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内蒙古乌海市2013届高三临考精选模拟数学文科卷8

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内蒙古乌海市 2013 届高三临考精选模拟数学文科卷 8

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有 .. 一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). .. 1.

3?i ? 2?i A. 1 ? i
复数

B. 1 ? i

C. ?1 ? i

D. ?1 ? i

2.

设全集为整数集 Z ,A ? {0,1},B ? {-1,1},则 A∩(?ZB) ? A.{0,1} B.{0} C.{1} D. ? 若 cos ? ? ? A.

3.

3 4

4 ,且 ? 是第二象限角,则 tan ? 的值为 5 4 3 B. C. ? 3 4

D. ?

4 3

4.

某几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 图可以是 A. B. C.

1 ,则该几何体的俯视 2

D.

5.

已知向量 a 、 b 的夹角为 120? ,且 a ? b ? 4 ,那么 b ? (2a ? b ) 的值为 A.48 B.32 C.1 D.0

?

?

?

?

?

?

?

6.

已知各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1a2 a3 ? 8 , a3 a4 a5 ? A.512 B.64
2 2 2 2

1 ,则 a2 a3a4 ? 8
D.

C.1

1 512

7.

已知圆 x +y =9 与圆 x +y -4x+4y-1=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 A.4x-4y+1=0 B.x-y=0 D.x-y-2=0 ? 、 ? 是空间不同的平面,对于命题

8.

C.x+y=0 设 m 、 n 是空间不同的直线,

p : m ? n , m ? ? ? n //? ,命题 q : m ? ? , m //? ? ? ? ? ,下面判断正确的是 A. p ? q 为真命题B. p ? q 为真命题 C. p ? ?q 为真命题 D. ? p ? q 为假命题
9. 已知函数 f ( x ) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时,
y O 1 2 3 x

开始

定义 f (x)
输入精确度d 和区间[a,b] m= a+b 2

f ( x) 的图象如图所示,则不等式 f (? x) ? x ? 0 的解集是
A. (?1,0) ? (0,1) B. (?1,1)

C. (?3, ?1) ? (0,1) D. (?1,0) ? (1,3) 10. 如图是用二分法求方程 f ( x) ? 0 近似解的程序框图,方程的解所在区间 用 [ a, b] 表示,则判断框内应该填的条件可以是 A. f (a) f (m) ? 0
第 1 页 共 9 页

?




B. f (a) f (m) ? 0


b=m |a- b|<d 或 f (m)=0?
是 输出m 结束

a= m

C. f (a) f (b) ? 0

D. f (a) f (b) ? 0

11. 若函数 y ? 2cos ? x 在区间 [0, A.2 C.3 12. 设方程

2? ] 上递减且有最小值 1,则 ω 的值为 3

1 2 1 D. 3
B.

1 ?| lg x | 的两个根为 x1 、 x2 ,则 x ?1
B. x1 x2 ? 1 D. 0 ? x1 x2 ? 1

A. x1 x2 ? 0 C. x1 x2 ? 1

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题-21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3 ? 6,a3 ? 4,则公差 d ? . .

? y ≤ 2x ? 14. 已知实数 x、y 满足 ? y ≥ -2 x ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值是 ?x ≤ 3 ?
15. 函数 f ( x) ? xe x (其中e ? 2.71828? )的图象在 (0, 0) 处的切线方程是

.

16. 如图,椭圆的中心在坐标原点, F 为左焦点, A 、 B 分别为长轴和短轴上的一 个顶点,当 FB ? AB 时,此类椭圆称为“优美椭圆” ;类比“优美椭圆” ,可推 出“优美双曲线”的离心率为 .

y

B A x

F O

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) . 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, A 、B 、C 的对边长分别是 a 、b 、c , 角 且满足 (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0. (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3, △ ABC 的面积 S△ABC ?

