山东省济南外国语学校2014届高三上学期质量检测 文科数学 Word版含答案

高三数学试题（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷（选择题

共 60 分）

注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把题答卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符 合题目要求的选项．

∥b ,则实数 x =（ 1.若向量 a ? (2,3), b ? ( x, ?6) ,且 a
A．－4 B． 4 C．－6

） D．6 ）

2.设 a ???11 ， ， 2， 3? ，则使函数 y ? xa 的值域为 R 且为奇函数的所有 a 值为（ A． 1 ， 3 B． ?1 ， 1 ） C． ?1 ， 3

D． ? 1 ， 1 ， 3

3.下列说法中，正确的是（

2 2 A．命题“若 am ? bm ，则 a ? b ”的逆命题是真命题

B．命题“ p 或 q ”为真命题，则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题
2 2 C．命题“ ?x ? R ， x ? x ? 0 ”的否定是： “ ?x ? R ， x ? x ? 0 ”

D．已知 x ? R ，则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件
2 4.设全集 U 是实数集 R ， M ? {x x ? 4} ，N＝

{x| 1 ? x ? 3 }，则图中阴影部分表示的集合是( A．{x|－2≤x＜1 } C．{x|1＜x≤2 } B．{x|－2≤x≤2} D．{x|x＜2}

)

5.在 ?ABC 中，已知 sin C ? 2 sin(B ? C ) cos B ，那么 ?ABC 一定是 A．等腰直角三角形 C．直角三角形
1

B．等腰三角形 D．等边三角形

6.已知 ? ? ( , ?) , tan(? ? A. ?

? 2

? 1 ) ? ,那么 sin ? ? cos ? 的值为（ ） 4 7
B.

1 5

7 5

C. ?

7 5

D.

3 4

7.给出下列三个等式： f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ， f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ， f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ， 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ A． f ( x ) ? x B． f ( x) ? log2 x ） C． f ( x) ? 3x D． f ( x) ? sin x ）

2 8.已知正实数数列 {an } 中， a1 ? 1, a2 ? 2, 2an ? an?12 ? an?12 (n ? 2) ，则 a6 等于（

A．16

B．8

C． 2 2

D．4

, 将y ? f ( x)和y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系中， 9.设 f ?( x)是函数f ( x)的导函数 不可能
正确的是 （ ）

10.各项都是正数的等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ，且 a 2 , （ A． 11.函数 ）

a ?a ?a 1 a 3 , a1 成等差数列，则 2 3 4 的值为 2 a3 ? a4 ? a5

1? 5 2

B．

5 ?1 2

C．

5 ?1 2

D．

5 ?1 5 ?1 或 2 2

f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 的零点个数为
B. 2 C. 3 D. 4

A. 1

12.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的函数，其最小正周期为 3，且 x ? (0,3) 时， f ( x) ? log2 (3x ? 1) ， 则 f(2014)=（ A．4 ） B．2 C．－2
2

D． log2 7

第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
2 注意事项： , 1．用 0.5mm 的中性笔答在答题纸相应的位置内。 4 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 , 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．答案须填在题中横线上． 6 13.已知直线 y ? 3x ? 1 与曲线 y ? x3 ? mx? n 相切于点 (1,4) ，则 m ? _____ 。 14.设 f ( x) 定义如下面数表，数列 ?xn ? 满足 x0 ? 5 ，且对任意自然数 n 均有 xn?1 ? f ( xn ) ，则 x2014 的值为___________________。

x
f ( x)

1 4
2 2

2 1

3 3

4 5

5 2

15.已知点 P(1,4) 在圆 C : x ? y ? 2ax ? 4 y ? b ? 0 上，点 P 关于直线 x ? y ? 3 ? 0 的对称点也在 圆 C 上，则 a ? _____, b ? _____。 16.一次研究性课堂上，老师给出函数 f ( x) ? 分别给出下列命题： 甲：函数 f ( x ) 为偶函数；

x ，甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时 1? | x |

(?1,1) ； 乙：函数 f ( x)的值域为
丙：若 x1 ? x 2 则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 你认为上述三个命题中正确的个数有 个

三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2 17.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?

1 ( x ? R) . 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期；

3

(2)求函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
4

] 上的函数值的取值范围.

n ?1 18.（本小题满分 12 分）设数列 3 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S n ?

?

