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圆锥曲线同步练习(学生版)

时间:2018-04-11


第 57 讲





x2 y2 1.(2013·衡水调研)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为 d1,d2,焦距为 2c. a b 若 d1,2c,d2 成等差数列,则椭圆的离心率为( ) 1 2 3 3 A. B. C. D. 2 2 2 4 x2 y2 2.(2012·福建省宁德市质量检查)已知方程 + =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则 k+1 3-k k 的取值范围是( ) A.k>1 或 k<3 B.1<k<3 C.k>1 D.k<3 2 2 x y 3.(2013·温州五校)椭圆 + =1 的左焦点为 F1,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点 M 在 y 25 9 轴上,则|PF1|=( ) 41 9 A. B. C.6 D.7 5 5 4.(2012·海淀二模)已知点 F1,F2 是椭圆 x2+2y2=2 的两个焦点,点 P 是该椭圆上的一个动 → → 点,那么|PF1+PF2|的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D.2 2 5.(2012·重庆市第二次七区联考)椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的三倍, 则 m 的值为 . x2 y2 6.(2012·广东省潮州市上学期期末)直线 x-2y+2=0 经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦 a b 点和一个顶点,则该椭圆的离心率为 2 7.(2012·广东省肇庆第一次模拟)短轴长为 5,离心率 e= 的椭圆的两焦点为 F1,F2,过 F1 3 作直线交椭圆于 A,B 两点,则△ABF2 的周长为 x2 y2 8.设 F1,F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 a b A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,F1 到直线 l 的距离为 2 3. → → (1)求椭圆 C 的焦距;(2)如果AF2=2F2B,求椭圆 C 的方程.

9.(2012·广东省江门市第一次模拟)已知椭圆 C 的中心在原点, 长轴在 x 轴上, 经过点 A(0,1), 2 离心率 e= . 2 (1)求椭圆 C 的方程; 1 1 (2)设直线 ln:y= (n∈N*)与椭圆 C 在第一象限内相交于点 An(xn , yn),记 an= x2 n,试 2 n+ 1 1 证明:对?n∈N*,a1·a2·…·an> . 2

第 58 讲

双曲线

1.(2012·泉州四校二次联考)双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C. 4 D . 4 2 2.(2012·北京市西城区第一学期期末)若双曲线 x2-ky2=1 的一个焦点是(3,0), 则实数 k=( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 16 8 4 2 3.(2013·四川省成都 4 月模拟)已知定点 A,B,且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA| 的最小值为( ) 1 3 7 A. B. C. D.5 2 2 2 4.(2012·唐山市上期期统考)已知双曲线的渐近线为 y=± 3x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则 双曲线方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 8 24 12 4 24 8 4 12 x2 y2 5.(2012·山东省青岛市 3 月质量检测)已知双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± 3x, 则它的 a b 离心率为 . x2 y2 6.(2012·广东省高州市第一次模拟)已知 F1、F2 是双曲线 - =1 的焦点,PQ 是过焦点 F1 16 9 的弦,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值是 . x2 y2 7.(2013·武昌区 2 月调研)双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 平行于双曲 9 16 线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为

8.求与圆(x+2)2+y2=2 外切,并且过定点 B(2,0)的动圆圆心 M 的轨迹方程.

→ → 9.已知两定点 F1(- 2,0),F2( 2,0),满足条件|PF2|-|PF1|=2 的点 P 的轨迹是曲线 E, 直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点. → (1)求 k 的取值范围;(2)如果|AB|=6 3,求 k 的值.

第 59 讲

抛物线

1.抛物线 y=4x2 的准线方程为( A.x=-1 B.y=-1

1 1 D.y=- 16 16 2.(2012·山东省莱芜市上期末)正三角形一个顶点是抛物线 x2=2py(p>0)的焦点,另两个顶点 在抛物线上,则满足此条件的正三角形共有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 3.(2012·郑州市第一次质量预测)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线方程为( ) A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2= 3x C.x=-

)

4.(2012·山东省临沂市 3 月一模)若抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方 程为 1 5.(2012·皖南八校第二次联考)抛物线 x2=ay 过点 A(1, ),则点 A 到此抛物线的焦点的距离 4 为 . 6.(2013·衡水调研卷)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为 7.(2012·山西大学附中第二学期 3 月考)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F, 准线与 x 轴的交点为 3 M,N 为抛物线上的一点,且满足|NF|= |MN|,则∠NMF= . 2

8.(2012·重庆市七区第一次联考)在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 C 的顶点在原点, 经过点 A(2,2),其焦点 F 在 x 轴上. (1)求抛物线 C 的标准方程;(2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程.

9.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y2=2px(p>0)上横坐标为 4 的点到该抛物线 的焦点的距离为 5. (1)求抛物线的标准方程; (2)设点 C 是抛物线上的动点,若以 C 为圆心的圆在 y 轴上截得的弦 AB 的长为 4,求证:圆 C 过定点.

