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立体几何文科讲义

时间:2015-09-17


第一节 空间点、线、面之间位置关系
【知识点 1】平面的基本性质 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下: 公理 1 图形 语言 文字 语言 符号 语言 如果一条直线上的两点 在一个平面内,那么这条 直线在此平面内.
A ? l, B ? l ? ??l ?? A ?? , B ?? ?
A, B, C不共线 ? A, B, C确定平面?

公理 2

公理 3

过不在一条直线上的三点, 有 且只有一个平面.

如果两个不重合的平面有一个公共 点, 那么它们有且只有一条过该点的 公共直线.
?? ? ? ? l P ?? , P ? ? ? ? ?P ? l

公理 2 的三条推论: 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 例 1.空间中有四个点,如果其中任意三点都不在同一条直线上,那么经过其中三个点的平面 (A).可能有三个,也可能有两个; (C).可能有四个,也可能有三个; (B).可能有三个,也可能有一个; (D).可能有四个,也可能有一个; 则

(

)

例 2.在空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点,如果 EF ? GH ? Q ( ) (B).点 Q 一定在直线 AC 上; (D).点 Q 既不在直线 BD 上,也不在直线 AC 上

(A).点 Q 一定在直线 BD 上; (C).点 Q 在直线 AC 或 BD 上;

E , F 分 别 为 D1C1 , C1B1 的 中 点 , AC ? BD? P, 例 3 : 已 知 正 方 体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

AC 1 1 ? EF ? Q .求证:
(1) D , B , F , E 四点共面;

E

C1
Q
F

A1

DBFE 于 R 点,则 P , Q , R 三点共线. (2)若 AC 1 交平面

B1
R
D

C
P B

1

A

巩固练习 1.已知 A、B 表示点,b 表示直线, 的是( ( A ) (D) ) ( B ) ( C ) 、 表示平面,下列命题和表示方法都正确

2.四条线段顺次首尾连接,如果每两条直线确定平面,则它们最多可以确定 (A)4 个平面; (B)2 个平面; (C)1 个平面; (D)3 个平面





3.已知:空间四边形 ABCD,平面四边形 EFGH 的顶点分别在空间四边形的各边 AD,AB,BC,CD 上,若 EF 与 GH 不平行,求证:三条直线 EF,GH,BD 共点。

2

【知识点 2】直线与直线之间的位置关系 1. 空间两条直线的位置关系:

? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ?共面直线 ? ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
2. 已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线 a? // a, b? // b ,把 a?, b? 所成的锐角(或直角)叫异面直 线 a , b 所成的角(或夹角). a?, b? 所成的角的大小与点 O 的选择无关,为了简便,点 O 通常取在异面直线 的一条上;异面直线所成的角的范围为 (0,90?] ,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂 直,记作 a ? b . 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点→平移→定角→计算. 例 1:一条直线和两条异面直线的一条平行,则它和另一条的位置关系是( (A)平行或异面 (B)异面 (C)相交 (D)相交或异面 ).

例 2: 如图, 空间四边形 ABCD 中, M、 N 分别是△ABC 和△ACD 的重心, 若 BD=m, 则 MN =__________.

例 3: 下列命题中正确的个数是(



① 若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l ∥? . ② 若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行.
③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. ④ 若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点.
A. 0 B.1 C .2 D.3

3

例 4:如图, M 是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列命题 ①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都相交; ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 B1C1 都相交; ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 B1C1 都平行. 其中真命题是: A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③
A B D

C

?M
D1

A1 B1 C1

例:5: 已知 a, b 是一对异面直线,且 a, b 成 70 角, P 为空间一定点,则在过 P 点的直线中与 a, b 所
?

成的角都为 70 的直线有
?

条.

