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2017届高二第一学期第一次月考试题(理科)(教师版)

时间:2015-11-10


贵阳一中 2017 届高二第一学期第一次月考试卷 (理科数学)
一.选择题(每小题 5 分,12 小题,共 60 分) 1.从一批产品中取出三件产品,设 A=“三件产品全不是次品” ,B=“三件产品全是次品” , C=“三件产品至少有一件是次品” ,则下列结论正确的是( A ) A.A 与 C 对立 B.任何两个均互斥 C.B 与 C 互斥 D.任何两个均不互斥 2.下列各数中,最小的数是( A A. 111111(2) B. 105(8) ) C. 200(6) D. 75

3.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章 算术》中的“更相减损术” ,执行该程序框图,若输入的 a , b 分 别为 14,18,则输出的 a 为(B A.0 B.2 C. 4 )

D.14 B )

4.同时掷两枚骰子,所得点数之和为 5 的概率为(
A. B. C. D.

5.甲乙两位同学在高二的 5 次月考中数学成绩统计如茎叶图所 示,若甲乙两人的平均成绩分别是 x甲,x乙 ,则下列正确的是 ( C)

甲 8 7 2 7 8 6 8 8 2 9 1



8 0

A. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定 B. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定 C. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定 内任意取一点 P(x,y) ,则 x2+y2>1 的概率是( B. C. D.

6.在区域 A.

C



7.某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样方法 抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单 随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,…,270;使用系

统抽样时,将学生统一随机编号为 1,2,…,270,并将整个编号依次分为 10 段,如果抽得 号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中,不正确的是(D ) A.①可能是分层抽样,也可能是系统抽样 B.②可能是分层抽样,不可能是系统抽样 C.③可能是分层抽样,也可能是系统抽样 D.④可能是分层抽样,也可能是系统抽样 8. 已知各项不为 0 的等差数列 ?an ? 满足 a4 ? 2a72 ? 3a8 ? 0 ,数列 ?bn ? 是等比数列,且 b7 ? a7 ,则
b2 b8 b11 等于(

D) C.4 D.8
2π ,则( A ) 5 C. c ? a ? b

A.1

B.2
0.5

9.若 a ? 2 , b ? log π 3 , c ? log 2 sin

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

D. b ? c ? a

? ? ? ? ? 10.设 a ? (1, 2), b ? (1,1), 且a与a ? ?b 的夹角为锐角,则实数 ? 的取值范围是( A ) 5 5 5 5 A. (? , 0) ? (0, ??) B. (? , ??) C. [ ? , 0) ? (0, ??) D. (? , 0) 3 3 3 3
11.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0,| ? |? 移
?
2

)的部分图象如图所示,将 f ( x) 的图象向右平
y

? 个长度单位,所得图象对应的函数解析式为( 3

C )
O
-1

π 3

7π 12

A. f ( x) ? sin 2 x C. f ( x) ? sin(2 x ? )
3

B. f ( x) ? ? sin 2 x
?

x

D. f ( x) ? sin(2 x ?

2? ) 3

第 11 题图

12.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? 2x ?1 , 则函数 g ( x) ? f ( x) ? lg x 的零点个数为( D ) A.6 B. 7 C.8 D.9

二.填空题(每小题 5 分,4 小题,共 20 分) 13.假设要抽查某种品牌的 850 颗种子的发芽率,抽取 60 粒进行实验.利用随机数表抽取种 子时,先将 850 颗种子按 001,002,…,850 进行编号,如果从随机数表第 8 行第 7 列的数 7 开始向右读,请你依次写出最先检测的 4 颗种子的编号 785,567,199,810 (下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 0 7 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

14.程序框图如图,如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入 <11)

k≤10(或 k

? x ?1 ? 0 y ? 15.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?

的最大值为 3

16.如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为

19? 3

三.计算题(共 70 分) 17. (本小题 10 分) 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:百万元)之间有如下对应数据:

x
y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)试预测广告费支出为 10 百万元时,销售额多大? 解: (1)根据表中所列数据可得散点图如图

(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算.

因此
yi ? i ?1
5 2

x?

5 25 250 ? 5, y ? ? 50, ? xi2 ? 145 5 5 i ?1 , 5

? 13500, ? xi yi ? 1380
i ?1

?? b

xi yi ? 5 x y ? i ?1 xi ? i ?1
5 2

5

于是可得

? 5x

2

?

1380 ? 5 ? 5 ? 50 ? 6.5 145 ? 5 ? 52



? ? y ?? b x? ? a 5 0 ?6 . 5 ? 5 ? ,因此所求回归直线方程是 17.5 y ? 6.5x ? 17.5

(3)据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 百万元时 y ? 6.5 ?10 ? 17.5 ? 82.5 (百万元) 即这种产品的销售收入大约为 82.5 百万元 18. (本小题 12 分) 已知定圆 C : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 , 定直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 , 过 A(?1,0) 的一条动直线 l 与直线相交 于 N ,与圆 C 相交于 P, Q 两点, (1)当 l 与 m 垂直时,求出 N 点的坐标,并证明: l 过圆心 C ; (2)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程. 解:(Ⅰ)直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 1) . 将圆心 C (0,3) 代入方程易知 l 过圆心 C (Ⅱ) 当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x ? ?1 符合题意; 当直线与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方
k? 4 3.

?

