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河南省焦作市2014届高三上学期期中学业水平测试数学理试题 Word版含答案

时间:2014-01-20


焦作市 2013~2014 学年(上)高三年级期中学业水平测试

数学试卷(理)
一、选择题:本题共 12 个小题。每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只 有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={x||x|≤1},B={y|y= 2 ,x∈R},A∩B= A. ? B.{x|0≤x≤1} C.{x|-1≤x≤1} D.(x|0<x≤1}
x

2.如果执行如图所示的框图,输入如下四个复数: ①z=

1 i 2

②z= - + i;

1 4

3 4

③z=

2 1 1 3 + i ;④z= ? i, 2 2 2 2
C.③ D.④

那么输出的复数是 A.① B.②

3.已知θ 是三角形中的最小角,则 sinθ + 3 cosθ 的取值范围 是 A. ( 3 ,2 ] B.[ 3 ,2] C. (1,2] D.[1,2]

4.为了调查学生每天零花钱的数量(钱数取整数元) ,以便 引导学生树立正确的消费观.在某校抽取样本容量为 1000 的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在 [6,14)内的频数为 A.780
2

B.680
1

C.648

D.460

5.由曲线 y= x ,y= x 3 所围成的封闭图形的面积为 A.

1 12

B.

1 4

C.

5 12

D.

7 12

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.64 B.72C.80 D.112 7.与直线 x-y-4=0 和圆 x +y +2x-2y=0 都相切的半 径最小的圆的方程是 A. ( x+ 1) +( y+ 1) =2 C. ( x- 1) +( y+ 1) =2 8.△ABC 中,A=
2 2 2 2 2 2

B. ( x+ 1) +( y+ 1) =4 D. ( x- 1) +( y+ 1) =4
2 2

2

2

? ,BC=3,则△ABC 的周长为 3

A.4 3 sin(B+ C.6sin(B+

? )+3 3

? )+3 3

B.4 3 sin(B+ D.6sin(B+

? )+3 6

? )+3 6

9.由等式 x4+a1 x3+a2 x2+a3 x+a4= ( x+ 1)4+b1 ( x+ 1)3+b2 ( x+ 1)2+b3 ( x+ 1)+b4 定义映射 f( a1 , a2 , a3 , a4 )→b1+b2+b3+b4,则 f(4,3,2,1)→ A.10 B.7 C.-1 D.0

10.等差数列{ an }中,若 S4≤4,S5≥15,则 a4 的最小值是 A.5 11.已知椭圆 C: B.6 C.7 D.8

x 2 y2 2 + 2= 1 (a>b>0)的离心率为 ,双曲线 x2-y 2= 1 的渐近线与 2 a b 2

椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 A.

x 2 y2 x 2 y2 + = 1 B. + = 1 8 4 12 6

C.

x 2 y2 + = 1 16 8

D.

x 2 y2 + = 1 20 5

12.设函数 f(x)= ?

? x-[ x], x<0 ,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[-1.6]=-2, 1), x≥0 ? f ( x-

[1]=1,[1.2]=1,若直线 y=kx+1(k<0)与函数 y=f(x)的图象恰有 2 个不同的 交点,则 k 的取值范围是 A.[-

1 1 1 ,- )B.[-1,- ) 2 3 2

C. (-1,-

1 ] 2

D. (-

1 1 ,- ] 2 3

二、填空题:本题共 4 个小题.每小题 5 分,共 20 分. 13.设函数 f(x)= ?
x ? 1 ?2 ( x≤0) ,则方程 f(x)= 的解集为____________. 2 ? ? log 2 x ( x>0)

14.棱长都相等的三棱锥(正四面体)A-BCD 中,AO⊥平面 BCD,垂足为 O,设 M 是线段 AO 上一点,且∠BMC 是直角,则

AM 的值为_______. MO

15.给出如下五个结论 ①若“p 且 q”为假命题,则 p、q 均为假命题; ②若命题 p:存在 x∈R,使得 x +x+1<0,则 ?p :对任意 x∈R,则 x +x+1≥0;
2 2

③“x=1”是“ x -3x+2=0”的充分不必要条件; ④存在实数 x∈R,使 sinx+cosx=

2

? 成立; 2

⑤对任意的 x>0,都有 x>lnx. 其中正确结论的序号是_______________.

16.△ABC 外接圆的圆心为 P,满足 AP =

uuu r

r uuu r 3 uuu ( AB + AC ) ,则 cos∠BAC=___________ 7

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{ an },其前 n 项和为 Sn ,等比数列{ bn }的各项均为正数,公比是 q,且满 足: a1 =3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q. (Ⅰ)求 an 与 bn ;
an

(Ⅱ)设 cn =3 bn -λ · 2 3 , (λ ∈R) ,若数列{ cn }是递增数列,求λ 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点,且 AD=

1 DB,点 C 为圆 O 上一点,且 BC= 3 AC,点 P 在圆 O 3

所在平面上的正投影为点 D,PD=DB. (1)求证:PA⊥CD; (2)求二面角 C-PB-A 的余弦值. 19. (本小题满分 12 分) 2014 年,某市要全部实行居民社保一卡通,为了加快办理进程, 某社保服务站开设四类 业务,假设居民办理各类业务所需的时间相互独立,且都是整数分钟,经统计以往 100 位居民办理业务所需的时间 t(分钟) ,如下表

注:服务站工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (Ⅰ)求服务站工作人员恰好在第 6 分钟开始办理第三位居民的业务的概率; (Ⅱ)用 X 表示至第 4 分钟末已办理完业务的居民人数,求 X 的分布列及数学期望. 20. (本小题满分 12 分) 设 A 是抛物线 y=a x (a>0)准线上任意一点,过 A 点作抛物线的切线 l1,l2,切点 为 P,Q. (1)证明:直线 PQ 过定点; (2)设 PQ 中点为 M,求|AM|最小值. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=m lnx+
2

1 1 -x,g(x)= lnx. x m

(1)当 x≥1 时,总有 f(x)≤0,求 m 的取值范围; (2) 当 m∈[3, +∞) 时, 曲线 F (x) =f (x) +g (x) 上总存在相异两点 A (x1, f (x1) ) 、

B( x2 ,f( x2 ) ) ,使得曲线 F(x)在点 A、B 处的切线互相平行,求 x1+x2 的取 值范围. 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答 时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA =CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D,连结 EC、CD. (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 tan∠CED=

1 ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的 2

长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? ? x= ? 已知直线 l 的参数方程是 ? ? y= ? ?
2cos(θ +

2 t 2 (t 是参数) ,圆 C 的极坐标方程为ρ = 2 t+4 2 2

? ) . 4

(Ⅰ)求圆心 C 的直角坐标; (Ⅱ)由直线上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x-a|+2x,其中 a>0. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥2x+1 的解集; (2)若 x∈(-2,+∞)时,恒有 f(x)>0,求 a 的取值范围.


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