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2015-2016学年辽宁省重点高中协作校高二下学期期末考试数学(理)试题

时间:


2015-2016 抚顺市协作校高二年级下学期期末考试 数
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟 2.第Ⅰ卷选项涂在答题卡上,第Ⅱ卷答在答题纸上

学(理)

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 4 ? bi 1. 已 知 复 数 z ? ? b ? R ? 的 实 部 为 ? 1 , 则 复 数 z ? b 在 复 平 面 上 对 应的 点 位 于 1? i ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.为研究两变量 x 和 y 的线性相关性,甲、乙两人分别作了研究,利用线性回归方程得到 回 归 直 线 l1 和 l2 , 两 人 计 算 x 相 同 , y 也 相 同 , 则 下 列 说 法 正 确 的 是 ( ) A. l1 与 l2 重合 C. l1 与 l2 交于点( x , y ) 3 ( . ) 函 数 B. l1 与 l2 平行 D.无法判定 l1 与 l2 是否相交

f ( x) ? sin 2 x









A. 2sin x B. 2sin 2 x C. 2 cos x D. sin 2 x ? 4. 阅读下面的 “三段论” 推理: 对于可导函数 f ( x) , 如果 f ( x0 ) ? 0 , 那么 x ? x0 是函数 f ( x) 的极值点;因为函数 f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以, x ? 0 是函数 f ( x) ? x3 的 极 值 点 . 以 上 推 理 中 ( ) A.大前提错误 B. 小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 5.某课题小组共有 15 名同学,其中有 7 名男生,现从中任意选出 10 人,用 X 表示这 10 人中男生的人数,则下列概率等于 A. P( X ? 4)

C74C86 的是 10 C15
C. P ? X ? 6?





B. P( X ? 4)

D. P( X ? 6)

6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队则需要再赢 两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 ( A. 7 )

3 4
. 下

B. 列

3 5


C. 算

2 3
错 误

D.

1 2
的 是



) A. ? sin xdx ? 0
?π π

B. ?

1

0

xdx ?

2 3

C. ? 2π cos xdx ? 2? 2 cos xdx
? 2 0

π

π

2 D. ? sin xdx ? 0 ?π

π

8.在抚顺市某次协作校期末考试中,某校学生的数学成绩 X ? N 100,?

?

2

? ?? ? 0? ,若


P(80 ? X ? 120) ? 0.8,
( ) A.0.05 B.0.1



P(0 ? X ? 80)
C.0.15



D.0.2

9.任何进制数均可转换为十进制数,如八进制 ?507413 ?8 转换成十进制数,是这样转换的:

?507413 ?8 ? 5 ? 85 ? 0 ? 84 ? 7 ? 83 ? 4 ? 82 ? 1? 8 ? 3 ? 167691,十六进制数 (23456)16
是这样转换的: (23456)16 ? 2 ?16 ? 3 ?16 ? 4 ?16 ? 5 ?16 ? 6 ? 144470 那么将二进制
4 3 2

数 (

?1101?2
) A.15































B.14

C.13

D.12

a1 a2 a2011 10 . 若 (1 - 2x)2011 = a0 + a1x + … + a2011x2011(x ∈ R) , 则 2 + 22 + … + 22011 的 值 为 ( ) A.2 B.0 C.-1 D.-2 11.由 1,2,3,0 组成没有重复数字的三位数,其中 0 不在个位上,则这些三位数的和为 ( ) A.1320 B.1332 C.2532 D. 2544 12. 若 过 点 P ? a, a? 与 曲 线 f ? x ? ? x ln x 相 切 的 直 线 有 两 条 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( ) A. ? ??,e ? B. ? e, ?? ? C. ? 0, ?

? 1? ? e?

D. ?1, ?? ?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.定义运算

a c i 2 ( i 是虚数单位)的值为 ? ad ? bc ,则 b d 1 i




14.由 y 2 ? 4 x 与直线 y ? 2 x ? 4 所围成图形的面积为

15.甲袋中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球, 乙袋中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先 从甲袋中随机取出一球放入乙袋,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲袋取出的球是红球,白球和黑 球的事件;再从乙袋中随机取出一球,以 B 表示由乙袋取出的球是红球的事件.则下列结论

①P(B)=

9 2 ;②P(B|A1)= ;③事件 B 与事件 A1 相互独立;④A1,A2,A3 是两两互斥的事 22 5
(写出所有正确结论的编号).