程为 y ? k ( x ? 1) ,由于

PQ ? 2 3

CM ?
, 由

?k ?3 k ?1
2

?1
,解得

故直线 l 的方程为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 19. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的值域; (Ⅱ)设△ ABC 的内角 A、B、 C 所对的边分别为 a、b、c,已知 A 为锐角, f ( A) ?
c ? 3 ,求 cos(A ? B) 的值.

?
3

) cos x .

3 ,b ? 2 , 2

解: (Ⅰ) f ( x) ? (sin x ? 3 cos x) cos x ? sin x cos x ? 3 cos2 x

1 3 3 ? 3 . ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 3 2

所以函数 f ( x ) 的值域是 [ (Ⅱ)由 f ( A) ? sin(2 A ?

3?2 3?2 , ]. 2 2

?
3

)?

? 3 3 ,得 sin( 2 A ? ) ? 0 , ? 3 2 2

又 A 为锐角, 所以 A ?

?
3

,又 b ? 2 , c ? 3 ,

所以 a 2 ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? cos 由

?
3

? 7 ,a ? 7 .

a b 2 3 ? ,得 sin B ? ,又 b ? a ,从而 B ? A , cos B ? . sin A sin B 7 7

所以, cos(A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?

1 2 3 3 5 7 ? ? ? ? 2 7 2 14 7

20. (本小题 12 分)为选拔选手参加“中国谜语大会”,某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为 了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n)进行统计.按照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) , [90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50, 60) ,[90,100]的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参 加“中国谜语大会”,求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率.

解答: 解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量



, x=0.100﹣0.004

﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030; (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5, 分数在[90,100]内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2.抽取的 2 名学生的所有情况有 21 种, 分别为: (a1,a2) , (a1,a3) , (a1,a4) , (a1,a5) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a2,a3) , (a2,a4) , (a2,a5) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a3,a4) , (a3,a5) , (a3,b1) , (a3,b2) , (a4,a5) , (a4,b1) , (a4,b2) , (a5,b1) , (a5,b2) , (b1,b2) .

其中 2 名同学的分数都不在[90,100]内的情况有 10 种,分别为: (a1,a2) , (a1,a3) , (a1,a4) , (a1,a5) , (a2,a3) , (a2,a4) , (a2,a5) , (a3,a4) , (a3,a5) , (a4,a5) . ∴所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率 .

21. (本小题 12 分)
如图,在四面体 A ? BCD 中, AD ? 平面 BCD , BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是 AD 的中点, P 是

BM 的中点.
(Ⅰ)若点 Q 在线段 AC 上,且满足 AQ ? 3QC ,求证: PQ // 平面 BCD ; (Ⅱ)若 ?BDC ? 60? ,求二面角 C ? BM ? D 的大小.

A

(Ⅰ)证明:如图所示,取 BD 中点 O,且 P 是 BM 中点, 所以 PO // MD 且 PO ?

M P Q B D

1 MD ; 2

取 CD 的四等分点 H,使 DH=3CH, 且 AQ =3QC, 所以, PO // QH 且 PO ? QH , 所以,四边形 OPQH 为平行四边形, 所以 PQ // OH ,且 OH ? BCD , 所以 PQ//面 BDC. (Ⅱ)如图建系, 则 C (0,0,0) , B(0, 6 ,0) , M ( 2 ,0,1) , D( 2 ,0,0)
P

O
C

H

z
A

M Q D C

设面 CBM 的法向量 n ? ( x, y, z)

y B

x

CB ? (0, 6,0) , CM ? ( 2,0,1)

? ? ?n ? CB ? 0 ? 6y ? 0 ,即 ? ? ? ? 2x ? z ? 0 ?n ? CM ? 0 ?

令 x ? 1 ,则 n ? (1,0,? 2 ) 设面 BMD 的法向量 m ? ( x, y, z)

BD ? ( 2 ,? 6 ,0) DM ? (0,0,1)

? ?m ? BD ? 0 ? 2 x ? 6 y ? 0 即? ? ? m ? DM ? 0 ?z ? 0 ?
令 y ? 1 , 则 m ? ( 3,1,0)

? ?? 1 cos ? n, m ?? 2
所以二面角 C ? BM ? D 的大小为 60 ?

22. (本小题 12 分)对任意函数 f ( x), x ? D ,可按如图构造一个数列发生器,记由数列发生器 产生数列 ?xn ? (Ⅰ)若定义函数 f ( x) ? x sin x(0 ? x ? 2? ) ,且要产生一个无穷的常数列 ?xn ? ,试求输入的初始 数据 x 0 的值及相应数列 ?xn ? 的通项公式 x n ; (Ⅱ)若定义函数 f ( x) ? 2 x ? 3 ,且输入 x0 ? ?1 ,求数列 ?xn ? 的通项公式 x n .

解答: (Ⅰ)若要产生一个无穷的常数列,则 f(x)=xsinx=x 在[0,2π ]上有解, 即 x(sinx﹣1)=0 在[0,2π ]上有解,则 x=0 或 sinx=1,所以 x=0 或 即当

故当 x0=0 时,xn=0;当



(Ⅱ)f(x)=2x+3 的定义域为 R,?(10 分) 若 x0=﹣1,则 x1=1, 则 xn+1=f(xn)=2xn+3,所以 xn+1+3=2(xn+3) , 所以数列{xn+3}是首项为 4,公比为 2 的等比数列, 所以 即数列{xn}的通项公式 ,所以 . ,


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