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2016届高考文科数学---最后冲刺30题(含解析)

时间:2015-12-30


2016 届高考文科数学---最后冲刺 30 题
? π? [题目 1] 已知函数 f(x)=2cos2x+2 3sin xcos x+a,且当 x∈?0, ? 2? ?

时,f(x)的最小值为 2. (1)求 a 的值,并求 f(x)的单调递增区间; 1 (2)先将函数 y=f(x)的图象上点的纵坐标不变, 横坐标缩小到原来的2, π 再将所得图象向右平移12个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求方程
? π? g(x)=4 在区间?0, ?上所有实根的和. 2? ?

[题目 2] 已知数列{an}满足 a1=1,a2=3,an+1=3an-2an-1(n∈N*, n≥2), (1)证明:数列{an+1-an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; 1 (2)设数列{bn}满足 bn=2log4(an+1)2, 证明: 对一切正整数 n, 有 2 b1-1 1 1 1 + 2 +?+ 2 <2. b2-1 bn-1

1

[题目 3] 随机抽取一个年份,对西安市该年 4 月份的天气情况进行 统计,结果如下:

(1)在 4 月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率; (2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会, 估计运动会期间不下雨的概率.

[题目 4] 如图,四棱锥 PABCD 中,AP⊥平面 PCD,AD∥BC,AB 1 =BC=2AD,E,F 分别为线段 AD,PC 的中点.

(1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:BE⊥平面 PAC.

2

[题目 5] 已知抛物线 C 的标准方程为 y2=2px(p>0),M 为抛物线 C 上一动点,A(a,0)(a≠0)为其对称轴上一点,直线 MA 与抛物线 C 的 另一个交点为 N.当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直 9 时,△MON 的面积为2. (1)求抛物线 C 的标准方程; 1 1 (2)记 t=|AM|+|AN|, 若 t 值与 M 点位置无关, 则称此时的点 A 为“稳 定点”,试求出所有“稳定点”,若没有,请说明理由.

1-a [题目 6] 设函数 f(x)=aln x+ 2 x2-bx(a≠1),曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为 0. (1) 求 b; a (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< ,求 a 的取值范围. a-1

3

[题目 7]

已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2n+1+

2p(n∈N*). (1)求 p 的值及数列{an}的通项公式; an+1 (2)若数列{bn}满足 2 =(3+p)anbn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

φ [题目 8] 已知函数 f(x)=2sin xcos2 2 +cos xsin φ -sin x(0<φ<π )在 x=π 处取最小值. (1)求 φ 的值; (2)在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,已知 a=1,b= 2, 3 f(A)= 2 ,求角 C.

4

[题目 9] 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力 的综合指标.根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活 动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前 20 名的“省级 卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示. 组号 1 2 3 4 分组 [4,5) [5,6) [6,7) [7,8] 频数 2 8 7 3

(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽 取 2 家进行调研,求至少有 1 家的融合指数在[7,8]内的概率; (2)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均 数. 2016 年____月____日(周三)

[题目 10] 如图, 直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形, E,F 分别是 BC,CC1 的中点.

5

(1)证明:平面 AEF⊥平面 B1BCC1; (2)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°, 求三棱锥 FAEC 的体 积.

x2 y2 [题目 11] 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)经过点(2, 2),且离心率 2 为2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过椭圆 C 左焦点的直线交椭圆于 M、N 两点,线段 MN 的垂 直平分线交 y 轴于点 P(0,m),求 m 的取值范围.

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1 [题目 12] 设函数 f(x)=ln x-2ax2-bx. 1 (1)当 a=b=2时,求函数 f(x)的单调区间; 1 a (2)令 F(x)=f(x)+2ax2+bx+x (0<x≤3),其图象上任意一点 P(x0,y0) 1 处切线的斜率 k≤2恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)当 a=0,b=-1 时,方程 f(x)=mx 在区间[1,e2]内有唯一实数解, 求实数 m 的取值范围.

[题目 13] 在△ABC 中,边 a,b,c 的对角分别为 A,B,C;且 b π =4,A= 3 ,面积 S=2 3. (1)求 a 的值; (2)设 f(x)=2(cos Csin x-cos Acos x), 将 f(x)图象上所有点的横坐标变 1 为原来的2(纵坐标不变)得到 g(x)的图象,求 g(x)的单调增区间.

7

[题目 14] 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件, 测量这些产品的 一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表: 质量指标 [75,85) 值分组 频数 6 26 38 22 8 [85,95) [95,105) [105, 115) [115, 125)

(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图:

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表); (3) 根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定?

8

13 [题目 15] 已知函数 y=3x+ 4 的图象上有一点列 P1(x1,y1),P2(x2, 7 y2),?,Pn(xn,yn),其中数列{xn}为等差数列,满足 x2=-2,x5= 13 -2. (1)求点 Pn 的坐标; (2)若抛物线列 C1,C2,?,Cn 分别以点 P1,P2,?,Pn 为顶点,且 任意一条的对称轴均平行于 y 轴,Cn 与 y 轴的交点为 An(0,n2+1), 记与抛物线 Cn 相切于点 An 的直线的斜率为 kn, 求数列?k 的和 Sn. 1 ? ?前 n 项 ? n+1kn?
?

[题目 16] 如图,已知 AA1⊥平面 ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC =2 5,AA1= 7,BB1=2 7,点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点.

(1)求证:EF∥平面 A1B1BA; (2)求证:平面 AEA1⊥平面 BCB1;

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(3)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

3? ? x2 y2 1 [题目 17] 椭圆 C:a2+b2=1 过点 A?1,2?,离心率为2,左、右焦 ? ? 点分别为 F1、F2,过点 F1 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; 12 2 (2)当△F2AB 的面积为 7 时,求 l 的方程.