3 3 , 试判断△ ABC 的形状,并说明理由. 4

18. (本小题满分 12 分) 某校高一某班的一次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率分布直方图都受到 不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

第 2 页 共 9 页

(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况, 在抽取的试卷中, 求至少有一份分数在[90,100]之间的概率. 19. (本小题满分 12 分) C 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB ∥ EF ,直角梯形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在 的平面互相垂直, ?CBA ? 90? , AB ? BC ? 2 , AD ? EF ? 1 . B (1)证明: AF ? 平面 CBF ; (2)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的 D O 体积分别为 VF ? ABCD 、 VF ? CBE ,求 VF ? ABCD : VF ?CBE . 20. (本小题满分 12 分) A 2 2 已知椭圆 C :

E F

x y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 2 a b 2 2 相交于 A、B 两点.当直线 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 . 2
(1)求椭圆 C 的方程;

(2)椭圆 C 上是否存在点 P ,使得当直线 l 绕点 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标及对应的直线方程;若不存在,请说 明理由. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? 1的单调减区间是(1,2). (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若对任意的 m? (0, 2] ,关于 x 的不等式 f ( x) ?

??? ?

??? ??? ? ?

x ?[2, ??) 时有解,求实数 t 的取值范围.

1 3 m ? m ? ln m ? mt ? 3 在 2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B , ADE 、CFD 、 CGE 都是⊙ O 的割线,已知 AC ? AB .证明: (1) AD ? AE ? AC ; (2) FG // AC . 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲.
2

C F D B

O E

A

? x ? cos ? 已知曲线 C: ? ( ? 为参数). y ? sin ? ? (1)将 C 的参数方程化为普通方程;

第 3 页 共 9 页

(2)若把 C 上各点的坐标经过伸缩变换 ?

? x? ? 3 x 后得到曲线 C? , 求曲线 C? 上任意一点 y? ? 2 y ?

到两坐标轴距离之积的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | . (1)若 a ? ?1 ,解不等式 f ( x) ≥ 3 ; (2)如果 ?x ? R, f ( x) ≥ 2 ,求 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;网上阅卷每小题误差控制为 0 分) 1.A 2.B 3. C 4. C 5.D 6.C 7. D 8. B 9.A 10.A 11.B 12.D 简答与提示: 1. 2. 3. A B C

z?

3 ? i (3 ? i )( 2 ? i ) 5 ? 5i ? ? ?1? i . 2?i 5 5

A∩(?ZB)={0}.
∵ cos ? ? ?

4 3 3 ,又 ? 是第二象限角,∴sinα = ,∴ tan ? ? ? . 5 5 4
1 ,符合;B、 2

4.

C

只看俯视图,四个选项都可以,但 A 中体积为 1,不符合;C 中体积为

D 中体积含有 ? ,故不符合. 5. 6. 7. D

? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 b ? (2a ? b ) ? 2a ? b ? b 2 ? 2 a ? b cos120? ? b ? 2 ? 4 ? 4 ? (? ) ? 16 ? 0 . 2 1 C 由等比数列的性质 a2 a3a4 ? 8 ? ? 1 . 8
D 由于两圆的圆心分别为(0,0)与(2,-2),则可知两圆圆心连线的中垂线方程为 y+

1=x-1?y=x-2,即直线 l 的方程为 x-y-2=0. 8. 9. B 命题 p 为假,反例 n ? ? ,命题 q 为真.根据“有假且假,有真或真”判断, p ? q 为假, p ? q 为真, p ? ?q 为假, ? p ? q 为真,只有 B 选项正确.

A ∵ f ( x ) 是奇函数,∴ f (? x) ? x ? 0 可化为 f ( x) ? x ? 0 .作出函数在 (?3,3) 上的简 图,可知 A 正确. 10. A 条件结构的“是”分支,说明方程的根在 [a, m] 之间,因此将 m 的值赋给区间右端 点 b ,∴判断框内应填 f (a) f (m) ? 0 . 11. B 由 y ? 2cos ? x 在 区 间 [ 0 ,

2? ] 递减,且有最小值 1,结合图象可知 上 3

2 cos
12. D

2? 2? 1 2? ? 1 ? ? 1 ? cos ? ? .∴ ? ? ,∴ ? ? . 3 3 2 3 3 2

1 和 y ?| lg x | 的图象如图,不妨设 x ?1 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,则 | lg x1 |?| lg x2 | ,∴ ? lg x1 ? lg x2 ,即
分别作出函数 y ?

y

lg x1 ? lg x2 ? 0 ,∴ 0 ? x1 x2 ? 1.

