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2018版高中数学(人教A版)选修1-1同步教师用书:第二章 2.2.2 双曲线的简单几何性质

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2.2.2 双曲线的简单几何性质 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).(重 点) 2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(重点) 3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.(难点) [基础· 初探] 教材整理 双曲线的简单几何性质 阅读教材 P49~P51 例 3 以上部分,完成下列问题. 1.双曲线的简单几何性质 标准方程 x2 y2 a2-b2=1 (a>0,b>0) y2 x2 a2-b2=1 (a>0,b>0) 图形 范围 对称性 顶点 性 质 离心率 渐近线 2.等轴双曲线 轴长 x≥a 或 x≤-a y≤-a 或 y≥a 对称轴:坐标轴,对称中心:原点 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a) 实轴长=2a,虚轴长=2b c e=a且 e>1 b y=± ax a y=± bx (1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.其方程的一般形式为 x2 -y2=λ(λ≠0). (2)性质:①渐近线方程为:y=± x. ②离心率为:e= 2. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)双曲线是中心对称图形.( ) ) ) ) (2)双曲线方程中 a,b 分别为实、虚轴长.( y2 x2 b (3)方程a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± ax.( x2 y2 (4)离心率 e 越大,双曲线a2-b2=1 的渐近线的斜率绝对值越大.( 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ [小组合作型] 双曲线的几何性质 (1)双曲线 x2-y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( 1 A.2 C.1 2 ) 2 B. 2 D. 2 ) x y2 x2 y2 (2)若实数 k 满足 0<k<5,则曲线16- =1 与曲线 - =1 的( 5-k 16-k 5 A.实半轴长相等 C.离心率相等 B.虚半轴长相等 D.焦距相等 (3)已知 F1,F2 分别是双曲线的两个焦点,P 为该双曲线上一点,若△PF1F2 为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为( ) 【导学号:97792024】 A. 3+1 C.2 3 B. 2+1 D.2 2 【自主解答】 (1)双曲线 x2-y2=1 的顶点坐标为(± 1,0),渐近线为 y=± x, ∴x± y=0,∴顶点到渐近线的距离为 d= |± 1± 0| 2 =2. 2 x2 y2 (2)因为 0<k<5,所以两曲线都表示双曲线,在16- =1 中 a2=16,b2=5 5-k -k;在 故选 D. (3)不妨设点 P 在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2a.∵△PF1F2 是等腰直角 三角形,∴只能是∠PF2F1=90° , ∴|PF2|=|F1F2|=2c, ∴|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c, ∴(2a+2c)2=2· (2c)2, 即 c2-2ac-a2=0,两边同除以 a2,得 e2-2e-1=0. ∵e>1,∴e= 2+1. 【答案】 (1)B (2)D (3)B x2 y2 - 5 =1 中 a2=16-k,b2=5.由 c2=a2+b2 知两双曲线的焦距相等, 16-k 由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤 [再练一题] y2 1.(1) 已知双曲线 x - b2 = 1(b>0) 的一条渐近线的方程为 y = 2x ,则 b = 2 ________. 【解析】 【答案】 y2 b 由双曲线 x2-b2=1,得 a=1,∴1=2,b=2. 2 (2)求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心 率和渐近线方程. 【解】 x2 y2 x2 y2 将原方程转化为 9 - 4 =1,即32-22=1, ∴a=3,b=2,c= 13, 因此顶点坐标为 A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为 F1(- 13,0),F2( 13,0), 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4, c 13 离心率 e=a= 3 , 2 渐近线方程 y=± x. 3 利用双曲线的几何性质求其标准方程 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为4; 3 (2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± 2x; (3)与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2). 【精彩点拨】 用待定系数法求双曲线的标准方程时,注意先定位再定量, 充分利用题中所给出的双曲线的几何性质. 【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为 x2 y2 y2 x2 a2-b2=1 或a2-b2=1(a>0,b>0). c 5 由题意知 2b=12,a=4且 c2=a2+b2, ∴b=6,c=10,a=8. ∴双曲线的标准方程为 x2 y2 y2 x2 64-36=1 或64-36=1. (2)当焦点在 x 轴上时,由 b 3 9 = 且 a = 3 得 b = a 2 2. x2 4y2 ∴所求双曲线的标准方程为 9 - 81 =1. a 3 当焦点在 y 轴上时,由b=2且 a=3 得 b=2. y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 9 - 4 =1. x2 x2 (3)设与双曲线 2 -y2=1 有公共渐近线的双曲线方程为 2 -y2=k, 将点(2, - 2) 22 代入得 k= 2 -(-2)2=-2. y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 2 - 4 =1. 1.一般情况下, 求双曲线的标准方程关键是确定 a, b 的值和焦点所在的坐标 轴,若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标,则焦点所在的坐标轴易得.再结合 c2 c =a2+b2 及 e=a列关于 a,b 的方程(组),解方程(组)可得标准方程. b x2 y2 2.如果已知双曲线的渐近线方程为 y=± x ,那么此双曲线方程可设为 a a2-b2 =λ(λ≠0). [再练一题] 2.求中心在原点,

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