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第22章《一元二次方程》易错题集(04):22.2+降次——解一元二次方程(1)

时间:2012-01-23


第 22 章 一元二次方程》 《一元二次方程》 易错题集 04) 22.2 降 (04) : ——解一元二次方程 次——解一元二次方程

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填空题 2 1、用配方法解方程 x ﹣4x﹣1=0 配方后得到方程 _________ . 2 2 2 2 2、已知实数 x 满足(x ﹣x) ﹣4(x ﹣x)﹣12=0,则代数式 x ﹣x+1 的值为 _________ . 2 3、关于 x 的方程 ax ﹣3x﹣1=0 有实数根,则 a 的取值范围是 _________ . 2 4、关于 x 的一元二次方程 mx ﹣(3m﹣1)x+2m﹣1=0,其根的判别式的值为 1,m= _________ . 2 5、若关于 x 的方程 x ﹣k|x|+4=0 有四个不同的解,则 k 的取值范围是 _________ . 6、 如果方程 (x﹣1) x ﹣2x+ ) 的三根可以作为一个三角形的三边之长, ( =0 那么实数 k 的取值范围是 _________ .
2

7、已知 x,y 均为实数,且满足关系式 x ﹣2x﹣6=0,y ﹣2y﹣6=0,则
2

2

2

=

_________



8、如果方程 x ﹣2x+m=0 的两实根为 a,b,且 a,b,1 可以作为一个三角形的三边之长,则实数 m 的取值范围是 _________ . 2 2 2 2 9、已知关于 x 的方程 x ﹣2ax+a ﹣2a+2=0 的两个实数根 x1,x2,满足 x1 +x2 =2,则 a 的值是 _________ . 2 2 10、已知 4x ﹣ax+1 可变为(2x﹣b) 的形式,则 ab= _________ . 11、已知 x 为实数,且 ,则 x +x 的值为 _________
2 2 2 2 2



12、设 a,b 是一个直角三角形两条直角边的长,且(a +b ) +b +1)=12,则这个直角三角形的斜边长为 (a _________ . 解答题 2 13、方程(x﹣3) ﹣25=0 的解是 _________ . 14、 (2001?江西)已知实数 m,n 满足 m ﹣2m﹣1=0,n ﹣2n﹣1=0,则
2 2 2

=

_________ .

15、已知关于 x 的方程(m﹣1)x ﹣x﹣2=0. (1)若 x=﹣1 是方程的一个根,则 m= _________ ,方程的另一根为 x= _________ ; (2)当 m 取值范围是 _________ 时,方程有实数根; (3)若 x1,x2 是方程的两个根,且 16、先阅读下列第(1)题的解答过程,再解第(2)题. (1)已知实数 a、b 满足 a =2﹣2a,b =2﹣2b,且 a≠b,则
2 2 2 2

,则实数 m 的值为

_________ .

= _________ .
2

解:由已知得:a +2a﹣2=0,b +2b﹣2=0,且 a≠b,故 a、b 是方程:x +2x﹣2=0 的两个不相等的实数根,由根与系 数的关系得:a+b=﹣2,ab=﹣2.



=

=4.

(2)已知 p ﹣2p﹣5=0,5q +2q﹣1=0,其中 p、q 为实数,则

2

2

= _________ .

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答案与评分标准 填空题 2 2 1、用配方法解方程 x ﹣4x﹣1=0 配方后得到方程 (x﹣2) =5 . 考点:解一元二次方程-配方法。 分析:先把常数项﹣1 移项后,再在方程的左右两边同时加上一次项系数﹣4 的一半的平方. 解答:解:把方程 x ﹣4x﹣1=0 的常数项移到等号的右边,得到 x ﹣4x=1 2 方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到 x ﹣4x+4=1+4 2 配方得(x﹣2) =5. 点评:配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为 1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为 1,一次项的系数是 2 的倍数. 2 2 2 2 2、已知实数 x 满足(x ﹣x) ﹣4(x ﹣x)﹣12=0,则代数式 x ﹣x+1 的值为 7 . 考点:换元法解一元二次方程。 专题:换元法。 分析:将 x ﹣x 看作一个整体,然后用换元法解方程求出 x ﹣x 的值,再整体代值求解. 2 解答:解:设 x ﹣x=m,则原方程可化为: 2 m ﹣4m﹣12=0,解得 m=﹣2,m=6; 2 2 当 m=﹣2 时,x ﹣x=﹣2,即 x ﹣x+2=0,△=1﹣8<0,原方程没有实数根,故 m=﹣2 不合题意,舍去; 2 2 当 m=6 时,x ﹣x=6,即 x ﹣x﹣6=0,△=1+24>0,故 m 的值为 6; 2 ∴x ﹣x+1=m+1=7. 2 点评:本题的关键是把 x ﹣x 看成一个整体来计算,即换元法思想. 3、关于 x 的方程 ax ﹣3x﹣1=0 有实数根,则 a 的取值范围是 a≥
2 2 2 2 2



