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考点42 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

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温馨提示: 此题库为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观 看比例,关闭 Word 文档返回原板块。 考点 42 一、选择题 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 x2 y 2 2 2 1.(2011·山东高考理科·T8)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y -6x+5=0 a b 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( (A) ) (D) x2 y 2 ? ?1 5 4 (B) x2 y 2 ? ?1 4 5 (C) x2 y 2 ? ?1 3 6 x2 y 2 ? ?1 6 3 【思路点拨】先求出圆 C 的圆心坐标(3,0) ,半径 r=2,再求出渐近线方程,由圆心到渐近线的距离等于 半径即可得到 a,b 的关系,再由双曲线的右焦点为圆 C 的圆心知 c=3,即可求出结果. 【精讲精析】选 A.双曲线的渐近线方程为 bx+ay=0 和 bx-ay=0,圆心为(3,0) ,半径 r=2.由圆心到直线的 距离为 r ? 3b a ?b 2 2 ,得 4a =5b ,又因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,所以 c=3,即 9=a +b , 所以, 2 2 2 2 a =5,b =4 所以该双曲线的方程为 2 2 x2 y 2 ? ?1. 5 4 2. (2011·福建卷理科·T7)设圆锥曲线 ? 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 ? 上存在点 P 满足 PF1 : F1F2 : PF2 =4:3:2,则曲线 ? 的离心率等于( (A) 或 ) 1 2 3 2 (B) 2 或2 3 (C) 或 2 1 2 (D) 或 2 3 3 2 【思路点拨】根据 PF |PF |,| F1F |,| PF | 1 2 2 ,然后按曲线 ? 为椭圆或 1 : F 1F 2 : PF 2 =4:3:2,设出 者双曲线,在 ?PF 1F 2 中分别利用定义求离心率. ?可设|PF |= 4k ,| F1F 2 |? 3k ,| PF2 |? 2k , 【精讲精析】 选 A. ? PF 1 1 : F 1F 2 : PF 2 =4:3:2, 其中 | F 1 F2 |? 2c ? 3k ,? c ? 3k .若圆锥曲线 ? 为椭圆,则 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ? 6k ,? a ? 3k , 2 3 k c 2 1 ?e ? ? ? . 若圆锥曲线 ? 为双曲线,则 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 2k , a 3k 2 -1- 3 k c 2 3 1 3 ? a ? k ,? e ? ? ? ,? e的取值为 或 . a k 2 2 2 3. (2011·福建卷文科·T11)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1, F2,若曲线 C 上存在点 P 满足 PF1 : F1 F2 : PF2 = 4:3:2,则曲线 C 的离心率等于( ) 1 3 2 2 1 (C) 或2 2 (A) 或 (B) 或2 2 3 2 3 (D) 或 3 2 【思路点拨】根据 PF |PF |,| F1F |,| PF | 1 2 2 的值,然后按曲线 C 为椭圆 1 : F 1F 2 : PF 2 =4:3:2,设出 或者双曲线,在 ?PF 1F 2 中分别利用定义求离心率. 【精讲精析】选 A. ? PF |= 4k ,| F1F 2 |? 3k ,| PF2 |? 2k , 1 : F 1F 2 : PF 2 =4:3:2, 设|PF 1 其中 | F 1 F2 |? 2c ? 3k ,? c ? 3k .若圆锥曲线 C 为椭圆,则 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ? 6k ,? a ? 3k , 2 3 k c 2 1 ?e ? ? ? , 若圆锥曲线 C 为双曲线,则 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 2k , ? a ? k , a 3k 2 3 k 1 3 c 2 3 ?e ? ? ? , ? e的取值为 或 . 2 2 a k 2 二、填空题 4.(2011·山东高考文科·T15)已知双曲线 x2 y 2 x 2 y2 ? ? 1( a > 0 , b > 0) ? =1 有相同的焦点, 和椭圆 a 2 b2 16 9 . 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 【思路点拨】先求椭圆焦点,即双曲线的焦点,再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出 b,然后写 出双曲线的方程. 【精讲精析】由题意知双曲线的焦点为(- 7 ,0) , ( 7 ,0) ,即 c= 7 ,又因为双曲线的离心率为 e? x2 y2 c 2 7 2 ? ? 1. ? ,所以 a=2,故 b =3,所以双曲线的方程为 4 3 a 4 x2 y2 ? ?1 【答案】 4 3 5.(2011·北京高考理科·T14)曲线 C 是平面内与两个定点 F1 (?1,0) 和 F2 (1,0) 的距离的积等于常数 a 2 (a ? 1) 的点的轨迹.给出下列三个结论: -2- ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则 ?F 1PF 2 的面积不大于 其中所有正确的结论的序号是 . 1 2 a . 2 【思路点拨】写出曲线 C 的方程,再逐个验证三个结论. 2 【精讲精析】设 P(x,y)为曲线 C 上任意一点,则由 | PF 1 | ? | PF 2 |? a ,得 2 2 2 2 2 2 C: ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? y ? a ,把(0,0)代入方程可得 1 ? a ,与 a ? 1 矛盾,故①不正确; 当 M(x,y)在曲线 C 上时,点 M 关于原点的对称点 M '(? x, ? y) ,也满足方程,故曲线 C 关于原

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