[题目 18] 设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值.

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[ 题 目 19]

? ? π ?? 已 知 向 量 m = ?2cos x,-cos?x+ ?? , n = 12?? ? ?

? ? π ?? ?cos x,2sin?x+ ??,记 f(x)=m· n. 12?? ? ?

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间;
?A? (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f? 2 ?=1,a ? ?

=2,b= 3,求 sin C 的值.

[题目 20] 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民.根据这 50 位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评 价越高),绘制茎叶图如下:

(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.

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[题目 21] 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,非常数等比数列{bn} 的公比是 q,且满足:a1=2,b1=1,S2=3b2,a2=b3. (1)求 an 与 bn; (2)设 cn=2bn-λ· 32, , 若数列{cn}是递减数列, 求实数 λ 的取值范围.
an

[题目 22]如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的 中点为 O,且 AO⊥平面 BB1C1C.

(1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的高.

x2 y2 2 [题目 23] 已知椭圆 C: 离心率为 2+ 2=1(a>b>c)的短轴长为 2, a b 2. 过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求OA·OB的取值范围; (3)若 B 点关于 x 轴的对称点是 N,证明:直线 AN 恒过一定点.
→ →

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ln x+k [题目 24] 已知函数 f(x)= ex (其中 k∈R, e=2.718 28??是自然 对数的底数),f′(x)为 f(x)的导函数. (1)当 k=2 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若 x∈(0,1]时,f′(x)=0 都有解,求 k 的取值范围; e-2+1 (3)若 f′(1)=0,试证明:对任意 x>0,f′(x)< 2 恒成立. x +x

[题目 25] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcos C=(2a-c)cos B. (1)求角 B 的大小; (2)若 a,b,c 成等差数列,且 b=3,试求△ABC 的面积.

[题目 26] 数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n(n+1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 b3 bn (2)若数列{bn}满足: an= + 2 + 3 +?+ n , 求数列{bn} 3+1 3 +1 3 +1 3 +1 的通项公式;

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anbn (3)令 cn= 4 (n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

[题目 27] 某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y, Z,其年级情况如下表: 一年级 男同学 女同学 A X 二年级 B Y 三年级 C Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性 相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名 女同学”,求事件 M 发生的概率.

[题目 28] 如图所示.

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图

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(1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系.并证明你的结论. (3)证明:直线 DF⊥平面 BEG.

1+a [题目 29] 已知函数 f(x)=x+ x -aln x. (1)若函数 y=f(x)的图象在 x=1 处的切线与直线 2x+y-1=0 平行, 求 a 的值; (2)在(1)的条件下方程 f(x)=b 在区间[1,e]上有两个不同的实数根, 求实数 b 的取值范围; (3)若在区间[1,e]上存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立,求实数 a 的取值 范围.

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[题目 30] 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O,其焦点与双曲线 C:x2 y2 - 2 =1 的焦点重合,且椭圆 E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成 正三角形. (1)求椭圆 E 的方程; (2)过双曲线 C 的右顶点 A 作直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 P、Q. ①设 M(m,0),当MP·MQ为定值时,求 m 的值; ②设点 N 是椭圆 E 上的一点,满足 ON∥PQ,记△NAP 的面积为 S1, △OAQ 的面积为 S2,求 S1+S2 的取值范围.
→ →

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答案解析
π? ? (1)函数 f(x)=cos 2x+1+ 3sin 2x+a=2sin?2x+ ?+a+1, 6? ? π ?π 7π ? π? ? x∈?0, ?,∴2x+ 6 ∈? , ?,f(x)min=-1+a+1=2,得 a=2,则 f(x)= 2? 6 ? ? ?6 π? ? 2sin?2x+ ?+3. 6? ? π π π π π 令 2kπ - 2 ≤2x+ 6 ≤2kπ + 2 ,k∈Z 得 kπ - 3 ≤x≤kπ + 6 ,k∈Z. π π? ? ∴f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 3 6? ? π? ? (2)由(1)知 f(x)=2sin?2x+ ?+3, 6? ? π? ? 根据图象变换,得 g(x)=2sin?4x- ?+3. 6? ? π? 1 ? 又 g(x)=4.得 sin?4x- ?=2. 6? ? π π 11 π? ? 又 x∈?0, ?,得- 6 ≤4x- 6 ≤ 6 π . 2? ? π π π 5π ∴4x- 6 = 6 或 4x- 6 = 6 . π π 则 x=12或 x= 4 , π π π π? ? 故方程 g(x)=4 在区间?0, ?上所有实根之和为12+ 4 = 3 . 2? ? [题目 1] 解 [题目 2] 证明 (1)由 an+1=3an-2an-1, 得 an+1-an=2(an-an-1),n≥2. 又 a2-a1=3-1=2,则 an-an-1≠0. ∴数列{an+1-an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 因此 an-an-1=2· 2n-2=2n-1(n≥2), 则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+?+2+1 1-2n n = =2 -1, 1-2 又 a1=1 适合上式. 所以 an=2n-1(n∈N*). (2)由(1),得 bn=2log4(an+1)2=log2(2n)2=2n.

