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18版高中数学第三章指数函数和对数函数1正整数指数函数学案北师大版必修1 (1)

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1 正整数指数函数
学习目标 1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解 具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性.

知识点一 正整数指数函数的概念 思考 定义在 N+上的函数对应关系如下,试写出其解析式,并指出自变量位置.

x y

1 2

2 4

3 8

4 16

5 32

6 64

7 128

8 256

… …

梳理 正整数指数函数的定义 一般地,函数 y=a (a>0,a≠1,x∈N+)叫作正整数指数函数,其中 x 是自变量,定义域是 正整数集 N+. 知识点二 正整数指数函数的图像特征及其单调性 1 1 2 1 3 思考 比较 ,( ) ,( ) 的大小,你有什么发现? 2 2 2
x

梳理 函数 y=a (a>0,a≠1,x∈N+)图像是散点图,当 a>1 时,在定义域上递增;当 0<a<1 时,在定义域上递减. 知识点三 指数型函数

x

1

思考 y=3·2 ,x∈N+是正整数指数函数吗?

x

梳理 形如 y=ka (k∈R,a>0,且 a≠1)的函数称为指数型函数,在实际问题中,经常会遇 到类似的指数增长模型.

x

类型一 正整数指数函数的概念 命题角度1 判断是否为正整数指数函数 例 1 下列表达式是否为正整数指数函数? (1)y=1 ;(2)y=(-2) ;(3)y=3 (x∈R); (4)y=e (x∈N+).
x x x
-x

2

反思与感悟 判断函数是否为正整数指数函数, 应注意函数形式是否符合, 特别还应看定义 域是否为正整数集. 跟踪训练 1 下列函数中是正整数指数函数的是( A.y=-2 ,x∈N+ B.y=2 ,x∈R C.y=x ,x∈N+ 1 x D.y=( ) ,x∈N+ 2 命题角度2 根据正整数指数函数概念求参数 例 2 已知正整数指数函数 f(x)=(a-2)·a ,则 f(2)等于( A.2 B.3 C.9 D.16 反思与感悟 解此类题的关键是找到参数应满足的条件. 跟踪训练 2 函数 y=(1-3a) 是正整数指数函数,则 a 应满足________. 类型二 正整数指数函数的图像与性质 例 3 比较下面两个正整数指数函数的图像与性质. (1)y=2 (x∈N+); (2)y=0.95 (x∈N+).
x x x x
2

)

x

x

)

反思与感悟 通过列表、描点画图,即可得到正整数指数函数的图像,由于定义域为正整数 集,所以不需要连成光滑曲线,图像就是由一群孤立的点组成. 跟踪训练 3 作出下列函数(x∈N+)的图像.

?1?x x (1)y=3 ;(2)y=? ? . ?2?

3

类型三 正整数指数函数的应用 例 4 某种储蓄按复利计算利息,若本金为 a 元,每期利率为 r,设存期是 x,本利和(本金 加上利息)为 y 元. (1)写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式; (2)如果存入本金 1 000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 期后的本利和.

反思与感悟 建立实际问题的函数模型关键是获得数据,并根据数据归纳规律. 跟踪训练 4 一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后, 血液中的酒精含量以每小时 50%的速度减少.为了保障交通安全,某地交通规则规定,驾驶 员血液中的酒精含量不得超过 0.08 mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员,至少过几小时才能驾 驶?(精确到 1 小时)

4

1.下列函数:①y=3x (x∈N+);②y=5 (x∈N+);③y=3 +1(x∈N+);④y=(a-3) (a>3,

3

x

x

x

x∈N+).其中正整数指数函数的个数为(
A.0 B.1 C.2 D.3

)

2.当 x∈N+时,函数 y=(a-1) 的值总大于 1,则实数 a 的取值范围是( A.1<a<2 C.a>1 B.a<1 D.a>2

x

)

3.某商品的价格前两年每年递增 20%,后两年每年递减 20%,则四年后的价格与原来价格比 较,变化情况是( A.增加 7.84% C.减少 9.5% 1 x 4.函数 y=( ) (x∈N+)的值域是( 3 A.R C.N
x

) B.减少 7.84% D.不增不减 ) B.正实数 1 1 1 D.{ , 2, 3,…} 3 3 3

5.正整数指数函数 f(x)=(a-2)(2a) (x∈N+)在定义域 N+上是________的.(填“增加” 或“减少”)

1.判断函数是否为正整数指数函数,应注意函数形式和定义域是否为正整数集. 2.当 a>1 时是增函数. 3.当 0<a<1 时是减函数. 4.正整数指数函数的图像是一些孤立的点.

5

答案精析 问题导学 知识点一 思考 y=2 ,x∈N+,自变量在指数上. 知识点二 思考 1 1 2 1 3 1 x >( ) >( ) ,对于 y=( ) ,x∈N+,x 越大,y 越小. 2 2 2 2
x

知识点三 思考 不是,正整数指数函数的系数为 1. 题型探究 1 x -x 例 1 解 (1)(2)底数不符合, 要大于 0 且不等于 1, (3)中 y=3 =( ) , 但定义域不符合, 3 所以只有(4)为正整数指数函数. 跟踪训练 1 D [结合正整数指数函数的定义可知选 D.] 例2 C ∴? [∵f(x)是正整数指数函数, ∴a=3,f(x)=3 .
x

? ?a-2=1, ?a>0且a≠1, ?
2

∴f(2)=3 =9.] 1 跟踪训练 2 a< ,且 a≠0 3
?1-3a>0, ? 解析 由? ? ?1-3a≠1,

1 解得 a< ,且 a≠0. 3

例 3 解 列表比较如下: 函数

y=2x(x∈N+)

y=0.95x(x∈N+)

图像

6

定义域 单调性 图像特征

正整数集 N+ 增函数 由一群孤立的点组成 减函数

跟踪训练 3 解 (1)

(2)

例 4 解 (1)已知本金为 a 元,利率为 r,则 1 期后的本利和为 y=a+a×r=a(1+r), 2 期后的本利和为 y=a(1+r)+a(1+r)r =a(1+r) , 3 期后的本利和为 y=a(1+r) ,
3 2

x 期后的本利和为 y=a(1+r)x,x∈N+,
即本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为 y=a(1+r) ,x∈N+. (2)将 a=1 000(元),r=2.25%,
x

x=5 代入上式,得 y=1 000×(1+2.25%)5=1 000×1.022 55≈1 117.68(元),
即 5 期后本利和约为 1 117.68 元. 跟踪训练 4 解 1 小时后驾驶员血液中的酒精含量为 0.3(1-50%) mg/mL,

x 小时后其酒精含量为 0.3(1-50%)x mg/mL.
由题意知:0.3(1-50%) ≤0.08, 1 x 4 ( ) ≤ .采用估算法, 2 15 1 1 1 4 当 x=1 时,( ) = > ; 2 2 15 1 2 1 4 4 当 x=2 时,( ) = = < . 2 4 16 15
x

7

1 x 由于 y=( ) 是减函数, 2 所以满足要求的 x 的最小整数为 2, 故至少过 2 小时驾驶员才能驾驶. 当堂训练 1.B 2.D 3.B 4.D 5.增加 解析 ∵f(x)=(a-2)(2a) 是正整数指数函数, ∴a-2=1,且 2a>0,2a≠1, ∴a=3,∴f(x)=6 ,x∈N+. ∵6>1,∴f(x)在 N+上是增加的.
x x

8


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