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2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程二课件新人教B版选修2_1_图文

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第二章 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆的标准方程(二) 学习目标 1.加深理解椭圆定义及标准方程. 2.能灵活运用条件求椭圆的标准方程. 3.能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点 椭圆标准方程的认识与推导 思考1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么? 答案 标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或 y轴上. x y 标准方程的代数特征:方程右边为1,左边是关于 a 与 b 的平 方和,并且分母为不相等的正值. 思考2 依据椭圆方程,如何确定其焦点位置? 答案 把方程化为标准形式,与x2,y2相对应的分母哪个大,焦 点就在相应的轴上. 思考3 观察椭圆的形状,你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程 较简单?并写出求解过程. 答案 梳理 (1)椭圆的标准方程的形式 焦点位置 焦点在x轴上 形状、大小 焦点坐标 F1(-c,0), 标准方程 x2 y2 2+ 2=1 (a>b>0) a b 形 状 相 同 , a , b , c F2(c,0) 满足a>b>0,b2=a2-c2, F1(0,-c), y2 x2 焦点在y轴上 焦距为2c 2+ 2=1 (a>b>0) a b F2(0,c) (2)方程Ax2+By2=1表示椭圆的充要条件是 A>0,B>0且A≠B . (3)椭圆方程中参数a,b,c之间的关系为 a2=b2+c2 . 题型探究 类型一 例1 解答 椭圆标准方程的确定 求焦点在坐标轴上,且经过 A( 3,-2)和 B(-2 3,1)两点的椭圆 的标准方程. 反思与感悟 求解椭圆的标准方程,可以利用定义,也可以利用待定系数法,选 择求解方法时,一定要结合题目条件,其次需注意椭圆的焦点位置. 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程. 解答 3 5 (1)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点(-2, 2 ); ∵椭圆的焦点在y轴上, 2 2 y x ∴设它的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 由椭圆的定义知: 2a= 32 5 ?-2? +?2+2?2+ 32 5 ?-2? +?2-2?2=2 10,即 a= 10. 又c=2,∴b2=a2-c2=6. y2 x2 ∴所求的椭圆的标准方程为10+ 6 =1. (2)焦点在 y 轴上,且经过两点(0,2)和(1,0). 解答 ∵椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设它的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). ? ? 42+ 0 ?a b2=1, ∴? 1 ?0 2+ 2=1, ? b ?a 又椭圆经过点(0,2)和(1,0), 2 ? ?a =4, ∴? 2 ? ?b =1. y2 ∴所求的椭圆的标准方程为 4 +x2=1. 类型二 例2 相关点法在求解椭圆方程中的应用 如图,在圆 x2 + y2 = 4 上任取一点 P ,过点 P 作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时, 求线段PD的中点M的轨迹. 解答 引申探究 若本例中 “ 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD” ,改为 “ 过点 P 作 y 轴的垂线段 PD”.那么线段PD的中点M的轨迹又是什么? 解答 设M(x,y),P(x0,y0), 2 则 x2 + y 0 0=4, (*) ? x0 ?x= , 2 把? ?y=y 0 ? y2 2 代入(*)式得 4 +x =1. 故点M的轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆. 反思与感悟 如果一个动点P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动,则求 P点的轨迹方程时一般用转代法来求解.基本步骤为: (1)设点:设所求轨迹上动点坐标为P(x,y),已知曲线上动点坐标为 Q(x1,y1). ? ?x1=g?x,y?, (2)求关系式:用点P的坐标表示出点Q的坐标,即得关系式? ? ?y1=h?x,y?. (3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程, 并把所得方程化简即可. 跟踪训练2 如图所示,B点坐标为(2,0),P是以O 为圆心的单位圆上的动点, ∠POB 的平分线交直 线PB于点Q,求点Q的轨迹方程. 解答 当堂训练 x2 2 1.若方程 m+y =1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为 答案 解析 A.(1,+∞) √ C.[1,+∞) 1 B.( 2,+∞) D.(-∞,1) 因为焦点在x轴上,故m>1,故选A. 1 2 3 4 5 2.设B(-4,0),C(4,0),且△ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为 答案 解析 √ x2 y2 A.25+ 9 =1(y≠0) x2 y2 C.16+16=1(y≠0) y2 x2 B.25+ 9 =1(y≠0) y2 x2 D.16+ 9 =1(y≠0) 1 2 3 4 5 x2 y2 3.已知椭圆E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A, a b x2 y2 B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为_________. 18+ 9 =1 答案 解析 1 2 3 4 5 x2 2 4.在椭圆 +y =1中,有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆 3 反射后经过另一个焦点F1,再次被椭圆反射后又回到F2,则该粒子在整 4 3 个运动过程中经过的路程为_____. 答案 解析 把粒子运动轨迹表示出来,可知整个路程为4a, 即4 3 . 1 2 3 4 5 5.△ABC的三边长a,b,c成等差数列,且b=6,求顶点B的轨迹方程. 解答 以直线 AC 为 x 轴, AC 的中点为原点,建立直角坐标系,设 A( - 3,0) , C(3,0),B(x,y), 则|BC|+|AB

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