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1 ? 1 1 1 1? 1 ∵ 2 = 2 = =2?2n-1-2n+1?. bn-1 4n -1 (2n-1)(2n+1) ? ? 1 1 1 ∴ 2 + 2 +?+ 2 b1-1 b2-1 bn-1 1 ?? 1? ?1 1? 1?? ? 1 =2??1-3?+?3-5?+?+?2n-1-2n+1?? ? ? ? ?? ? ?? 1 ? 1 1? =2?1-2n+1?<2. ? ? 1 1 1 1 故对一切 n∈N*,有 2 + 2 +?+ 2 <2. b1-1 b2-1 bn-1 [题目 3] 解 (1)在容量为 30 的样本中,不下雨的天数是 26,以频率估计概率, 26 13 4 月份任选一天,西安市不下雨的概率为 P=30=15. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1 日与 2 日,2 日与 3 日等),这样, 在 4 月份中,前一天为晴天的互邻日期对有 16 个,其中后一天不下雨的有 14 7 个,所以晴天的次日不下雨的频率为8, 7 以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为8. [题目 4] 证明 (1)设 AC∩BE=O,连接 OF,EC.

由于 E 为 AD 的中点, 1 AB=BC=2AD,AD∥BC, 所以 AE∥BC,AE=AB=BC, 因此四边形 ABCE 为菱形, 所以 O 为 AC 的中点. 又 F 为 PC 的中点, 因此在△PAC 中,可得 AP∥OF. 又 OF?平面 BEF,AP?平面 BEF. 所以 AP∥平面 BEF. (2)由题意知 ED∥BC,ED=BC.

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所以四边形 BCDE 为平行四边形, 因此 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD, 所以 AP⊥CD, 因此 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形, 所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC=A,AP,AC?平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC. [题目 5] 解 p (1)由题意, |OA|=a=2, |MN|=2 p 1 2p·2=2p, S△MON=2|OA|· |MN|

1 p 9 =2·2·2p=2. ∴p2=9,则 p=3, 则抛物线 C 的标准方程为 y2=6x. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 MN 的方程为 x=my+a, ?x=my+a, 联立? 2 得 y2-6my-6a=0. ?y =6x. 则 Δ=36m2+24a>0,y1+y2=6m,y1y2=-6a, 由对称性,不妨设 m>0, (ⅰ)a<0 时,∵y1y2=-6a>0,∴y1,y2 同号, 1 1 又 t=|AM|+|AN|= 1 1 + 2 1+m |y1| 1+m2|y2|

2 1 ? 1 (y1+y2) 1 36m2 1 ? ∴t2= = 2 = 2?1- 2 2 2 1+m2? 1+m (y1y2) 1+m 36a a ? ?

不论 a 取何值,t 均与 m 有关,即 a<0 时 A 不是“稳定点”; (ⅱ)a>0 时,∵y1y2=-6a<0,∴y1,y2 异号, 1 1 又 t=|AM|+|AN|= 1 1 + 2 1+m |y1| 1+m2|y2|

(y1-y2)2 (y1+y2)2-4y1y2 1 1 ∴t2= · = · 1+m2 (y1y2)2 1+m2 (y1y2)2

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2 ? ? 36m2+24a 1 ? a-1? 1 3 = · 36a2 =a2? ?, 1+ 1+m2 1+m2? ? 2 3 所以,当且仅当3a-1=0,即 a=2时,t 与 m 无关. 此时 A 为抛物线 C 的焦点,即抛物线 C 对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”. [题目 6] 解 a (1)f′(x)= x+(1-a)x-b(x>0).

由题设知 f′(1)=0,解得 b=1. (2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知, 1-a f(x)=aln x+ 2 x2-x, 1-a a a f′(x)= x+(1-a)x-1= x (x- )(x-1). 1-a 1 a ①若 a≤2,则 ≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1, 1-a +∞)单调递增. 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< 解得- 2-1<a< 2-1. a ? 1 a ? ? a ? ②若2<a<1, 则 >1, 故当 x∈?1,1-a?时, f′(x)<0; 当 x∈?1-a,+∞?时, 1-a ? ? ? ? a ? ? ? a ? f′(x)>0.f(x)在?1,1-a?单调递减,在?1-a,+∞?单调递增. ? ? ? ? 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< a a ? a ? ? a ? 的充要条件为 f?1-a?< .而 f?1-a?= a-1 ? ? a-1 ? ? 1-a a a a 的充要条件为 f(1)< ,即 2 -1< , a-1 a-1 a-1

a a2 a a aln + + > ,所以不合题意. 1-a 2(1-a) a-1 a-1 1-a -a-1 a ③若 a>1,则 f(1)= 2 -1= 2 < 成立. a-1 综上,a 的取值范围是(- 2-1, 2-1)∪(1,+∞). [题目 7] 解 (1)由于 Sn=2n+1+2p(n∈N*),

∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1+2p-(2n+2p)=2n. 又 a1=S1=4+2p,

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由于数列{an}为等比数列, ∴a2 23=24, 2=a1a3,即(4+2p)· 解之得 p=-1, 因此 an=a1·qn-1=2n. (2)由(1)知,an=2n,an+1=2n+1, an+1 又 2 =(3+p)anbn=2anbn,则 2nbn=n, n 所以 bn=2n. 1 2 n Tn=2+22+?+2n, 1 1 2 n T n= 2+ 3+?+ n+1,两式相减,得 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 2Tn=2+22+23+?+2n-2n+1 1? 1? ?1-2n? 2? ? n = 1 -2n+1, 1-2 1 n Tn=2- n-1-2n. 2 [题目 8] 解 (1)f(x)=sin x(1+cos φ )+cos xsin φ -sin x

=sin xcos φ +cos xsin φ =sin(x+φ). 因为 f(x)在 x=π 处取得最小值. π ∴sin(π +φ)=-1,则 sin φ =1,又 0<φ<π ,所以 φ= 2 . ? π? (2)由(1)知,f(x)=sin?x+ ?=cos x. 2? ? 3 因为 f(A)=cos A= 2 ,且 A∈(0,π ), π 所以 A= 6 ,又 a=1,b= 2, a b 由正弦定理,sin A=sin B, π bsin A 2 则 sin B= a = 2sin 6 = 2 ,因为 b>a, π 3π 因此 B= 4 或 B= 4 , π 7 当 B= 4 时,C=π -(A+B)=12π .