考点:根的判别式。 专题:分类讨论。 2 分析:由于关于 x 的方程 ax ﹣3x﹣1=0 有实数根,所以分两种情况: (1)当 a≠0 时,方程为一元二次方程,那么它 的判别式的值是一个非负数,由此即可求出 a 的取值范围; (2)当 a=0 时,方程为﹣3x﹣1=0,此时一定有解. 解答:解: (1)当 a=0 时,方程为﹣3x﹣1=0,此时一定有解; (2)当 a≠0 时,方程为一元二次方程, 2 ∴△=b ﹣4ac=9+4a≥0, ∴a≥﹣ .

所以根据两种情况得 a 的取值范围是 a≥﹣ .

故填空答案:a≥﹣ . 点评:总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)△>0? 方程有两个不相等的实数根; (2)△=0? 方程有两个相等的实数根; (3)△<0? 方程没有实数根. 此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
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4、关于 x 的一元二次方程 mx ﹣(3m﹣1)x+2m﹣1=0,其根的判别式的值为 1,m= 2 . 考点:根的判别式;一元二次方程的定义。 分析:由 mx ﹣(3m﹣1)x+2m﹣1=0,可得△=b ﹣4ac=[﹣(3m﹣1)] ﹣4m(2m﹣1)=1,解关于 m 的方程即可. 2 2 2 解答:解:由题意,得:△=b ﹣4ac=[﹣(3m﹣1)] ﹣4m(2m﹣1)=1,即 m ﹣2m+1=1,解之得:m=0 或 m=2; 2 又∵mx ﹣(3m﹣1)x+2m﹣1=0 是一元二次方程,∴m≠0, ∴m=2. 点评: 此题考查了一元二次方程及根的判别式的应用, 切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件. 5、若关于 x 的方程 x ﹣k|x|+4=0 有四个不同的解,则 k 的取值范围是 k>4 . 考点:根的判别式。 2 2 2 分析:因为关于 x 的方程 x ﹣k|x|+4=0 有四个不同的解,所以△=b ﹣4ac>0,即 k >16,解得 k<﹣4 或 k>4;又 因为方程中一次项中未知数带着绝对值符号,一次项的系数不能为正数,否则等式不成立.所以当 k<﹣4 时,不 符合题意,故取 k>4. 2 解答:解:∵关于 x 的方程 x ﹣k|x|+4=0 有四个不同的解, 2 2 ∴△=b ﹣4ac=k ﹣16>0, 2 即 k >16, 解得 k<﹣4 或 k>4, 而 k<﹣4 时,x ﹣k|x|+4 的值不可能等于 0, 所以 k>4. 故填空答案:k>4. 点评:本题考查了一元二次方程根的判别式的应用,也涉及了绝对值方程的应用,同时注意通过根与系数的关系求 出的 k 值一定要代入到原方程检验,把不符合题意的值舍去.本题最后舍去 k<﹣4 是最容易出错的地方,要求具 有严谨的数学思维. 6、如果方程(x﹣1) ﹣2x+ )=0 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数 k 的取值范围是 3<k≤4 . (x 考点:根与系数的关系;根的判别式;三角形三边关系。 分析:根据原方程可得出:①x﹣1=0,②x ﹣2x+ =0;根据根与系数的关系,可求出②方程的 x1+x2 和 x1﹣x2 的表 达式,然后根据三角形三边关系定理求出 k 的取值范围. 解答:解:由题意,得:x﹣1=0,x ﹣2x+ =0;
2 2 2 2 2 2 2 2

2

设 x ﹣2x+ =0 的两根分别是 m、n(m≥n) ;则 m+n=2,mn= ;

2

m﹣n= 根据三角形三边关系定理,得: m﹣n<1<m+n,即

=



<1<2;



,解得 3<k≤4.

点评:此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系以及三角形三边关系定理.
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7、已知 x,y 均为实数,且满足关系式 x ﹣2x﹣6=0,y ﹣2y﹣6=0,则 考点:根与系数的关系;一元二次方程的解。 专题:分类讨论。 分析:当 x=y 时,容易求解;

2

2

=

﹣ 或2 .

当 x≠y 时,由关系式 x ﹣2x﹣6=0,y ﹣2y﹣6=0,可知 x、y 是 z ﹣2z﹣6=0 的两根,由根与系数的关系,求出 x+y 与 xy 的值,再根据 解答:解:当 x≠y 时, ∵x、y 满足关系式 x ﹣2x﹣6=0,y ﹣2y﹣6=0, 2 ∴x、y 是 z ﹣2z﹣6=0 的两根, ∴x+y=2,xy=﹣6, ∴ =﹣ .
2 2

2

2

2

=

,代入即可求值.