-1 O x1 1 x2

x

第 4 页 共 9 页

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分;网上阅卷每小题误差控制为 0 分) 13. 2 简答与提示: 14. -9 15.

y?x

16.

1? 5 2

3(a1 ? a3 ) a ? a1 =6,∴ a1 ? a3 ? 4 ,而 a3=4,∴a1=0,∴d= 3 =2. 2 2 ? y ? 2x ? x ? 3 14. -9 如图作出阴影部分为可行域,由 ? 得? ,即 A(3,6),经过分析可知 ?x ? 3 ?x ? 6
13. 2 ∵S3= 直线 z=x-2y 经过 A 点时 z 取最小值为-9. 15.

y?x f ?( x) ? x?e x ? x(e x )? ? e x ? xe x ? (1 ? x)e x ,k ? f ?(0) ? 1,∴所求切线方程 为 y ? x.

16.

1? 5 2

如图,类比可得∠ FBA ? 90? ,∴ b ? ac ,即 c ? a ? ac ? 0 ,∴
2 2 2

y B F OA x

e2 ? e ? 1 ? 0 ,∴ e ?

1? 5 . 2

三、 解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分;网上阅卷每小题误差控制为 2 分) 17. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查解三角形的有关知识,具体涉及到正弦定理、余弦定理、 三角形的面积公式及简单的三角变换等内容. 【试题解析】解:⑴(方法一)∵ (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0, ∴ (2sin B ? sin C ) cos A ? sin A cos C ? 0. ∴ 2sin B cos A ? sin( A ? C ) , (2 分) (4 分) (6 分)

1 ? ,∴ A ? . 2 3 (方法二)∵ (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0,
∴ 2sin B cos A ? sin B, ∴ cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c 2 ?a ? 0, 2bc 2ab 3 2 3 2 2 2 2 ∴ 2ab ? 2abc ? 2a b ? 2acb ? 0 ,即 b ? c ? a ? bc ? 0 . 1 ? ∴ cos A ? .又 0 ? A ? ? ,∴ A ? . 2 3 3 3 1 3 3 ⑵∵ S△ABC ? ,∴ bc sin A ? ,∴ bc ? 3 . 4 2 4 b 2 ? c 2 ? ( 3)2 ∵ cos A ? ,∴ b ? c ? 2 3 . 2bc ∴b ? c ? 3 . ? 又 A ? ,∴△ ABC 是等边三角形. 3
∴ (2b ? c)

(2 分) (4 分) (6 分) (8 分)

(10 分) (12 分)

18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到茎叶图、直方图,古典 概型等内容. 【试题解析】解:

第 5 页 共 9 页

(1)分数在[50,60)的频率为 0.008×10=0.08, 分) 2 由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为 2,所以全班人数为 =25, 0.08 (2)分数在[80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2=4; 4 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 ÷10=0.016. 25 分)