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π 3 当 B=4π 时,C=π -(A+B)=12. 7π π 综上可知,C= 12 或 C=12. [题目 9] 解 法一 (1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为 A1,A2,

A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1,B2,从融合指数在[4, 5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是: {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3, B1},{A3,B2},{B1,B2},共 10 个. 其中,至少有 1 家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2, A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共 9 个. 9 所以所求的概率 P=10. (2)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 2 8 7 3 4.5×20+5.5×20+6.5×20+7.5×20=6.05. 法二 (1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为 A1,A2,A3;融合指数 在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1,B2,从融合指数在[4,5)和[7,8]内 的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有的基本事件是: {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3, B1},{A3,B2},{B1,B2},共 10 个. 其中,没有 1 家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{B1,B2},共 1 个. 1 9 所以所求的概率 P=1-10=10. (2)同法一. [题目 10] (1)证明 ∵△ABC 为正三角形,E 为 BC 中点,

∴AE⊥BC,∵三棱柱 ABCA1B1C1 是直棱柱, ∴B1B⊥平面 ABC,又 AE?平面 ABC, ∴B1B⊥AE, ∴由 B1B∩BC=B 知,AE⊥平面 B1BCC1,又由 AE?平面 AEF, ∴平面 AEF⊥平面 B1BCC1.

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(2)解

设 AB 中点为 M,连接 A1M,CM,则 CM⊥AB,由平面 A1ABB1⊥平面

ABC 且平面 A1ABB1∩平面 ABC=AB 知,CM⊥面 A1ABB1, ∴∠CA1M 即为直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角. 3 ∴∠CA1M=45°, 易知 CM= 2 ×2= 3, 在等腰 Rt△CMA1 中, A1M=CM= 3, 在 Rt△A1AM 中,A1A= A1M2-AM2= 2. 1 2 ∴FC=2A1A= 2 , 1 3 3 又 S△AEC=2× 4 ×4= 2 , 1 3 2 6 ∴V 三棱锥 FAEC=3× 2 × 2 = 12 . [题目 11] 解 2 (1)设椭圆的半焦距是 c,由于 e= 2 ,

∴a= 2c,则 b2=a2-c2=c2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为2c2+c2=1. 又椭圆 C 过点(2, 2). 4 2 所以2c2+c2=1,解得 c2=4. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 8 + 4 =1. (2)(ⅰ)当 MN⊥x 轴时,显然 m=0. (ⅱ)当 MN 与 x 轴不垂直时,设直线 MN 的斜率为 k,显然 k≠0, 则直线 MN 的方程为 y=k(x+2), y=k(x+2), ? ? 由?x2 y2 得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0. + = 1. ? ?8 4 设 M(x1,y1)、N(x2,y2),线段 MN 中点 Q(x0,y0), 8k2 则 x1+x2=- , 1+2k2

23

4k2 4k2 2k ? ? - ? 所以 x0=- . 2+2?= 2,y0=k 1+2k ? 1+2k ? 1+2k2 4k2 ? 2k 1? x + ? ? 线段 MN 的垂直平分线方程为 y- =- k? 1+2k2?. 1+2k2 在上述方程中令 x=0,得 y= -2k 2 即 m= 2=- 1. 1+2k 2k+k 1 2 当 k>0 时,2k+k ≥2 2,则 0>m≥- 2 ; 1 2 当 k<0 时,2k+k ≤-2 2,则 0<m≤ 2 . 2 2 所以- 2 ≤m<0 或 0<m≤ 2 . ? 2 2? 综上所述,实数 m 的取值范围是?- , ?. 2? ? 2 [题目 12] 解 (1)依题意,知 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 1 1 当 a=b=2时,f(x)=ln x-4x2-2x, 1 1 1 -(x+2)(x-1) f′(x)= x-2x-2= . 2x 令 f′(x)=0,解得 x=1 或 x=-2(舍去). 当 0<x<1 时,f′(x)>0;当 x>1 时,f′(x)<0, 所以 f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞). a (2)F(x)=ln x+ x,x∈[0,3]. x0-a 1 由 k=F′(x0)= x2 ≤2在(0,3]上恒成立. 0 1 ? ? 2 +x0? 知 a≥?-2x0 . ? ?max 1 1 当 x0=1 时,-2x2 0+x0 取最大值 , 2 ?1 ? 所以 a 的取值范围是?2,+∞?. ? ? (3)当 a=0,b=-1 时,f(x)=ln x+x, 由 f(x)=mx,得 ln x+x=mx,又 x>0, -2k . 1+2k2

24

ln x 所以 m=1+ x , 要使方程 f(x)=mx 在区间[1,e2]上有唯一实数解, ln x 只需 m=1+ x 有唯一实数解, 1-ln x ln x 令 g(x)=1+ x (x>0),∴g′(x)= x2 , 由 g′(x)>0 得 0<x<e;g′(x)<0,得 x>e. ∴g(x)在[1,e]上是增函数,在区间[e,e2]上是减函数, 2 1 又 g(1)=1,g(e2)=1+e2,g(e)=1+ e, 2 ? ? 1? ? 故 m 的取值范围是?1,1+e2?∪?1+e?. ? ? ? ? [题目 13] 解 π (1)在△ABC 中,b=4,A= 3 ,S=2 3,

1 1 3 ∴S=2bcsin A=2×4c× 2 =2 3,则 c=2, 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A π =16+4-2×4×2cos 3 =12, ∴a= 12=2 3. a c (2)由正弦定理,得sin A=sin C. c·sin A ∴sin C= a = π 2sin 3 2 3 1 =2.