例 6:空间四边形 ABCD 中, E , F , G , H 分别是 AB , BC , CD , DA 的
? 中点,若 AC ? BD ? a ,且 AC 与 BD 所成的角为 90 ,则四边形 EFGH 的面积





例 7:如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, M 、 N 分别是 CD , CC1 的中点,则异面直线 A 1M 与 DN 所成的角的大小是____________.
D1 A1 D B1 N C B C1

例 8:直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 ?BAC ? 90? ,

M

A

4

AB ? AC ? AA1 ,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于
A.30° 巩固练习 1.. 若直线 a 不平行于平面 ? ,且 a ? ? ,则下列结论成立的是( A. ? 内的所有直线与 a 异面 B. ? 内不存在与 a 平行的直线 D. ? 内的直线与 a 都相交 . ) B.45° C.60° D.90°

C. ? 内存在唯一的直线与 a 平行

2. 已知 a , b , c 是三条直线,角 a ∥ b ,且 a 与 c 的夹角为 ? ,那么 b 与 c 夹角为

3. 如果 a , b 是异面直线,直线 c 与 a ,b 都相交,那么这三条直线中的两条所确定的平面共有

个.

4.. 如图,三条直线两两平行且不共面,每两条确定一个平面,一共可以确定几个平面?如果三条直线相 交于一点,它们最多可以确定几个平面?

5.. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:

① BM 与 ED 平行.

② CN 与 BE 是异面直线.

N
D

③ CN 与 BM 成 60? 角. ④ DM 与 BN 垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是( )

C

M

E

A

B
F

5

A. ① , ② , ③

B. ② , ④

C. ③ , ④

D. ② , ③ , ④

6.下列命题中,正确的个数为(



①两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行; ②平行移动两条异面直线中的任何一条,它们所成的角不变; ③过空间四边形 ABCD 的顶点 A 引 CD 的平行线段 AE ,则 ?BAE 是异面直线 AB 与 CD 所成的角; ④四边相等,且四个角也相等的四边形是正方形 A.0 B .1 C .2 D.3

7..已知平面 ?//? , P 是平面 ?,? 外的一点,过点 P 的直线 m 与平面 ?,? 分别交于 A,C 两点,过点

P 的 直 线 n 与 平 面 ?,? 分 别 交 于 B,D 两 点 , 若 PA ? 6,AC ? 9,PD ? 8 , 则 BD 的 长
为 .

AE 与 D1F 所成角的 8.已知正方形 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , F 分别为 BB1 , CC1 的中点,那么异面直线
余弦值为 .

9.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点,则异面直 线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为

A.

3 4

B.

5 4

C.

7 4

D.

3 4

6

10.已知空间四边形 ABCD 中, E、 H 分别是 AB、 AD 的中点, F、 G 分别是 BC、 CD 上的点, 且 求证: (Ⅰ)E、F、G、H 四点共面; (Ⅱ)三条直线 EF、GH、AC 交于一点.

CF CG 2 ? ? . CB CD 3

D

H A E B

G

C F

7

【知识点 3】直线与平面、平面与平面位置关系 1. 直线与平面的位置关系: (1)直线在平面内(有无数个公共点) ; (2)直线与平面相交(有且只有一个 公共点) ; (3)直线与平面平行(没有公共点). 分别记作: l ? ? ; l ? ? ? P ; l // ? . 2. 两平面的位置关系:平行(没有公共点) ;相交(有一条公共直线).分别记作 ? // ? ; ? ? ? ? l . 例1: E、F、G、H 是棱锥 A-BCD 棱 AB、AD、CD、CB 上的点,延长 EF、HG 交于 P 点,则点 P( A. 一定在直线 AC 上 C. 只在平面 BCD 内 B. 一定在直线 BD 上 D. 只在平面 ABD 内 )

例2: 一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面( A. 平行 B. 相交 C. 平行或垂合 D. 平行或相交



例3: 若直线 l 不平行于平面 a ,且 l ? a ,则 A. a 内存在直线与异面 C. a 内存在唯一的直线与 l 平行 B. a 内不存在与 l 平行的直线 D. a 内的直线与 l 都相交

E,F ,且 EF ? 1 例4: 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱线长为 ,线段 B1 D 1 上有两个动点
结论中错误的是 A. AC ? BE B. EF // 平面ABCD C.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 D. ?AEF的面积与?BEF的面积相等

1 ,则下列 2

D A D1 F A1 E B1 B

C

C1

例5: 正方体各面所在平面将空间分成( A. 7 B. 15 C. 21 巩固练习

)个部分 D. 27

1. l ,l ,l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 1 2 3 A. l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 // l2 C. l1 // l2 // l3 ? l1 , l2 , l3 共面 B. l1 ? l2 , l1 // l3 ? l1 ? l3 D. l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面 )

2.若两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数( 8

A. 有限个

B. 无限个

C. 没有

D. 没有或无限个

3.一个平面把空间分成 分成 部分.

