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高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算导数概念与运算基础知识总结素材新人教A版选修2-2教案

时间:2017-10-25


导数概念与运算基础知识总结
知识清单 1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x , 那么函数 y 相应地有增量 ?y =f (x 0 + ?x ) -f(x 0 ),比值

?y 叫做函数 y=f(x)在 x 0 到 x 0 + ?x 之间的平均变化率,即 ?x

? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = 。如果当 ?x ? 0 时, 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 ?x ?x ?x
处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x ? x0 。 即 f(x 0 )= lim 说明: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 就说函数在点 x 0 处不可导,或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是 零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤(可由学生来归纳): (1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ); (2)求平均变化率

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ? x ?x ?0 ?x

?y ?y 有极限。如果 不存在极限, ?x ?x

? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x
?x ?0

(3)取极限,得导数 f’(x 0 )= lim 2.导数的几何意义

?y 。 ?x

函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ))处 的切线的斜率。 也就是说, 曲线 y=f (x) 在点 p (x 0 , f (x 0 ) ) 处的切线的斜率是 f’ (x 0 ) 。 相应地,切线方程为 y-y 0 =f (x 0 )(x-x 0 )。
/

1

3.几种常见函数的导数: ① C ? ? 0; ② xn

? ?? ? nx

n ?1

;

③ (sin x)? ? cos x ; ⑦ ? ln x ?? ?

④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑧ ? l o g a x ?? ?

⑤ (e x )? ? e x ; ⑥ (a x )? ? a x ln a ; 4.两个函数的和、差、积的求导法则

1 ; x

1 log a e . x

法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ' ? u ' ? v ' . 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ' ? u ' v ? uv' . 若 C 为常数,则 (Cu) ' ? C ' u ? Cu ' ? 0 ? Cu ' ? Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常 数乘以函数的导数: (Cu ) ' ? Cu ' . 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的 积,再除以分母的平方: ? ? ‘=

?u? ?v?

u ' v ? uv ' (v ? 0)。 v2

形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。 法则:y'| X = y'| U ·u'| X 导数应用 知识清单 1. 单调区间:一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导,
' 如果 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数; ' 如果 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数; ' 如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数;

2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 3.最值:

2

一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f ( x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。 ①求函数 ? ( x ) 在(a,b)内的极值; ②求函数 ? ( x ) 在区间端点的值 ?(a)、?(b); ③将函数 ? ( x ) 的各极值与 ?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最 小值。 4.定积分 (1)概念:设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn=b 把 区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点 ξ i(i=1,2,…n)作 和式 In=

? f (ξ
i=1

n

i

)△x(其中△x 为小区间长度),把 n→∞即△x→0 时,和式 In 的极限

叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作:

?

b

a

f ( x)dx ,即 ? f ( x)dx =
a

b

lim ? f (ξ i)△x。
n ?? i ?1

n

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做 被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式:

? 0dx =C; ?x
1
m

dx =

1 x m ?1 +C(m∈Q, m≠-1); m ?1

? x dx=ln x +C;
?e
x

dx = e x +C;

x ? a dx =

ax +C; ln a

? cos xdx =sinx+C; ? sin xdx =-cosx+C(表中 C 均为常数)。
(2)定积分的性质

3

① ② ③

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

f ( x)dx (k 为常数);
b b a a

? ?

b

a b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ; f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a<c<b ) 。
a c c b

a

(3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线 x=a,x=b(a<b),x 轴及一条曲线 y=f(x)(f(x)≥0)围成 的曲边梯的面积 S ?

?

b

a

f ( x)dx 。

如果图形由曲线 y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设 f1(x)≥f2(x)≥0),及直线

x=a,x=b(a<b)围成,那么所求图形的面积 S=S 曲边梯形 AMNB-S 曲边梯形 DMNC=

?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx 。
a

b

典型例题 一 导数的概念与运算 EG:如果质点 A 按规律 s=2t 运动,则在 t=3 s 时的瞬时速度为( A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s
3

) D. 81m/s

变式:定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足: ? x ? D , ? 常数 M ? 0 , 都有 | f ( x) | ≤M 成立,则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数的上界. 【文】(1)若已知质点的运动方程为 S (t ) ?

1 ? at ,要使在 t ? [0 , ? ?) 上的每一 t ?1

时刻的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. 【理】(2)若已知质点的运动方程为 S (t ) ?

2t ? 1 ? at ,要使在 t ? [0 , ? ?) 上的

每一时刻的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. EG:已知 f ( x) ? A. ?