π π 又由 c<a,得 0<C<A= 3 ,∴C= 6 , π ? π ? 则 f(x)=2?cos sin x-cos cos x? 6 3 ? ? π ? π ? ? π? =2?cos sin x-sin cos x?=2sin?x- ?, 6 6 6? ? ? ? 1 将函数 y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2(纵坐标不变), π? ? 得函数 g(x)=2sin?2x- ?的图象. 6? ? π π π π π 令 2kπ - 2 ≤2x- 6 ≤2kπ + 2 ,得 kπ - 6 ≤x≤kπ + 3 ,k∈Z, π π? ? 故 g(x)的单调增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 6 3? ?

25

[题目 14]



(1)

(2)质量指标值的样本平均数为 x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不 低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定. [题目 15] 解 (1)设数列{xn}的公差为 d,则 x5-x2=3d, 13 ? 7? 5 ∴- 2 -?-2?=3d,则 d=-1,x1=-2. ? ? 5 3 故 xn=-2+(n-1)×(-1)=-n-2, 13 5 yn=3xn+ 4 =-3n-4. 3 5? ? 因此点 Pn 的坐标为 Pn?-n-2,-3n-4?. ? ? ? 2n+3?2 12n+5 ? - (2)由题意,设 Cn 的方程为 y=a?x+ 4 . 2 ? ? 9? ? 将 An(0,n2+1)代入上式,整理得(a-1)?n2+3n+4?=0, ? ? ∴a=1.∴Cn 的方程为:y=x2+(2n+3)x+n2+1. 所以 y′=2x+2n+3,

26

由导数的几何意义,kn=y′|x=0=2n+3. 1 ? 1 1 1? 1 因此 = =2?2n+3-2n+5? kn+1kn (2n+5)(2n+3) ? ? 1 1 1 ∴k k +k k +?+ knkn+1 1 2 2 3 1 ?? 1??1 1? ?1 1? ? 1 =2??5-7?+?7-9?+?+?2n+3-2n+5?? ? ? ? ?? ? ?? 1 ? 1?1 n =2?5-2n+5?= . 10 n +25 ? ? [题目 16] (1)证明 如图,连接 A1B,在△A1BC 中,因为 E 和 F 分别是 BC 和

A1C 的中点,所以 EF∥BA1.又因为 EF?平面 A1B1BA,BA1?平面 A1B1BA,所以 EF∥平面 A1B1BA.

(2)证明

因为 AB=AC,E 为 BC 中点,所以 AE⊥BC,因为 AA1⊥平面 ABC,

BB1∥AA1, 所以 BB1⊥平面 ABC, 从而 BB1⊥AE.又因为 BC∩BB1=B, 所以 AE⊥ 平面 BCB1,又因为 AE?平面 AEA1,所以平面 AEA1⊥平面 BCB1. (3)解 取 BB1 的中点 M 和 B1C 的中点 N,连接 A1M,A1N,NE.因为 N 和 E 分别 1 为 B1C 和 BC 的中点,所以 NE∥B1B,NE=2B1B,故 NE∥A1A 且 NE=A1A,所 以 A1N∥AE,且 A1N=AE.又因为 AE⊥平面 BCB1,所以 A1N⊥平面 BCB1,从而 ∠A1B1N 为直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角. 在△ABC 中,可得 AE=2,所以 A1N=AE=2. 因为 BM∥AA1,BM=AA1, 所以 A1M∥AB,A1M=AB, 又由 AB⊥BB1,有 A1M⊥BB1. 在 Rt△A1MB1 中,可得 A1B1= B1M2+A1M2=4.

27

A1N 1 在 Rt△A1NB1 中,sin∠A1B1N=A B =2,因此∠A1B1N=30°.
1 1

所以,直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 30°. [题目 17] 解 c 1 (1)∵e=a=2,

∴a=2c,则 b2=a2-c2=3c2, x2 y2 则椭圆 C 的方程为4c2+3c2=1. 3? ? 又椭圆 C 过点 A?1,2?, ? ? 1 9 ∴ 2+ 2=1,c2=1,c=1, 4c 12c x2 y2 则 a=2,b= 3.椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. π (2) 由(1)知 F1(-1,0),①当 l 的倾斜角是 2 时,l 的方程为 x=-1, 3? 3? 1 1 ? ? 交点 A ?-1,2? , B ?-1,-2? ,此时 S △ ABF2 = 2 |AB| × |F1F2| = 2 × 3 × 2 = ? ? ? ? 12 2 3≠ 7 ,不合题意. π ②当 l 的倾斜角不是 2 时,设 l 的斜率为 k,则其直线方程为 y=k(x+1), x2 y2 ? ? + =1, 由? 4 3 消去 y 得:(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0, ? ?y=k(x+1), 4k2-12 8k2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 , 4k +3 4k +3 1 ∴S△F2AB=S△F1F2B+S△F1F2A=2|F1F1|(|y1|+|y2|) 1 =2×2|y1-y2|=|k(x1+1)-k(x2+1)| =|k| |x1-x2|2=|k| (x1+x2)2-4x1x2 =|k| 8k2 ?2 4k2-12 12|k| k2+1 ? - ? 4k2+3? -4× 2 = , 4k +3 4k2+3 ? ?