部分,两个平面可以把空间分成

部分,三个平面可以把空间

4.已知 m、n 为异面直线, m ? 平面 ? , n ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,则 l A.与 m、n 都相交 C.与 m、n 都不相交 B.与 m、n 中至少一条相交 D.至多与 m、n 中的一条相交





【知识点 4】直线与平面平行 1.定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行. 2.判定定理:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表示为: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? . 图形如右图所示.

3.性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线
a // ? ? ? 平行. 即: a ? ? ? ? a // b . ? ? ? ? b? ?

β

a
b

证明直线与直线平行的方法:

?

(1)利用题目图形几何特性:如中位线,线段成等比例等; (2)利用平行公理:若 a // b,b // c ,则 a // c ; (3)利用线面平行的性质定理:若 a // ?,a ? ?,? ? ? ? b ,则 a // b ; (4)利用面面平行的性质定理:若 ? // ?,? ? ? ? a,? ? ? ? b , 则 a // b ; (5)利用线面垂直的性质定理:若 a ? ?,b ? ? ,则 a // b ;

9

5.证明直线与平面平行的方法: (1)利用线面平行的判定定理:若 a // b,a ? ?,b ? ? ,则 a // ? ; (2)利用面面平行的性质定理:若 ? // ?,a ? ? ,则 a // ? ;

例1: 梯形 ABCD 中 AB//CD,AB ? 平面 α,CD ? 平面 α,则直线 CD 与平面 α 内的直线的位置关系只能是 ( A. 平行 ) B. 平行和异面 C. 平行和相交 D. 异面和相交

例2: 已知 l 是过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点的平面 AB1D1 与下底面 ABCD 所在平面的交线,下列结论 错误的是( A. D1B1∥l ) B. BD//平面 AD1B1 C. l∥平面 A1D1B1 D. l⊥B1 C1

例3: 设不同的直线 a,b 和不同的平面 α,β,γ,给出下列四个说法: ① a∥α,b∥α,则 a∥b; ③α∥γ,β∥γ,则 α∥β; 其中说法正确的序号依次是 ② a∥α, a∥β, 则 α∥β; ④ a∥b,b ? α,则 a∥α. .

10

例 4:如图,几何体 E ? ABCD 是四棱锥,△ ABD 为正三角形, CB ? CD, EC ? BD . (Ⅰ)求证: BE ? DE ; (Ⅱ)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点,求证: DM ∥平面 BEC .

例 5:如图,在四棱台 ABCD ? A1B1C1D1 中, D1D ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是平行四边形,

AB ? 2 AD,AD ? A1B1,?BAD ? 60?
(Ⅰ)证明: AA 1 ? BD ; (Ⅱ)证明: CC1 // 平面 A1BD . A 1 D D 1 B 1 C C 1

A

B

例 6:如图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,面对角线 AB1 , BC1 上分别有两点 E、F,且 B1 E ? C1 F . 求 证:EF∥平面 ABCD.

11

例 7:如图,四边形 ABCD 为矩形, BC⊥ 平面 ABE, F 为 CE 上的点,且 BF⊥ 平面 ACE.( Ⅰ )求证: AE⊥ BE; ( Ⅱ )设点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 CE 的中点,求证:MN∥ 平面 DAE.