=

=

当 x,y 的值相等时,原式=2. 故答案为:﹣ 或 2. 点评:本题容易忽视的情况是 x,y 可能是同一个值这一个情况. 2 8、如果方程 x ﹣2x+m=0 的两实根为 a,b,且 a,b,1 可以作为一个三角形的三边之长,则实数 m 的取值范围是 <m≤1 . 考点:根与系数的关系;根的判别式;三角形三边关系。 2 分析:若一元二次方程有两根,则根的判别式△=b ﹣4ac≥0,建立关于 m 的不等式,求出 m 的取值范围.再根据 根与系数的关系和三角形中三边的关系来再确定 m 的取值范围,最后综合所有情况得出结论. 2 解答:解:∵方程 x ﹣2x+m=0 的两实根为 a,b, ∴有△=4﹣4m≥0, 解得:m≤1, 由根与系数的关系知:a+b=2,a?b=m, 若 a,b,1 可以作为一个三角形的三边之长, 则必有 a+b>1 与|a﹣b|<1 同时成立, 2 故只需(a﹣b) <1 即可, 2 化简得: (a+b) ﹣4ab<1, 把 a+b=2,a?b=m 代入得:4﹣4m<1, 解得:m> ,

∴ <m≤1,

故本题答案为: <m≤1. 点评:主要考查一元二次方程的根的判别式与根的关系和一元二次方程根与系数的关系、三角形中三边的关系.
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9、已知关于 x 的方程 x ﹣2ax+a ﹣2a+2=0 的两个实数根 x1,x2,满足 x1 +x2 =2,则 a 的值是 1 . 考点:根与系数的关系;根的判别式。 分析:先根据根与系数的关系,根据 x1 +x2 =(x1+x2) ﹣2x1x2,即可得到关于 a 的方程,求出 a 的值. 2 解答:解:根据一元二次方程的根与系数的关系知:x1+x2=2a,x1x2=a ﹣2a+2. 2 2 2 2 2 2 x1 +x2 =(x1+x2) ﹣2x1x2=(2a) ﹣2(a ﹣2a+2)=2a +4a﹣4=2. 2 解 a +2a﹣3=0,得 a1=﹣3,a2=1. 又方程有两实数根,△≥0 即(2a) ﹣4(a ﹣2a+2)≥0. 解得 a≥1. ∴a=﹣3 舍去. ∴a=1. 点评:应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积,根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示, 即可把求 a 的值的问题转化为方程求解的问题. 2 2 10、已知 4x ﹣ax+1 可变为(2x﹣b) 的形式,则 ab= 4 . 考点:配方法的应用。 专题:配方法。 分析:此题考查了配方法,解此题时要注意一次项系数为二次项系数与常数项的平方根的积的二倍,还要注意完全 平方式有两个,所以一次项系数有两个且互为相反数. 解答:解:据题意得﹣a=±2×2×1=±4 ∴a=±4 ∴当 a=4 时,4x ﹣ax+1=4x ﹣4x+1=(2x﹣1) ,∴b=1 ∴ab=4 ∴当 a=﹣4 时,4x ﹣ax+1=4x +4x+1=(2x+1) ,∴b=﹣1 ∴ab=4 解得 ab=4. 点评:本题考查了两个多项式相等的条件,即对应项的系数相等. 11、已知 x 为实数,且 ,则 x +x 的值为 1 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

考点:换元法解分式方程;解一元二次方程-因式分解法。 专题:换元法。 分析:本题用换元法解分式方程,由于 x +x 是一个整体,可设 x +x=y,可将方程转化为简单的分式方程求 y,将 y 代换,再判断结果能使 x 为实数. 解答:解:设 x +x=y,则原方程变为 ﹣y=2, 方程两边都乘 y 得:3﹣y =2y, 2 整理得:y +2y﹣3=0, (y﹣1) (y+3)=0, ∴y=1 或 y=﹣3. 2 当 x +3x=1 时,△>0,x 存在. 2 当 x +3x=﹣3 时,△<0,x 不存在. 2 ∴x +3x=1. 点评:当分式方程比较复杂时,通常采用换元法使分式方程简化.需注意换元后得到的根也必须验根. (a 12、设 a,b 是一个直角三角形两条直角边的长,且(a +b ) +b +1)=12,则这个直角三角形的斜边长为 考点:勾股定理;解一元二次方程-因式分解法。
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专题:换元法。 2 2 2 分析:根据勾股定理 c =a +b 代入方程求解即可. 解答:解:∵a,b 是一个直角三角形两条直角边的长 设斜边为 c, 2 2 2 2 2 2 (a ∴(a +b ) +b +1)=12,根据勾股定理得:c (c +1)﹣12=0 2 2 即(c ﹣3) +4)=0, (c 2 ∵c +4≠0 2 ∴c ﹣3=0, 解得 c= 或 c=﹣ (舍去) .