12|k| k2+1 12 2 12 2 又已知 S△F2AB= 7 , ∴ = 7 ?17k4+k2-18=0?(k2-1)(17k2+18) 4k2+3 =0?k2-1=0 解得 k=± 1,

28

故直线 l 的方程为 y=± 1(x+1),即 x-y+1=0 或 x+y+1=0. [题目 18] 解 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),

f′(x)=1+a-2x-3x2. 令 f′(x)=0,得 x1= -1- 4+3a , 3

-1+ 4+3a x2= ,x1<x2, 3 所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0; 当 x1<x<x2 时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增. (2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0. ①当 a≥4 时,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以 f(x)在 x=0 和 x= 1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1.由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减, 因此 f(x)在 x=x2= -1+ 4+3a 处取得最大值. 3

又 f(0)=1,f(1)=a, 所以当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. ? ? π ?? (1)∵m=?2cos x,-cos?x+ ??, ? ? 12?? ? ? π ?? n=?cos x,2sin?x+ ??. ? ? 12?? ? π? ? π? ∴f(x)=m· n=2cos2x-2sin?x+ ?cos?x+ ? ? 12? ? 12? [题目 19] 解 π? 3 1 ? =1+cos 2x-sin?2x+ ?=1+cos 2x- 2 sin 2x-2cos 2x 6? ? π? 1 3 ? =1+2cos 2x- 2 sin 2x=1-sin?2x- ?. 6? ?

29

则 f(x)的最小正周期 T=π . π π π π π 令 2kπ - 2 ≤2x- 6 ≤2kπ + 2 ,k∈Z,得 kπ - 6 ≤x≤kπ + 3 ,k∈Z. π π? ? f(x)的单调递减区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 6 3? ? π? π? ? ? ?A? (2)由 f? 2 ?=1,得 1-sin?A- ?=1,即 sin?A- ?=0. ? ? 6? 6? ? ? π 又 0<A<π ,故 A= 6 . a b 由正弦定理,得sin A=sin B, π 3sin 6 bsin A 3 ∴sin B= a = 2 = 4 . 又 a>b,知 B 为锐角. 13 ∴cos B= 1-sin2B= 4 . 故 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= [题目 20] 解 3+ 13 8 .

(1)由所给茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,

排在第 25,26 位的是 75,75,故样本中位数为 75,所以该市的市民对甲部门评 分的中位数的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 66,68,故样本 66+68 中位数为 2 =67,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67. 5 (2)由所给茎叶图知, 50 位市民对甲、 乙部门的评分高于 90 的频率分别为50=0.1, 8 故该市的市民对甲、 乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1, 50=0.16, 0.16. (3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位 数, 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分 的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价 较低、评价差异较大. [题目 21] 解 ?2+a2=3q, (1)由已知可得? 所以 q2-3q+2=0, 2 ?a2=q ,

30

解得 q=2 或 q=1(舍),从而 a2=4, 所以 an=2n,bn=2n-1. an (2)由(1)知,cn=2bn-λ· 3 2 =2n-3nλ . 由题意,cn+1<cn 对任意的 n∈N*恒成立, 即 2n+1-3n+1λ <2n-3nλ 恒成立,亦即 2λ3n>2n 恒成立, 1 ?2?n ?3? 恒成立. 即 λ>2· ? ? 1 ?2?x 由于函数 y=2·?3? 在 R 上是减函数, ? ? 1 ?2?n 1 2 1 所以当 n=1 时,2·?3? 有最大值,且最大值为2×3=3. ? ? 1 1 ?2?n 因此 λ>3时,λ >2·?3? 恒成立. ? ? ?1 ? 所以实数 λ 的取值范围是?3,+∞?. ? ? [题目 22] (1)证明 连接 BC1, 则 O 为 B1C 与 BC1 的交点. 因为侧面 BB1C1C 为

菱形,所以 B1C⊥BC1.

又 AO⊥平面 BB1C1C,所以 B1C⊥AO, 又因为 BC1∩AO=O, 所以 B1C⊥平面 ABO. 由于 AB?平面 ABO,故 B1C⊥AB. (2)解 作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD.作 OH⊥AD,垂足为 H.

由于 BC⊥AO,BC⊥OD,AO∩OD=O ,故 BC⊥平面 AOD,所以 OH⊥BC. 又 OH⊥AD,AD∩BC=D, 所以 OH⊥平面 ABC. 因为∠CBB1=60°,

31

所以△CBB1 为等边三角形, 3 又 BC=1,可得 OD= 4 . 1 1 由于 AC⊥AB1,所以 OA=2B1C=2. 7 由 OH· AD=OD· OA,且 AD= OD2+OA2= 4 , 21 得 OH= 14 . 21 又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面 ABC 的距离为 7 .故三棱柱 ABC-A1B1C1 21 的高为 7 . c 2 [题目 23] (1)解 依题意,得 b=1,e=a= 2 . ∴a2=2c2=2(a2-b2),则 a2=2b2=2. x2 2 故椭圆 C 的方程为 2 +y =1. (2)解 依题意,过点 M(2,0)的直线 l 的斜率存在,设为 k.

