历史教师分别记为 x1、x2、x3、x4,地理教师分别记为 y1、y2、y3, 则抽取两位教师可以是(x1,y1),(x1,y2),(x1,y3),(x2,y1),(x2,y2),(x2,y3), (x3,y1),(x3,y2),(x3,y3),(x4,y1),(x4,y2),(x4,y3),(x1,x2),(x1,x3),(x1,x4), (x2,x3),(x2,x4),(x3,x4),(y1,y2),(y1,y3),(y2,y3),共 21 种情况; 抽取的两位教师全是历史教师有(x1,x2),(x1,x3),(x1,x4),(x2,x3),(x2,x4),(x3,

x4),共 6 种情况.

11

6 2 所以抽取的两位教师全是历史教师的概率为 = . 21 7

12


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