第 60 讲

直线与圆锥曲线的位置关系

1.过点(0,2)与抛物线 y2=8x 只有一个公共点的直线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.无数条 x2 y2 2.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( ) 9 4 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 x2 y2 3.(2013·湖北省武昌区元月调研)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且 a b 倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(1,2] C.[2,+∞) D.(2,+∞) 4.(2012·安徽卷)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 点 O 是原点, 若|AF| =3,则△AOB 的面积为( ) 2 3 2 A. B. 2 C. D.2 2 2 2 x2 y2 5.(2012·长春市第四次调研)若椭圆 + =1 与直线 x+2y-2=0 有两个不同的交点,则 m 3 m 的取值范围是

6.(2012·浙江省杭州市 5 月份押题)过抛物线 y2=2px(p>0)焦点的直线与抛物线交于 A、B 两 1 点,|AB|=3,且 AB 中点的纵坐标为 ,则 p 的值为 2 7.(2012·安徽省蚌埠市 3 月第二次质检)已知两定点 M(-2,0),N(2,0),若直线上存在点 P, 使得|PM|-|PN|=2, 则称该直线为“A 型直线”, 给出下列直线: ①y=x+1; ②y= 3x+2; ③y=-x+3;④y=-2x.其中是“A 型直线”的序号是 8.椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、B 两点,C 是线段 AB 的中点.若|AB|= 2 2 2,直线 OC 的斜率为 ,求椭圆的方程. 2

9.(2013·西城二模)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点. → → (1)若AF=2FB,求直线 AB 的斜率; (2)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最 小值.

第 61 讲

轨迹问题

1.(2012·安徽省皖南八校联考)若动点 P 到定点 F(1,-1)的距离与到直线 l:x-1=0 的距离 相等,则动点 P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 2.(2012·山西省太原五中高三 9 月)实数变量 m,n 满足 m2+n2=1,则坐标(m+n,mn)表示 的点的轨迹是( ) A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线的一部分 3.(2013·昌平区期末)一圆形纸片的圆心为点 O,点 Q 是圆内异于 O 点的一定点,点 A 是圆 周上一点.把纸片折叠使点 A 与 Q 重合,然后展平纸片,折痕与 OA 交于 P 点.当点 A 运 动时点 P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

→ → 4.(2012·甘肃省天水市预测)已知点 A(-1,0)和圆 x2+y2=2 上一动点 P, 动点 M 满足 2MA=AP, 则点 M 的轨迹方程是( ) 3 3 1 3 1 A.(x-3)2+y2=1 B.(x- )2+y2=1 C.(x- )2+y2= D.x2+(y- )2= 2 2 2 2 2 → → → 5.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC=λ1OA+λ2OB(O 为原点), 其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点 C 的轨迹方程为 6.(2013·洛阳模拟)设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B → → → → 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点.若BP=2PA,且OQ·AB=1,则点 P 的轨 迹方程是 7.(2013·广东高州市模拟)点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 8.已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点, 焦点在 x 轴上, 它的一个顶点到两个焦点的 距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, = e(e 为椭圆 C |OM| 的离心率),求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

第 62 讲

圆锥曲线的综合问题

1.已知λ∈R,则不论λ取何值,曲线 C:λx2-x-λy+1=0 恒过定点( ) A.(0,1) B.(-1,1) C.(1,0) D.(1,1) 2.若点 A 的坐标为(3,2),F 为抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 在抛物线上移动,为使|PA|+|PF| 取最小值,P 点的坐标为( ) 1 A.(3,3) B.(2,2) C.( ,1) D.(0,0) 2 x2 y2 3.(2012·山东省高考冲刺预测)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上任意一点 P,引与实轴平行的 a b → → 直线,交两渐近线于 M、N 两点,则PM·NP为定值( ) A.a2b2 B.2ab C.a2 D.-a2 x2 y2 4.(2012·山东省莱芜市上期末)若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为 9 5 → → 椭圆上任意一点,则OP·FP的最小值为( )

11 B.3 C.8 D.15 4 5.双曲线 x2-y2=4 上一点 P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为 Q,已知 O 为坐标原 点,则△POQ 的面积为定值 . A. x2 y2 6.椭圆 + =1 和圆 x2+y2-4x+3=0 上最近两点之间的距离为 25 16 为 . 2 , 最远两点间的距离

7.(2012·柳州市第一次模拟)如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A、D 为椭圆的两个焦点, 其余 4 个顶点在椭圆上,则该椭圆的离心率是

x2 y2 → → 8.若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P、Q 两点,且OP·OQ=0(O 为坐标原 a b 1 1 3 2 点).(1)求证: 2+ 2等于定值;(2)若椭圆离心率 e∈[ , ]时,求椭圆长轴长的取值范围. a b 3 2

x2 y2 9.(2012·山东省淄博市第一学期期中)已知点 F1,F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 a b 右焦点,点 P 为椭圆上任意一点,P 到焦点 F2 的距离的最大值为 2+1,且△PF1F2 的最大 面积为 1. (1)求椭圆 C 的方程; 5 (2)点 M 的坐标为( ,0),过点 F2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点.对 4 → → 于任意的 k∈R,MA·MB是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.


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