则直线 l 的方程为 y=k(x-2). y=k(x-2). ? ? 联立?x2 2 消去 y,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0. +y =1. ? ?2 由 Δ=64k4-4(8k2-2)(1+2k2)>0, 1 1 得 k2<2,则 0≤k2<2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 8k2-2 8k2 x1+x2= , x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2
→ →

所以OA·OB=x1x2+y1y2. =x1x2+k2(x1-2)(x2-2) =(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2 10k2-2 7 = =5- . 1+2k2 1+2k2 1 7 因为 0≤k2<2,所以2< 7 ≤7, 1+2k2

32

→ → 3? ? 故OA·OB的取值范围是?-2,2?. ? ?

(3)证明

由对称性可知 N(x2,-y2),定点在 x 轴上. y1+y2 (x-x1),令 y=0 得: x1-x2

直线 AN:y-y1=

x=x1-

y1(x1-x2) x1y2+x2y1 2x1x2-2(x1+x2) = = y1+y2 y1+y2 x1+x2-4

16k2-4 16k2 - 1+2k2 1+2k2 = =1. 8k2 - 4 1+2k2 所以直线 AN 恒过定点(1,0). [题目 24] (1)解 由 f(x)= ln x+2 1-2x-xln x ,得 f ′( x ) = , x e xex

1 2 ∴f′(1)=-e ,且 f(1)= e. 2 1 故曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为 y- e=-e(x-1),即 x+ey-3=0. 1-xln x 1-xln x ,令 F ( x ) = x x , x+1 ∵0<x≤1,∴F′(x)=- x2 <0, (2)解 由 f′(x)=0 得 k= 因此函数 F(x)在区间(0,1]上是减函数. ∵F(1)=1,且 x→0 时,F(x)→+∞. 故 F(x)≥1,则 k 的取值范围是[1,+∞). 1-xln x-kx .由 f′(1)=0,得 k=1. xex 1-xln x-x ∴f′(x)= ,x>0. xex (3)证明 f′(x)= e-2+1 需证 f′(x)< 2 恒成立, x +x ex -2 只需证明 1-xln x-x< (e +1). x+1 设 h(x)=1-xln x-x(x>0),得 h′(x)=-ln x-2. 当 x∈(0,e-2)时,h′(x)>0,h(x)是增函数; 当 x∈(e-2,+∞)时,h′(x)<0,h(x)是减函数.

33

所以 h(x)的最大值为 h(e-2)=e-2+1, 故 1-xln x-x≤e-2+1. 设 φ(x)=ex-(x+1),x>0,则 φ′(x)=ex-1. ∴当 x>0 时,φ ′(x)>0,φ (x)在(0,+∞)上是增函数. 因此 φ(x)>φ(0)=0. ex 故 x∈(0,+∞)时,φ (x)=e -(x+1)>0,即 >1, x+1 ex -2 -2 所以 1-x-xln x≤e +1< (e +1). x+1
x

因此,对任意 x>0,f′(x)< [题目 25] 解

e 2+1 恒成立. x2+x


(1)∵b· cos C=(2a-c)· cos B,

由正弦定理,得 sin Bcos C=(2sin A-sin C)cos B. ∴sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos B, 即 sin(B+C)=2sin Acos B. 在△ABC 中,0<A<π ,sin(B+C)=sin A≠0. 1 ∴cos B=2, π 因为 0<B<π ,所以 B= 3 , (2)∵a、b、c 成等差数列,且 b=3, ∴a+c=2b=6, 又由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B, ∴32=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac. 因此 3ac=62-32=27,则 ac=9. 1 1 3 9 3 所以 S△ABC=2acsin B=2×9× 2 = 4 . [题目 26] 解 (1)∵Sn=n(n+1)(n∈N*).

当 n=1 时,a1=S1=2. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n, a1=2 满足该式,∴数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)an= b1 b2 bn + 2 +?+ n (n≥1),① 3+1 3 +1 3 +1

34

bn+1 b1 b2 bn 则 an+1= + 2 +?+ n + n+1 ② 3+1 3 +1 3 +1 3 +1 ②-①得, bn+1 n+1 =a -a =2, +1 n+1 n

3

得 bn+1=2(3n+1+1), 又当 n=1 时,b1=8, 所以 bn=2(3n+1)(n∈N*). anbn (3)由(1),(2)知 cn= 4 =n(3n+1)=n· 3n+n. ∴Tn=c1+c2+c3+?+cn =(1×3+2×32+3×33+?+n· 3n)+(1+2+?+n). 令 Hn=1×3+2×32+3×33+?+n· 3n ① 则 3Hn=1×32+2×33+?+(n-1)· 3n+n· 3n+1② ①-②得,-2Hn=3+32+33+?+3n-n×3n+1 3(3n-1) = -n×3n+1, 3-1 (2n-1)×3n+1+3 n(n+1) ∴Hn= ,又 1 + 2 +?+ n = , 4 2 (2n-1)×3n+1 n(n+1) 3 ∴数列{cn}的前 n 项和 Tn= + +4. 4 2 [题目 27] 解 (1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为

{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B, Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共 15 种. (2)事件 M 即“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”的所 有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共 6 种. 6 2 因此,事件 M 发生的概率 P(M)=15=5. [题目 28] (2)证明 (1)解 点 F,G,H 的位置如图所示.

平面 BEG∥平面 ACH,证明如下:

因为 ABCD-EFGH 为正方体, 所以 BC∥FG,BC=FG, 又 FG∥EH,FG=EH,

35

所以 BC∥EH,BC=EH, 于是 BCHE 为平行四边形, 所以 BE∥CH, 又 CH?平面 ACH,BE?平面 ACH, 所以 BE∥平面 ACH, 同理 BG∥平面 ACH, 又 BE∩BG=B, 所以平面 BEG∥平面 ACH. (3)证明 连接 FH,与 EG 交于点 O,连接 BD.