件.其中正确的是

? ln x , ? 0 ? x ? e2 ? ? 16.已知函数 f ? x ? ? ? ,存在 x1 ? x2 ? x3 ,使 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ,则 2 2 e ? 2 ? x , x ? e ? ? ? ? f ? x3 ? 的最大值为 . x1 x2 2
三、解答题(本大题共 70 分)
1 ? ? 17. (本小题满分 12 分)若 ? x x ? 4 ? 的展开式中,第二、三、四项的二项式系数成等差 x ? ?
n

数列. (1)求 n 的值; (2)此展开式中是否有常数项,为什么? 18. (本小题满分 12 分)某商店举行三周年店庆活动,每位会员交会员费 50 元,可享受 20 元的消费,并参加一次抽奖活动,从一个装有标号分别为 1,2,3,4,5,6 的 6 只均匀小 球的抽奖箱中,有放回的抽两次球,抽得的两球标号之和为 12,则获一等奖价值 a 元的礼 品,标号之和为 11 或 10,获二等奖价值 100 元的礼品,标号之和小于 10 不得奖. (1)求各会员获奖的概率; (2)设商店抽奖环节收益为 ? 元,求 ? 的分布列;假如商店打算不赔钱, a 最多可设为多少 元? 19. (本小题满分 12 分)编辑如下运算程序:1@1 ? 2 ,m @ n ? q ,m @(n ? 1) ? q ? 2 . (1)设数列{ an }的各项满足 an ? 1@ n ,求 a 2 , a3 , a 4 ; (2)由(1)猜想{ an }的通项公式; (3)用数学归纳法证明你的猜想。 20. (本小题满分 12 分)现如今, “网购”一词已不再新鲜,越来越多的人已经接受并喜欢 上了这种购物的方式,但随之也产生了商品质量差与信誉不好等问题.因此,相关管理部门 制定了针对商品质量和服务的评价体系.现从评价系统中选出 200 次成功交易,并对其评价 进行统计,对商品的好评率为 0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商品和服务都做出好评 的交易为 80 次. (1)根据题中数据完成下表,并通过计算说明:能否有 99.9%的把握认为,商品好评与服务 好评有关? (2)若将频率视为概率, 某人在该购物平台上进行的 5 次购物中,设对商品和服务全好评的次 数为随机变量 X : ①求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列(概率用组合数算式表示) ; ②求 X 的数学期望和方差.

P( K 2 ≥ k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

对服务好评 对商品好评 对商品不满意 合计 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x ) 的单调区间;

对服务不满意

合计

mx ? 1(m ? 0) , g ( x) ? x2eax (a ? R) . 2 x ?1

(2)当 m ? 0 时,若对任意 x1 , x2 ?[0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求 a 的取值范围. 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答. 注意:只能做所选定的题目.如果多 做,则按所做的第一个题目计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 在 ?ABC 中, AB ? AC ,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P, 交 BC 延长线于点 D. (1)求证: PC = PD ;

AC BD (2)若 AC=3,求 AP?AD 的值.
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ?

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数) .以坐标原点为 ? y ? t sin ?

极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的方程是 ? ? 4cos ? . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 14 ,求直线 l 的倾斜角 ? 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ? 1 的最大值为 m . (1)求 m ; (2)若 a, b, c ? ?0, ?? ?, a ? 2b ? c ? m ,求 ab ? bc 的最大值.
2 2 2

抚顺市协作校高二年级下学期期末考试 数学(理)答案
一、选择题: 1. C 2.C 3.D 4.A 5.B 6.A 7.D 8.B 二、填空题: 13.-3 14.9 15.①④ 16. 9.C 10.C 11.D 12.B

1 e
n(n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) ? 2? ; 6 2

三、解答题: 17.解:(1)由
2

C ?C
n

1

3 n

? 2C n , (n ? 3) 得: n ?

2

2 化简得: n ? 9n ? 14 ? 0 ,解得: n ? 7,或n ? (舍) ,
因此, n ? 7 (2)由 Tr ?1 ? 当 ---------(6 分)
3 2 7?r 21?11 r 2

C

r 7

? (x )

? ( x?4 )r ? C 7 ? x

r

, (r ? N , 且0 ? r ? 7)

21 ? 11r 21 =0 时, r ? ? N , 2 11
---------(12 分)

所以此展开式中不存在常数项.

