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2014届高三数学(理)一轮复习课后作业(四十九) 空间向量及其运算

时间:2013-12-16


课后作业(四十九)
一、选择题

空间向量及其运算

→ 3→ 1→ 1→ 1.(2013· 东莞质检)O 为空间任意一点,若OP=4OA+8OB+8OC,则 A,B, C,P 四点( ) A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.无法判断 2.(2013· 汕头模拟)已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a⊥(a-λb), 则实数 λ 的值为( ) 14 14 A.-2 B.- 3 C. 5 D.2 3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 → → sin〈CM,D N〉的值为( )
1

1 A.9

4 B.9 5

2 C.9 5

2 D.3

→ AC → → 4. B、 D 是空间不共面的四点, A、 C、 且满足AB·→ =0, ·→ =0, ·→ AC AD AB AD =0,M 为 BC 中点,则△AMD 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 5.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E、F 分别是 → → BC、AD 的中点,则AE·AF的值为( ) A.a2 1 B.2a2 1 C.4a2 3 D. 4 a2

二、填空题 6.若三点 A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一条直线上,则 a=________,b=________.

图 7-6-6 7.(2013· 湛江模拟)空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5, ∠OAC=45°,∠OAB=60°,则 OA 与 BC 所成角的余弦值等于________.

图 7-6-7 8. 如图 7-6-7 所示, 45°的二面角 α-l-β 的棱上有两点 A、 点 C、 在 B, D 分别在 α、β 内,且 AC⊥AB,∠ABD=45°,AC=BD=AB=1,则 CD 的长 度为________. 三、解答题 9.已知 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2, 2). (1)求|2a+b|; → (2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得OE⊥b?(O 为原点)

图 7-6-8 10.如图 7-6-8 所示,在四棱锥 M—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧棱 AM 的长为 3,且 AM 和 AB、AD 的夹角都是 60°,N 是 CM 的 → → → → 中点,设 a=AB,b=AD,c=AM,试以 a,b,c 为基向量表示出向量BN,并求 BN 的长.

图 7-6-9 11.如图 7-6-9,直三棱柱 ABC—A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1, ∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1,A1A 的中点. → (1)求BN 的模; → → (2)求 cos〈BA1,CB1〉的值; (3)求证:A1B⊥C1M.

解析及答案
一、选择题 1. 【解析】 3 1 1 → 3→ 1→ 1→ ∵OP=4OA+8OB+8OC,且4+8+8=1.

∴P,A,B,C 四点共面. 【答案】 B 2. 【解析】 由题意知 a· (a-λb)=0,即 a2-λa· b=0, ∴14-7λ=0,∴λ=2. 【答案】 D 3.

【解析】 设正方体的棱长为 2,以 D 为原点建立如图所示空间坐标系,则 → → CM=(2,-2,1),D1N=(2,2,-1), 1 → → ∴cos〈CM,D1N〉=-9, 4 5 → → ∴sin〈CM,D1N〉= 9 . 【答案】 B → 1 → → 4. 【解析】 ∵M 为 BC 中点,∴AM=2(AB+AC).

→ → 1 → → → ∴AM·AD=2(AB+AC)· AD 1→ → 1→ → =2AB·AD+2AC·AD=0. ∴AM⊥AD,△AMD 为直角三角形. 【答案】 C 5.

→ → → 【解析】 设AB=a,AC=b,AD=c, 则|a|=|b|=|c|=a,且 a,b,c 三向量两两夹角为 60°. → 1 → 1 AE=2(a+b),AF=2c, 1 → → 1 ∴AE·AF=2(a+b)·c 2 1 1 1 =4(a· c+b· 4(a2cos 60°+a2cos 60°)=4a2. c)= 【答案】 C 二、填空题 → → 6. 【解析】 AB=(1,-1,3),AC=(a-1,-2,b+4), 因为三点共线, → → 所以存在实数λ使AC=λAB, a-1=λ, 即?-2=-λ,

?

?b+4=3λ,

解得 a=3,b=2. 【答案】 3 2 → → → → → → → → → 7. 【解析】 由题意知AO·BC=AO·(AC-AB)=AO·AC-AO·AB =8×4×cos 45°-8×6×cos 60° =16 2-24. → → AO·BC 16 2-24 2 2-3 → → ∴cos〈AO,BC〉= = = 5 . → → 8×5 |AO||BC| 3-2 2 ∴OA 与 BC 所成角的余弦值为 5 . 3-2 2 【答案】 5 → → → → 8. 【解析】 由CD=CA+AB+BD, 1 → → → → cos〈AC,BD〉=cos 45°cos 45°=2,∴〈AC,BD〉=60°,

→ → → → → → → → → → ∴|CD|2 =CA2 +AB2 +BD2 +2(CA ·AB+AB·BD+CA·BD )=3+2×(0+ 1×1×cos 135°+1×1×cos 120°) =2- 2, → ∴|CD|= 2- 2. 【答案】 2- 2 三、解答题 9. 【解】 (1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|= 02+(-5)2+52=5 2. → → (2)令AE=tAB(t∈R), → → → → → 所以OE=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t, → → -1-t,4-2t),若OE⊥b,则OE·b=0, 9 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得 t=5. 6 14 2 → 因此存在点 E,使得OE⊥b,此时 E 点的坐标为(-5,- 5 ,5). 10. 【解】 → → → → 1→ BN=BC+CN=AD+2CM

→ 1 → → → 1 → → → =AD+2(AM-AC)=AD+2[AM-(AD+AB)] 1→ 1 → 1 → =-2AB+2AD+2AM. 1 1 1 → ∴BN=- a+ b+ c, 2 2 2 1 1 1 → |BN|2=(-2a+2b+2c)2 1 17 =4(a2+b2+c2-2a· b-2a· c+2b· c)= 4 , 17 17 → ∴|BN|= 2 ,即 BN 的长为 2 . 11. 【解】 如图,建立空间直角坐标系 Oxyz.

(1)依题意得 B(0,1,0)、N(1,0,1), → ∴|BN|= (1-0)2+(0-1)2+(1-0)2= 3. (2)依题意得 A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B1(0,1,2), → → → → ∴BA =(1,-1,2),CB =(0,1,2),BA ·CB =3,
1 1 1 1

→ → |BA1|= 6,|CB1|= 5,

→ → → ·CB 〉=BA1·CB1= 1 30. → ∴cos〈BA1 1 10 → → |BA1||CB1| 1 1 (3)证明 依题意,得 C1(0,0,2)、M(2,2,2), 1 1 → → A1B=(-1,1,-2),C1M=(2,2,0). 1 1 → → ∴A1B·C1M=-2+2+0=0, → → ∴A B⊥C M.
1 1

∴A1B⊥C1M.


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