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高考数学考点专题:坐标系与参数方程、不等式选讲:坐标系

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坐标系 【考点梳理】 1.坐标系 (1)坐标变换 x?λ>0? ?x′=λ· 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:? 的作 y?μ>0? ?y′=μ· 用下, 点 P(x,y)对应到点(λx,μy),称 φ 为坐标系中的伸缩变换. (2)极坐标系 在平面内取一个定点 O,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴;再 选一个长度单位, 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样 就建立了一个极坐标系. 设 M 是平面内任意一点, 极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径, 记为 ρ; 以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ,有序数对 (ρ,θ)叫做点 M 的极坐标,记为 M(ρ,θ). 2.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同 的长度单位.设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ, ρ2=x2+y2 ? ? ?x=ρcos θ θ),则? ,? . y tan θ=x?x≠0? ?y=ρsin θ ? ? 【教材改编】 1 ? ?x′= x 2 得到曲线 C, 1. (选修 4-4 P5 思考改编)曲线 y=sin x 经过变换? 则曲 ? ?y′=3y 线 C 的( ) B.T=4π,ymax=3 1 D.T=4π,ymax=3 A.T=π,ymax=3 1 C.T=π,ymax=3 [答案] A [解析] 1 ? ?x′= x 2 代入 y=sin x 得 将? ? ?y′=3y 1 3y′=sin 2x′, 即 y′=3 sin2x′. 即曲线 C 的解析式为 2π y=3sin 2x,故 T= 2 =π,ymax=3.故选 A. 2.(选修 4-4 P8 习题 T5 改编)椭圆 C:x2+9y2=9 经过变换 Γ 后变成圆 x2+y2 =1.则变换 Γ 可能为( ?x′=3x A.? ?y′=y ?x′=x C.? ?y′=3y [答案] [解析] B ?x′=λx, 设变换 Γ:? ?y′=μy, ) 1 ? ?x′= x 3 B.? ? ?y′=y x′=x ? ? D.? 1 y′=3y ? ? ?x′? ?y′?2 ? ? =9, 将 Γ 代入 x2+9y2=9 得? ?2+9· λ ? ? ? μ ? 1 1 即9λ2x′2+μ2y′2=1. 1 ? ?9λ2=1, 由题意得? 1 ? ?μ2=1, 1 ? ?λ=± , 3 ∴? 故选 B. ? 1, ?μ=± π 2π 3.(选修 4-4 P12 习题 T3 改编)在极坐标系中 A(2,-3),B(4, 3 )两点间的距 离为( A.2 C.6 [答案] C [解析] =6. 法一: (数形结合)在极坐标系中, A、 B 两点如图所示, |AB|=|OA|+|OB| ) B.3 D.3 3 π 2π π π 法二:A(2,-3);B(4, 3 )的直角坐标为 A(2cos(-3),2sin(-3)) =A(1,- 3), B(4cos 2π 2π ,4sin )=B(-2,2 3). 3 3 ∴|AB|= ?-2-1?2+?2 3+ 3?2= 36=6.故选 C. 4.(选修 4-4 P12 探究改编)在极坐标系中,曲线 ρ=acos θ 围成的几何图形的 周长为( A.2πa C.2π|a| [答案] [解析] D 由 ρ=acos θ 得 ) B.πa D.π|a| ρ2=aρcos θ,即 x2+y2-ax=0, a a 即(x-2)2+y2=(2)2, |a| 曲线表示半径 r= 2 的圆, |a| 其周长为 2πr=2π· 2 =π|a|,故选 D. 5.(选修 4-4 P15 习题 T3(4)改编)双曲线 ρ2cos 2θ=c(c≠0)的离心率为( A. 2 C.2 [答案] [解析] A 由 ρ2cos 2θ=c 得 B. 3 D. 2或 2 2 ) ρ2(cos2θ-sin2θ)=c,即 x2-y2=c(c≠0), x2 y2 ①当 c>0 时,双曲线为 c - c =1, 离心率 e= c+c = 2. c y2 x2 当 c<0 时,双曲线为 - =1, -c -c 离心率为 e= -c-c = 2.故选 A. -c π 6.(选修 4-4 P15 习题 T2 改编)在极坐标系中,由三条直线 θ=0,θ= ,ρcos θ 3 +ρsin θ=1 围成图形的面积是________. [答案] [解析] 3- 3 4 π θ=0,θ=3,ρcos θ+ρsin θ=1 三直线对应的直角坐标方程分别为:y 3- 3 4 . =0,y= 3x,x+y=1,作出图形得围成图形为如图△OAB,S= 7.(选修 4-4 P15 习题 T6 改编)在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2= 6 ,A、B 是 C 上两点,O 为极点,若 OA⊥OB,则△OAB 面积的最大 2cos θ+3sin2θ 2 值为________. [答案] [解析] 6 2 π 可设 A(ρA,θ),B(ρB,θ± 2). 6 6 ∴ρ2 ,ρ2 = , A= 2cos2θ+3sin2θ B 2sin2θ+3cos2θ 36 2 ∴ρ2 2 2 AρB= ?2cos θ+3sin θ??2sin2θ+3cos2θ? 36 2 =1 ,∴当 sin22θ=0 时,(ρ2 AρB)max=6, 2 4sin 2θ+6 即(ρAρB)max= 6. 1 6 ∴S=2ρAρB 的最大值为 2 . π π 8.(选修 4-4 P15 习题 T5 改编)在极坐标系中,求点 A(2,-4)到直线 ρsin(θ+4) =2 的距离. [解析] π π 法一:点 A(2,-4)的直角坐标为(2cos(-4), π 2sin(-

高考数学考点专题:坐标系与参数方程、不等式选讲:坐标系.doc

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