1 4

1 f (2 ? ?x) ? f (2) , 则 lim 的值是( ) ?x ?0 x ?x 1 B. 2 C. D. -2 4
h ?0

变式 1: 设f ??3? ? 4, 则 lim A.-1 B.-2

f ?3 ? h ? ? f ?3? 为( 2h

) D.1

C.-3

变式 2: 设f ? x ? 在x0可导, 则 lim

?x ?0

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? 3?x ? 等于 ?x





4

A. 2 f ??x0 ?

B. f ??x0 ?

C. 3 f ??x0 ?

D. 4 f ??x0 ?

根据所给的函数图像比较曲线h(t )在t0 , t1 , t2附近得变化情况。 变式:函数 f ( x) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( ) A. 0 ? f (2) ? f (3) ? f (3) ? f (2)
/ /

y

B. 0 ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? f (2)
/ /

C. 0 ? f (3) ? f (2) ? f (3) ? f (2)
/ /

D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f (2) ? f (3)
/ /

O 1 2 3 4

x

EG:求所给函数的导数:

(文科)y ? x3 ? log 2 x; y ? x ne x ; y ? (理科)y ? ( x ? 1)99 ; y ? 2e? x ;

x3 ? 1 。 sin x y ? 2 x sin ? 2 x ? 5?

变式:设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是

A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞)

B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)

EG:已知函数 y ? x ln x .(1)求这个函数的导数;(2)求这个函数在点 x ? 1 处的切线 的方程. 变式 1:已知函数 y ? e .
x

(1)求这个函数在点 x ? e 处的切线的方程; (2)过原点作曲线 y=e 的切线,求切线的方程. 变式 2:函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=( A.
2

x

)

1 8

B.

1 4

C.

1 2

D. 1

EG:判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

5

(1) f ( x) ? x 3 ? 3 x;

(2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3;

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ); (4) f ( x) ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 24 x ? 1.
变式 1:函数 f ( x) ? x ? e ? x 的一个单调递增区间是 A. ?? 1,0? B. ?2,8? C. ?1,2? D. ?0,2?

变式 2:已知函数 y ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 3
. .

(1)若函数的单调递减区间是(-3,1),则 a 的是 (2)若函数在 [1,??) 上是单调增函数,则 a 的取值范围是

变式 3: 设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x 3 ? ax与g ( x) ? bx2 ? c 的图象的一 个公共点,两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围. EG:求函数 f ( x) ? 求函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值. 3

1 3 x ? 4 x ? 4 在 ?0,3? 上的最大值与最小值.. 3

变式 1:函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) , 导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 变式 2: 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极
3 2



y

y ? f ?( x)

b

a

O

x

大值 5 ,其导函数 y ? f '( x) 的图象经过点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所示.求: (Ⅰ) x0 的值;(Ⅱ) a, b, c 的值.
3 变式 3:若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 极值 ?

4 , 3

(1)求函数的解析式;

6

(2)若函数 f ( x) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围. 变式 4:已知函数 f ( x ) ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? c ,对 x?〔-1,2〕,不等式 f(x) 2

?c 恒成立,求 c 的取值范围。
2

EG:利用函数的单调性,证明: ln x ? x ? ex , x ? 0 变式 1:证明: 1 ?

1 ? ln?x ? 1? ? x , x ? ?1 x ?1
2 2 2

变式 2:(理科)设函数 f(x)=(1+x) -ln(1+x) .若关于 x 的方程 f(x)=x +x+a 在[0, 2]上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的取值范围. EG: 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x?x ? R?, 若 f mx2 ? f ?1 ? mx? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值 范围 变式 1:设函数 f ( x) ? x ? 3x?x ? R?, 若 f ?m sin ? ? ? f ?1 ? m? ? 0? 0 ? ? ?
3

? ?

? ?

??

? 恒成 2?

立,求实数 m 的取值范围. 变式 2:如图,曲线段 OMB 是函数 f ( x) ? x2 (0 ? x ? 6) 的图象, BA ? x 轴于点 A,曲线段

OMB 上一点 M (t , t 2 ) 处的切线 PQ 交 x 轴于点 P,交线段 AB 于点 Q,
(1)若 t 已知,求切线 PQ 的方程 (2)求 ?QAP 的面积的最大值

变式 3:用长为 90cm, 宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器, 先在四角分别截去一 个小正方形,然后把四边翻折 90 角,再焊接而成,问该容器的高为多少时,容器的容积最 大?最大的容积是多少? 变式 4:某厂生产某种产品 x 件的总成本 c ( x ) ? 1200 ?
0

2 3 x (万元),已知产品单价 75

的平方与产品件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,产量定为多少时总利 润最大? EG:计算下列定积分:(理科定积分、微积分)

(1) ?

2

1

3 ? 1 1 dx; (2) ? (2x ? 2 )dx; (3) ? sin xdx; 1 0 x x 2? 2?

(4) ? sin xdx; (5) ? sin xdx
?
0

变式 1:计算:;
7

(1)

?

?

2 0

2 cos2 x dx ;(2) ? 4 ? x 2 dx 0 cos x ? sin x

变式 2:求将抛物线 y 2 ? x 和直线 x ? 1 围成的图形绕 x 轴旋转一周得到的几何体的体 积. 变式 3: 在曲线 y ? x 2 ?x ? 0? 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为

1 ,试求:(1)切点 A 的坐标;(2)在切点 A 的切线方程. 12

8


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