因为 ABCD-EFGH 为正方体, 所以 DH⊥平面 EFGH, 因为 EG?平面 EFGH, 所以 DH⊥EG, 又 EG⊥FH,DH∩FH=H, 所以 EG⊥平面 BFHD, 又 DF?平面 BFHD, 所以 DF⊥EG,同理 DF⊥BG,又 EG∩BG=G, 所以 DF⊥平面 BEG.

[题目 29]



(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

1+a a f′(x)=1- x2 - x. 1+a a 由题意 f′(1)=1- 12 -1=-2,解得 a=1. (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),当 a=1 时, 2 2 1 (x+1)(x-2) f(x)=x+x -ln x,f′(x)=1-x2- x= . x2 在(1,2)上,f′(x)<0,f(x)单调递减;

36

2 在(2,e)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,f(1)=3,f(e)=e-1+e ,f(1)>f(e),f(2)=3 -ln 2. 由题意 f(2)<b≤f(e), 2 即 3-ln 2<b≤e-1+ e. (3)在[1,e]上存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立等价于 f(x)min<0,(x∈[1,e]), 1+a a (x+1)[x-(a+1)] f′(x)=1- x2 - x= , x2 ①当 a+1≤1,即 a≤0 时,在区间(1,e)上,f′(x)>0,f(x)是增函数, ∴f(x)min=f(1)=2+a<0,得 a<-2. ②当 1<a+1<e 时,即 0<a<e-1, 在区间(1,1+a)上,f′(x)<0,f(x)是减函数; 在区间(1+a,e)上,f′(x)>0,f(x)是增函数. ∴f(x)min=f(a+1)=2+a-aln(a+1), 因为 0<ln(a+1)<1,则 0<aln(a+1)<a. 因此 f(x)min=2+a-aln(a+1)>2, 从而 f(a+1)<0 不成立,舍去. ③当 a+1≥e 时,即 a≥e-1,在(1,e)上,有 f′(x)<0,f(x)是减函数. 1+a e2+1 ∴f(x)min=f(e)=e+ e -a<0.得 a> , e-1 e2+1 e2-2e+1 又 > =e-1. e-1 e-1 e2+1 因此 a> . e-1
2 ?e +1 ? ,+∞?. 综合①,②,③知实数 a 的取值范围为(-∞,-2)∪? ? e-1 ?

[题目 30]



x2 y2 (1)由题意,椭圆的焦点在 x 轴上,设其方程为a2+b2=1(a>b>0).

依题设,椭圆 E 的左右焦点为 F1(- 3,0),F2( 3,0),∴c= 3.

37

又椭圆 E 的短轴两端点与 F2 构成正三角形. ∴a=2b,① 又因 a2=b2+c2=b2+3,② 联立①,②得 a2=4,b2=1. x2 所以椭圆 E 的方程为 4 +y2=1. (2)①双曲线 C 的右顶点 A 为(1,0). (ⅰ)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1. x2 3 代入 4 +y2=1,解得 x=1,y=± 2 . → → ? ? ?9 3? 3? 3? ?17 ? 不妨设 P?1, ? , Q?1,- ? ,由 M? 8 ,0? 可得, PM =? ,- ? , QM = ? ? 2? 2? 2? ? ? ?8 ?9 3? ? , ?, ?8 2 ? → → 81 3 33 ∴PM·QM=64-4=64. (ⅱ) 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y=k(x-1), x2 ? ? +y2=1, 由? 4 得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0, ? ?y=k(x-1) 设直线 l 与椭圆 E 交点 P(x1,y1),Q(x2,y2), 4k2-4 8k2 则 x1+x2= , x · x = . 1+4k2 1 2 1+4k2
→ →

则PM=(m-x1,-y1),QM=(m-x2,-y2),
→ →

∴PM·QM=(m-x1)(m-x2)+y1y2 =m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2, 4k2-4 2?4k2-4 8k2 ? 8k2 - +1? =m -m 2 + 2 +k ? 2 2 4k +1 4k +1 ?4k +1 4k +1 ?
2

38

(4m2-8m+1)k2+(m2-4) = 4k2+1 1? 1 ? (4m2-8m+1)?k2+4?+(m2-4)-4(4m2-8m+1) ? ? = 4k2+1 17 2m- 4 1 =4(4m2-8m+1)+ 2 . 4k +1 → 17 17 → 33 当 2m- 4 =0,即 m= 8 时PM·QM为定值64. → → 17 33 综上所述当 m= 时,PM·QM为定值 . 8 64 ②∵ON∥PQ,∴S△NAP=S△OAP,∴S1+S2=S△OPQ, ∵|PQ|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]= 1+k2·
2 2 3k2+1 ? 8k ?2 16k -16 2 ?4k2+1? - 2 =4 (1+k )· 2 , 4k +1 4k +1 ? ?

原点 O 到直线 PQ 的距离为 d= 2|k| 3k2+1 1 ∴S△OPQ=2|PQ|d= = 4k2+1 t-1 令 4k2+1=t,则 k2= 4 (t>1). 1 ∴S△OPQ=2· 3t2-2t-1 1 =2 t2

|k| (k≠0), 1+k2 4k2(3k2+1) . (4k2+1)2

?1 ?2 -? t +1? +4, ? ?

1 ?1 ?2 ∵t>1,∴0< t <1,则 0<4-? t +1? <3. ? ? 3 ∴0<S△OPQ< 2 . 1 3 又当直线 l 的斜率不存在时,S△OPQ=2×1× 3= 2 , ? 3? 综上可知,S1+S2 的取值范围为?0, ?. 2? ?

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