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2017-2018学年高中数学北师大版必修三教学案:第三章§1 随机事件的概率 含答案 精品

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[核心必知] 1.概率 在相同的条件下, 大量重复进行同一试验时, 随机事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动, 即随机事件 A 发生的频率具有稳定性. 这时, 我们把这个常数叫作随机事件 A 的概率, 记为 P(A). 2.频率与概率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度, 但频率是随机的, 而概率是一个确定的值, 因此, 人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小.在实际问题中,某些随机事件的概率往往难以 确切得到,常常通过做大量的重复试验,用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值. 3.随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但是随机性中含有规律性.认识了这种随机 性中的规律性,就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性.概率只是度量事件发生的可 能性的大小,不能确定是否发生. 4.任何事件的概率是区间[0,1]上的一个确定数,它度量该事件发生的可能性大小.小概率 (接近于 0)事件不是不发生,而是很少发生,大概率(接近于 1)事件不是一定发生,而是经常发 生. [问题思考] 1.把一枚质地均匀的硬币连续掷 1 000 次,其中有 498 次正面朝上,502 次反面朝上,那么 说此次试验正面朝上的频率为 0.498,掷一次硬币正面朝上的概率为 0.5,这样理解正确吗? 498 提示:正确.由题意,正面朝上的频率为 =0.498,通过做大量的试验可以发现,正面 1 000 朝上的频率都在 0.5 附近摆动,故掷一次硬币,正面朝上的概率是 0.5.即 0.498 是 1 000 次试验 中正面朝上的频率;而概率是一个确定的常数,是客观存在的,与每次试验无关. 2.如果某种病治愈的概率是 0.3,那么 10 个人中,前 7 个人没有治愈,后 3 个人一定能够 治愈吗?如何理解治愈的概率是 0.3? 提示:如果把治疗一个病人作为一次试验,对于一次试验来说,其结果是随机的,因此前 7 个人没有治愈是可能的,对后 3 个人来说,其结果仍然是随机的,有可能治愈,也可能没有治愈. “治愈的概率是 0.3”指随着试验次数的增加,即治疗人数的增加,大约有 30%的人能够治 愈,如果患病的有 1 000 人,那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提,就可 以认为这 1 000 个人中大约有 300 人能治愈. 讲一讲 1.下面的表中列出 10 次抛掷硬币的试验结果.n 为抛掷硬币的次数,m 为硬币正面向上的次 数.计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率,并考查它的概率. 实验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 抛掷的次数 n 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 正面向上的次数 m 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 “正面向上”出现的频率 [尝试解答] 利用频率的定义,可分别得出这 10 次试验中“正面向上”这一事件出现的频 率依次为: 0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494,这些数字在 0.5 附 近左右摆动,由概率的统计定义可得,“正面向上”的概率为 0.5. 频数、频率和概率三者之间的关系: (1)频数是指在 n 次重复试验中事件 A 出现的次数,频率是频数与试验总次数的比值,而概 率是随机事件发生的可能性的规律体现; (2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果,但它具有一定的稳定性;概率是 频率的稳定值,不会随试验次数的变化而变化. 练一练 1.某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下: 投篮次数 n 进球次数 m 进球频率 (1)计算表中进球的频率; 8 6 10 8 12 9 9 7 10 7 16 12 m n (2)这位运动员投篮一次进球的概率是多少? 解:(1)进球的频率依次是:0.75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75. (2)这位运动员投篮一次进球的概率 P≈0.76. 讲一讲 1 2.掷一颗均匀的正方体骰子得到 6 点的概率是 ,是否意味着把它掷 6 次能得到 1 次 6 点? 6 [尝试解答] 把一颗均匀的骰子掷 6 次相当于做 6 次试验, 因为每次试验的结果都是随机的, 所以做 6 次试验的结果也是随机的. 这就是说, 每掷一次总是随机地出现一个点数, 可以是 1 点, 1 2 点,也可以是其他点数,不一定出现 6 点.所以掷一颗骰子得到 6 点的概率是 ,并不意味着把 6 它掷 6 次能得到 1 次 6 点. 随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率恰是其规律在数量 上的反映,概率是客观存在的,它与试验次数没有关系. 练一练 1 2.掷一枚硬币,连续出现 5 次正面向上,有人认为下次出现反面向上的概率大于 ,这种理 2 解正确吗? 解:不正确.掷一次硬币,作为一次试验,其结果是随机的,但通过做大量的试验,呈现一 1 定的规律性,即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性都为 .连续 5 次正面向上这种结果是可能 2 1 1 的,对下一次试验来说,仍然是随机的,其出现正面和反面的可能性还是 ,不会大于 . 2 2 讲一讲 3.为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量 的天鹅,如 200 只,给每只天鹅作上记号且不影响其存活,然后放回保护区.经过适当的时间, 让它们和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,如 150 只.查看其 中有记号的天鹅,设有 20 只.试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量. [尝试解答] 设保护区中天鹅的数量为 n,假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的,从保护 200 区中任捕一只,设事件 A={捕到带有记号的天鹅},则 P(A)= . n 20 第二次从保护区中捕出 150 只天鹅,其中有 20 只带有记号,由概率

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