?

n * ，a?N ． 3

（Ⅰ）求数列 ?an ? 的通项公式； （Ⅱ）设 bn ?

n ，求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ． an

19.（本小题满分 12 分） 某幼儿园在“六·一儿童节”开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长 代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案： 方案一 宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是 1，2，3，4， 5，6） ，宝宝所得点数记为 x ,家长所得点数记为 y ; 方案二 宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮(此计算器只能产生区间［1，6］的随 机实数)，宝宝的计算器产生的随机实数记为 m ,家长的计算器产生的随机实数记为 n . (Ⅰ) 在方案一中，若 x ? 1 ? 2 y ,则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的 概率； （Ⅱ）在方案二中，若 m ? 2 n ,则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣 读物的概率. 20.（本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 P ? ABCD 。 (1) 若 底 面 ABCD 为 菱 形 ， ?DAB ? 60? ， PA ? PD ， 求证： PB ? AD ; (2) 若底面 ABCD 为平行四边形， E 为 PC 的中 点， 在 DE 上取点 F ，过 AP 和点 F 的平 面 与 平 面 BDE 的 交 线 为 FG ， 求 证 ： AP // FG 。 21． （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) ? （Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间；

1 2 x ? ln x 。 2

2 3 x ? x 2 ，证明当 x ? 1 时，函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方。 3 22． （本小题满分 14 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离 的最大值为 3 ，最小值为 1 ．
（Ⅱ）若 g ( x ) ? ?
4

（Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ，且线段 MN 的垂直平分线 过定点 G ( ,0) ，求 k 的取值范围。

1 8

高三数学（文科）试题参考答案
一、选择题 A A C C B 二、填空题 13．0 14．1 15. a ? ?1, b ? 1 16.2 A D D D C B B

三、解答题 17．解: (1)因为 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ????????????????4 分 2 2

? sin(2 x ? ) ?????????????????????????6 分 6
故 f ( x ) 的最小正周期为 ? ??????????????????8 分 (2)当 x ? [0,

?

?
4

] 时, 2 x ?

?
6

? [?

? ?

, ] ????????????????10 分 6 3

故所求的值域为 [? , 18: (I)由题意得

1 3 ] ????????????????????12 分 2 2

n Sn = a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ... ? 3n ?1 an ? , 3 n ?1 (n ? 2), Sn?1 ? a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ... ? 3n ?2 an ?1 ? 3
①-②得
5

① ②

n n ?1 1 ? ? (n ? 2). 3 3 3 1 所以 an ? n (n ? 2). ?????????????4 分 3 1 * 经验证 n ? 1 时也满足上式，所以 an ? n (n ? N ). ????????6 分 3 3n ?1 an ?
(II) 由（1）得 bn ? n ? 3n ，

Tn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ... ? n ? 3n 3Tn ?
两式相减得

1? 32 ? 2 ? 33 ? ... ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1

?2Tn ? 3 ? 32 ? 33 ? 3n ? n ? 3n?1 ?????????????8 分
3 ? 3n ?1 ?2Tn ? ? n ? 3n ?1 ， 1? 3
Tn ? n n ?1 1 n ?1 3 ? 3 ? ? 3 ? ? ?????????????12 分 2 4 4

20. 证明：

6

??????????????????6 分

?????????????12 分 21． 解： （Ⅰ）? f ( x) ?

1 2 x ? ln x 的定义域为 (0,??) ， 2

又 f ( x) 求得： f ' ( x) ? x ?

1 x2 ?1 ? ??2 分 x x

令 f ' ( x) ? 0 ，则 x ? 1 ??3 分 当 x 变化时， f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表：

x

(0,1)

1

(1,??)

7

f ' ( x)

+ 0 极小 ↘ 值 ↗

f ( x)

故 f ( x) 的单调递减区间是 (0,1) 。单调递增区间是 (1,??) ??6 分 （Ⅱ）令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
2 则 h' ( x ) ? 2 x ? x ?

2 3 1 2 x ? x ? ln x 3 2

1 2x3 ? x 2 ? 1 ? x x

?

( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) ??8 分 x

? x ? 1? h' ( x) ? 0 ? h( x) 在 (1,??) 上单调递增??10 分
又 h(1) ?

1 ?0 6

? f ( x) ? g ( x)
∴当 x ? 1 时， f ( x) 的图象恒在 g ( x) 图象的上方。??12 分

22． 解： (I)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

a ? c ? 3, a ? c ? 1 ， a ? 2, c ? 1, b2 ? 3

?

x2 y2 ? ? 1. ?????????????4 分 4 3

（Ⅱ）设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 3 ? y ? kx ? m ?
8

消去 y 并整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx? 4m2 ?12 ? 0 ??6 分 ∵直线 y ? kx ? m 与椭圆有两个交点

? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ，即 m2 ? 4k 2 ? 3 ??8 分
又 x1 ? x2 ? ?

8km 3 ? 4k 2

? MN 中点 P 的坐标为 (?

4km 3m , ) ??10 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 1 设 MN 的垂直平分线 l ' 方程： y ? ? ( x ? ) k 8
? p 在 l'上

?

3m 1 4km 1 ? ? (? ? ) 2 2 3 ? 4k k 3 ? 4k 8

即 4k 2 ? 8km ? 3 ? 0

?m ? ?

1 (4k 2 ? 3) ??12 分 8k

将上式代入得

(4k 2 ? 3) 2 ? 4k 2 ? 3 64k 2

?k2 ?
即k ?

1 20

5 5 或k ? ? 10 10
5 5 ) ? ( ,??) ??14 分 10 10

? k 的取值范围为 (??,?

9