则直角三角形的斜边长为



故答案为: 点评:本题考查的是利用勾股定理求直角三角形的斜边,需同学们灵活掌握. 解答题 2 13、方程(x﹣3) ﹣25=0 的解是 8 或﹣2 . 考点:解一元二次方程-直接开平方法。 分析:将方程(x﹣3) ﹣25=0,移项得(x﹣3) =25,然后再根据直接开平方法求解. 2 解答:解: (1)∵(x﹣3) ﹣25=0,移项得 2 (x﹣3) =25, ∴x=3±5, 解得 x=﹣2 或 8 2 2 2 点评: (1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x =a(a≥0) ;ax =b(a,b 同号且 a≠0)(x+a) =b(b≥0) ; ; 2 .法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为 1,再开平方取正负,分开 a(x+b) =c(a,c 同号且 a≠0) 求得方程解”,运用整体思想,会把被开方数看成整体. 14、 (2001?江西)已知实数 m,n 满足 m ﹣2m﹣1=0,n ﹣2n﹣1=0,则
2 2 2 2

=

2 或﹣6 .

考点:根与系数的关系。 分析:此题应分情况计算.当 m=n 时,则原式=2; 2 当 m≠n 时,则 m,n 是方程 x ﹣2x﹣1=0 的两个不等的根,根据根与系数的关系进行求解. 解答:解:当 m=n 时,则原式=1+1=2; 当 m≠n 时,则 m,n 是方程 x ﹣2x﹣1=0 的两个不相等的根. ∴m+n=2,mn=﹣1. ∴原式= = =﹣6.
2



=2 或﹣6.

点评:此题注意根据 m,n 满足的方程应考虑两种情况.特别是第二种情况,根据根与系数的关系进行求解. 15、已知关于 x 的方程(m﹣1)x ﹣x﹣2=0. (1)若 x=﹣1 是方程的一个根,则 m= 2 ,方程的另一根为 x= 2 ;
2

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(2)当 m 取值范围是 m≥

时,方程有实数根;

(3)若 x1,x2 是方程的两个根,且 考点:根与系数的关系;一元二次方程的解;根的判别式。

,则实数 m 的值为 5 .

分析:本题是根的判别式以及根与系数关系的综合应用,两根之和等于 解答:解: (1)将 x=﹣1 代入原方程得 m=2, ∴另一根为 x=2. (2)要使方程有实数根, 2 则有△=b ﹣4ac≥0, ∴1+4×2(m﹣1)≥0. 解得:m≥ .

,两根之积等于 .

即当 m≥ 时,方程有实数根.

(3)∵x1+x2=

,x1x2=﹣



∴ 解得:m1=5,m2=﹣3, ∵m≥ ,

即(x1x2) 1+x2)=( (x

)×(

)=﹣ .

∴m=5. 点评:本题虽然问题较多,但是难度不大,可以依次代入求解,求解时要注意根与系数关系的应用. 16、先阅读下列第(1)题的解答过程,再解第(2)题. (1)已知实数 a、b 满足 a =2﹣2a,b =2﹣2b,且 a≠b,则
2 2 2 2

= 4 .
2

解:由已知得:a +2a﹣2=0,b +2b﹣2=0,且 a≠b,故 a、b 是方程:x +2x﹣2=0 的两个不相等的实数根,由根与系 数的关系得:a+b=﹣2,ab=﹣2.



=

=4.

(2)已知 p ﹣2p﹣5=0,5q +2q﹣1=0,其中 p、q 为实数,则 考点:根与系数的关系。
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2

2

= 14 .

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分析:根据一元二次方程根与系数的关系和通过代数式变形,转化为根与系数的关系解答则可. 解答:解:由 5q +2q﹣1=0 得:
2

﹣ ﹣5=0,而 p ﹣2p﹣5=0,

2

故 p 和 是方程 x ﹣2x﹣5=0 的两根,

2

由根与系数的关系得:p+ =2,p? =﹣5,

所以 p +

2

=(p+ ) ﹣2× =14.

2

点评:本题考查了一元二次方程根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解 题方法.

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参与本试卷答题和审题的老师有: ln_86;CJX;zhehe;lanyuemeng;Liuzhx;nhx600;lanyan;zcx;wwf780310;yangjigang;zhangCF;lanchong;心 若在;137-hui;Linaliu;MMCH;wdxwwzy;疯跑的蜗牛;libaojia;jingjing。 (排名不分先后) 菁优网 2011 年 10 月 21 日

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