18.解:(1)抽两次得标号之和为 12 的概率为 P( A) ? ? ? ?
2

?1? ?6?

2

1 ; 36
2

5 ?1? ?1? 抽两次得标号之和为 11 或 10 的概率为 P( B) ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? , ?6? ? 6 ? 36
所以各会员获奖的概率为 P (C ) ? P ( A) ? P ( B ) ?

1 . 6

---------(4 分) ---------(6 分) 30

(2)随机变量 ? 的所有可能取值为: 30 ? a ,-70,30

? 的分布列为:

?

30 ? a

-70

P
由 E? ? (30 ? a) ?

1 36

5 36

5 6

---------(10 分)

1 5 5 ? (?70) ? ? 30 ? ? 0 , 36 36 6
---------(12 分)

得 a ≤ 580 元.所以 a 最多可设为 580 元.

m @(n ? 1) ? q ? 2 , 19. 解: (1) 令 m ? 1, n ? 1 , 则q ? 2; 由 m@ n ? q , ? a1 ? 1@1 ? 2 ,
得 a2 ? 1@ 2 ? 2 ? 2 ? 4
[]

再令 m ? 1, n ? 2 ,则 q ? 4 ,得 a3 ? 1@ 3 ? 4 ? 2 ? 6 再令 m ? 1, n ? 3 ,则 q ? 6 ,得 a4 ? 1@ 4 ? 6 ? 2 ? 8

? a2 ? 4, a3 ? 6, a4 ? 8
(2)由(1)猜想: an ? 2n, (n ? N * )

-----------(4 分) -----------(6 分)

(3)证明:①当 n ? 1 时, a1 ? 1@1 ? 2 ,另一方面, a1 ? 2 ? 1 ? 2 ,所以当 n ? 1 时等 式成立. ----------(8 分)

②假设当 n ? k 时,等式成立,即 ak ? 1@ k ? 2k ,此时 q ? 2k , 那么,当 n ? k ? 1 时

ak ?1 ? 1@(k ? 1) ? 2k ? 2 ? 2(k ? 1)
所以当 n ? k ? 1 时等式也成立. 由①②知,等式对 n ? N 都成立,猜想正确,即 an ? 2n, (n ? N * ) . ---------(12 分)
*

20.解(1)由题意可得关于商品和服务评价的 2×2 列联表如下: 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200

K2 ?

200 ? (80 ?10 ? 40 ? 70)2 100 ? ? 11.111 ? 10.828, 150 ? 50 ?120 ? 80 9
2 , 5

-----(4 分) -----(6 分)

因此有 99.9%的把握认为商品好评与服务好评有关. (2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为

X 的取值可以是 0,1,2,3,4,5. 3 5 1 2 3 4 2 2 2 3 3 其中 P ( X ? 0) ? ( ) ; P( X ? 1) ? C5 ( )( ) ; P ( X ? 2) ? C5 ( ) ( ) ; 5 5 5 5 5 2 3 2 2 3 3 P ( X ? 3) ? C5 ( )3 ( ) 2 ; P ( X ? 4) ? C54 ( ) 4 ( )1 ; P ( X ? 5) ? ( )5 . 5 5 5 5 5 X 的分布列为: 0 1 2 3 4 5 X 3 2 3 2 3 2 1 2 3 4 3 2 3 3 2 ( )5 C5 ( )( ) ( )( ) C54 ( ) 4 ( )1 ( )5 C52 ( ) 2 ( )3 C5 P 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
-------(10 分) ②由于 X ~ B (5, ) ,则 E ( X ) ? 5 ?