(2 (4 分) (6 分) (8

(3)将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4,[90,100]之间的 2 个分数编号为 5,6, 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6), (5,6)共 15 个, (10 分) 其中,至少有一份在[90,100]之间的基本事件有 9 个, 9 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是 =0.6. (12 分) 15 19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查立体几何的相关知识及空间想象能力, 具体应用到线面垂 直的判定定理与面面垂直的性质定理以及体积求法等知识. 【试题解析】解:⑴? 平面 ABCD ? 平面 ABEF ,平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB , CB ? AB , CB ? 平面 ABCD ,?CB ? 平面 ABEF , (2 分) C ? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB . (3 分) ? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , (4 分) 又 CB ? BF ? B ,? AF ? 平面 CBF . (6 分) B ⑵过点 F 作 FG ? AB 于 G , ∵平面 ABCD ? 平面 ABEF , D O ? FG ? 平面 ABCD (与⑴同理略写), E G 1 1 ∴ VF ? ABCD ? ? ? (1 ? 2) ? 2 ? FG ? FG , (8 分) F A 3 2 1 1 1 1 (10 分) ?VF ?CBE ? VC ? BFE ? S ?BFE ? CB ? ? ? 1? FG ? 2 ? FG , 3 3 2 3 (12 分) ?VF ? ABCD : VF ?CBE ? 3:1 . 20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力, 具体涉及到点到直线距 离公式、椭圆的标准方程、向量的应用及直线与圆锥曲线的相关知识. 【试题解析】解:⑴∵ O 到直线 l 的距离为

2 ,l : y ? x ?c , 2

第 6 页 共 9 页

|c| 2 ,∴ c ? 1 . ? 2 2 x2 2 2 ? y 2 ? 1. ∵e ? ,∴ a ? 2 ,∴ b ? 1 .∴椭圆 C 的方程为 2 2 ⑵设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ), P( x0 , y0 ) . ①当 AB 斜率存在时,设 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) .


(2 分) (4 分)

? x2 2 ? ? y ?1 由? 2 ,消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 . (6 分) ? y ? k ( x ? 1) ? 4k 2 4k 2 ?2k ? 2) ? ∴ x1 ? x2 ? ,∴ y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? k ( . 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ??? ??? ??? ? ? ? ?2k 4k 2 ∵ OP ? OA ? OB ,∴ x0 ? x1 ? x2 ? ,∴ y0 ? y1 ? y2 ? . 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 4k 2 2 ( ) 2 ?2k 2 P 点坐标代入椭圆得 1 ? 2k 将 ?( ) ?1, 2 1 ? 2k 2 1 1 2 4 2 ∴ k ? ,∴ k ? , k ? ? . (9 分) 4 2 2 2 2 2 当k ? 时, P (1, ? ( x ? 1) , ) ,直线 l : y ? 2 2 2 2 2 2 当k ? ? 时, P (1, (11 分) ) ,直线 l : y ? ? ( x ? 1) . 2 2 2 2 2 ②当 AB 斜率不存在时, A(1, ), B(1, ? ), 2 2 ∴ P(2, 0) 不在椭圆 C 上,不合题意. (12 分)
21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力, 具体涉及到用导数来研究函 数的单调性、极值等,考查学生逻辑思维能力及转化和化归的数学思想. 【试题解析】解:⑴ f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c .
2

∵ f ( x ) 的单调减区间是(1,2),∴ ? ∴b ? ?

? f ?(1) ? 3 ? 2b ? c ? 0 , ? f ?(2) ? 12 ? 4b ? c ? 0

(3 分)

9 9 , c ? 6. ∴ f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 6 x ? 1 . (5 分) 2 2 ⑵由⑴得 f ?( x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) , 当 x ?[2, ??) 时, f ?( x ) ≥0,∴ f ( x ) 在 [2, ??) 单调递增, ∴ f ( x)min ? f (2) ? 3 . 1 3 要使关于 x 的不等式 f ( x) ? m ? m ? ln m ? mt ? 3 在 x ?[2, ??) 时有解, 2 1 3 即 m ? m ? ln m ? mt ? 3 ? f ( x) min ? 3 , (7 分) 2 1 3 即 mt ? m ? m ln m 对任意 m? (0, 2] 恒成立, 2
第 7 页 共 9 页

1 2 m ? ln m 在 m? (0, 2] 恒成立. 2 1 2 设 h(m) ? m ? ln m , m? (0, 2] ,则 t ? h(m)min . 2 1 (m ? 1)( m ? 1) h?(m) ? m ? ? , m m 当 m? (0, 2] 时, h( m) 在 (0,1) 上递减,在 (1, 2] 上递增, 1 ∴ h(m) min ? h(1) ? . 2 1 ∴t ? . 2
只需 t ? 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.

(9 分)

(11 分) (12 分)

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 【命题意图】本小题主要平面几何的证明,具体涉及到切割线定理、三角形相似及两直 线平行的判定等内容. 【试题解析】证明:⑴? AB为切线,AE为割线,

? AB2 ? AD ? AE . 又 ? AB ? AC ,∴ AD ? AE ? AC 2 . AD AC ? ⑵由(1)有 , AC AE 又? ?EAC ? ?DAC ,∴△ ADC ∽ △ ACE , E ? ?ADC ? ?ACE . 又? ?ADC ? ?EGF ,∴ ?EGF ? ?ACE . ? GF // AC .

C F D B

(3 分) (5 分)

O

A
(7 分) (10 分)

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 【命题意图】 本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识, 具体涉及到参数方程与普 通方程的互化、三角变换以及不等式的应用等内容. 【试题解析】解:⑴ C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1. ? x? ? 3 x ? x? ? 3cos ? ( ? 为参数) ⑵(方法一) C 经过伸缩变换 ? 后, ? , ? y? ? 2 y ? y? ? 2sin ? ∴ | x?y? |?| 6sin ? ? cos ? |?| 3sin 2? | ≤3,当 ? ? (5 分) (7 分)

?

4

时取得“=”. (10 分) (7 分)

∴曲线 C? 上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为 3. x? ? ? x? ? 3 x x?2 y ?2 ?x ? 3 ? ?: C 经过伸缩变换 ? ? ? 1. (方法二) 后, ? ,∴ C 9 4 ? y? ? 2 y ? y ? y? ? ? 2

x? y? 1 x?2 y ?2 ? ? ? x?y? ,∴ x?y? ≤3. ≥ 2? 9 4 3 2 3 3 2, y? ? 2 时取“=”. 当且仅当 x? ? 2 ∴曲线 C? 上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为 3.
∵1 ? 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲.
第 8 页 共 9 页

(10 分)

【命题意图】 本小题主要考查不等式的相关知识, 具体涉及到绝对值三角不等式的解法 及性质等内容. 【试题解析】解:⑴ 当 a ? ?1 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? 1 . 由 f ? x ? ≥ 3 得 x ?1 ? x ? 1 ≥ 3. 当 x ≤ ?1 时,不等式化为 1 ? x ? 1 ? x ≥ 3, 即 ?2 x ≥ 3 ,其解集为 (??, ? ] . 当 ?1 ? x ? 1 时,不等式化为 1 ? x ? x ? 1 ≥ 3 ,不可能成立,其解集为 ? .

3 2

当 x ≥ 1 时, 不等式化为 x ? 1 ? x ? 1≥ 3, 即 2 x ≥ 3 ,其解集为 [ , ??) .

3 2

(3 分) (5 分) (7 分) (10 分)

3 3 2 2 ⑵(方法一) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | ≥ | a ? 1| , ∴ | a ? 1| ≥2,∴ a ≥3 或 a ≤-1.

综上, f ? x ? ≥ 3 的解集为 (??, ? ] ? [ , ??) .

(方法二)若 a ? 1, f ? x ? ? 2 x ?1 , 不满足题设条件.

??2 x ? a ? 1, x ≤ a 若 a ? 1, f ? x ? ? ? 1 ? a, a ? x ? 1 ,则 f ? x ? 的最小值 1 ? a ≥2,∴ a ≤-1. ? ?2 x ? ? a ? 1? , x ≥ 1 ? ? ?2 x ? a ? 1, x ≤ 1 若 a ? 1, f ? x ? ? ? a ? 1, 1 ? x ? a ,则 f ? x ? 的最小值 a ? 1 ≥2,∴ a ≥3. (8 分) ? ? 2 x ? ? a ? 1? , x ≥ a ?
∴ a 的取值范围是 ? ??, ?1? ? ?3, ??? . (10 分)

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