2 5

2 2 6 2 ? 2, D( X ) ? 5 ? ? (1 ? ) ? . 5 5 5 5

--------(12 分)

21.解(1) f ( x ) 定义域为 R, f '( x) ?

m(1 ? x 2 ) m(1 ? x)(1 ? x) , ? (x 2 ? 1) ( x2 ? 1)2

① 当 m ? 0 时 , 对 于 x ? ?1,或x ? 1, f '( x) ? 0, f ( x) 单 调 递 减 , 对 于 ?1 ? x ? 1 ,

f '( x) ? 0, f ( x) 单调递增;
(-?,),( -1 1, +?) , , 单调减区间是 所以,函数 f ( x ) 的单调增区间是 (-11)
② 当 m ? 0 时 , 对 于 x ? ?1, 或x ? 1 , f '( x) ? 0, f ( x) 单 调 递 增 , 对 于 ?1 ? x ? 1 ,

f '( x) ? 0, f ( x) 单调递减;
(-?,),( -1 1, +?) , ----(4 分) 所以,函数 f ( x ) 的单调增区间是 ,单调减区间是 (-11)

2] 有 f ( x)min ? g ( x)max (2)依题意,当 m ? 0 时,对于 ?x ? [0,
由(1)知,函数 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,在 [1, 2] 上单调递减, 又 f (0) ? 1 , f (2) ?

2m +1 ? 1 , 即: f ( x)min =f (0) ?1 , 5
--------(6 分)

所以应有: g ( x)max ? 1

g '( x) ? (ax2 ? 2 x)eax ,
2] , g '( x) ? (ax ? 2 x)e ①当 a ? 0 时,对于 ?x ? [0,
2 ax

? 0 , g ( x) 单调递增,
--------(8 分)

g ( x)max =g (2) ? 4e2a ? 4 ,不合题意,故 a ? 0 不成立;
②当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 得, x1 ? 0,x2 ? ? (ⅰ)当 ? 由 4e
2a

2 a

2 ? 2 ,即 -1 ? a ? 0 时,在 [0, 2] 上, g '( x) ? 0 ,所以 g ( x)max =g (2) ? 4e2a a
--------(10 分)

? 1 得 a ? ? ln 2 ,所以 -1 ? a ? ? ln 2

(ⅱ)当 0 ? ?

2 2 ? 2 ,即 a ? -1 时,在 [0,- 2 ) 上 2] 上 g '( x) ? 0 , ,在(- , g '( x ) ? 0 a a a 2 a 2 a 2 a 4 , ae
2 2

2] 上单调递减,所以 g ( x) max =g ( ? ) ? 所以 g ( x) 在 [0,- ) 上单调递增,在(- ,



4 ? 1 得 a ? ? 2 ,所以 a ? ?1 ,综上: a 的取值范围是 (??, ? ln 2] ------(12 分) ae e
2 2

22.解(1)∵∠CPD=∠ABC,∠D=∠D,∴△DPC~△DBA,

∴ PC = PD ,又∵AB=AC,∴ PC = PD . AB BD AC BD

-----(5 分)

(2)∵∠ACD=∠APC,∠CAP=∠CAP,∴△APC∽△ACD.

∴ AP = AC ,∴ AC2 ? AP ? AD ? 9. AC AD
23.解(1)由 ? ? 4cos ? 得 ? 2 ? 4? cos? . ∵ x2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,

-----(10 分)

∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,即 ? x ? 2? ? y 2 ? 4 .
2

-----(5 分)

(2)将 ?

? x ? 1 ? t cos ? , 2 2 代入圆的方程得 ? t cos ? ? 1? ? ? t sin ? ? ? 4 , ? y ? t sin ?

化简得 t 2 ? 2t cos ? ? 3 ? 0 . 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 ? ∴ AB ? t1 ? t2 ?

?t1 ? t2 ? 2cos ? , ?t1t2 ? ?3.

?t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 4cos2 ? ? 12 ? 14 .
-----(10 分)

∴ 4cos 2 ? ? 2 , cos ? ? ?

? 3? 2 ,? ? 或 .(其他解法请酌情给分) 4 4 2

24.解(1)当 x ? ?1 时, f ? x ? ? 3 ? x ? 2 ; 当 ?1 ? x ? 1 时, f ? x ? ? ?1 ? 3x ? 2 ; 当 x ? 1 时, f ? x ? ? ? x ? 3 ? ?4 , 所以当 x ? ?1时, f ? x ? 取得最大值 m ? 2 .
2 2 2 2 2 2 2 (2)因为 a ? 2b ? c ? a ? b ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2 ? ab ? bc ? ,

-----(5 分)

?

? ?

?

所以 (ab ? bc) ?

m ?1 2

当且仅当 a ? b ? c ?

2 时取等号,此时 ab ? bc 取得最大值 1. 2

-----(10 分)


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