12

例 8:四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为一直角梯形,其中 BA ? AD ,CD ? AD ,CD ? AD ? 2 AB ,

PA ? 底面 ABCD



E 是 PC 的中点

(Ⅰ)求证: BE / / 平面 PAD ; (Ⅱ)若 BE ? 平面 PCD ,求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值. D E C

D

E

A C

A

F

B F

G

B

巩固练习 1.用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线, y 表示平面,给出下列命题: ○ 1 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;②若 a ⊥ b , b ⊥ c ,则 a ⊥ c ; ③若 a ∥ y , b ∥ y ,则 a ∥ b ;④若 a ⊥ y , b ⊥ y ,则 a ∥ b . 其中真命题的序号是 A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④

2.下列命题中正确命题的个数为





①直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线,则 l // ? ; ②若直线 a 在平面 ? 外,则 a // ? ;

13

③若直线 a // b ,直线 b ? ? ,则 a // ? ; ④若直线 a // b , b ? 平面 ? ,那么直线 a 就平行于平面 ? 内无数条直线. A .1 B .2 C.3 D .4

3.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,

EF ∥ AB , EF ? FB , AB ? 2 EF ? 2 , ?BFC ? 90? , BF ? FC , H 为 BC 的中点.
(Ⅰ)求证: FH ∥平面 EDB ;
E F C H A B

(Ⅱ)求证: AC

? 平面 EDB ;

D

(Ⅲ)求四面体 B ? DEF 的体积.

4.如图,梯形 ABCD 和正 ?PAB 所在平面互相垂直,其中 AB / / DC , AD ? CD ? 的中点. (Ⅰ)求证: BC / / 平面 POD ; (Ⅱ)求证: AC ? PD
A D O C B P

1 AB ,且 O 为 AB 2

14

5.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形, ?ABC ? ?BAD ? 90? ,

PA ? AB ? BC ?

1 AD ? 1, E 为 PD 的中点. 2

(Ⅰ)求证: CE / / 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 PC 所成角的正切值.
P E

A B C

D

6.如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,点 D 为棱 AB 的中点, BC ? 1 ,AA1 ? 3 (Ⅰ)求证: BC / / 平面 ACD 1 1 (Ⅱ)求三棱锥 D ? A B C 的体积.
1 1

A D B C

A1 C1 B1

15

, ACC A 均为正方形, ?BAC ? 90? , D 为 BC 的中 7.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 ABB1 A 1 1 1 点 (Ⅰ)求证: A B / / 平面 ADC ;
1 1

C1

A1 B1

(Ⅱ)求证: C A ? B C 1 1

C D

A B

8.三棱柱中 ABC ? A1B1C1 ,侧棱与底面垂直, ?ABC ? 90 ,AB ? BC
?

? BB1 ? 2, M , N 分别是 AB,AC 的中点. 1
(Ⅰ)求证: MN / / 平面 BCC1B1 ;
M A C N A1 C1 B1

(Ⅱ)求证: MN ? 平面 A 1B 1C ; (Ⅲ)求三棱锥 M ? A 1B 1C 的体积

B

16

【知识点 5】平面与平面平行 1.判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.用符号表示为:
a ? ? , b ? ? , a ? b ? P? ? ? ? // ? . a // ? , b // ? ?

2.性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 用符号语言表示为: ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b . 其它性质:① ? // ? , l ? ? ? l // ? ; ② ? // ? , l ? ? ? l ? ? ;③夹在平行平面间的平行线段相等. 3. 证明平面与平面平行的方法: (1)利用面面平行的判定定理:若 a ? ?,b ? ?,a ? b ? A,a // ?,b // ? ,则 ? // ? ; (2)利用面面平行的传递性:若 ? // ?,? // ? ,则 ? // ? ; (3)*垂直于同一条直线的两个平面平行:若 a ? ?,a ? ? ,则 ? // ? ;

例1: 下列说法正确的是(



A. 如果两个平面有三个公共点,那么它们重合 B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C. 在两个平行平面中,一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D. 如果两个平面平行,那么分别在两个平面中的两条直线平行

例2: 下列说法正确的是(

) B. 平行于同一个平面的两条直线平行 D. 平行于同一个平面的两个平面平行

A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行

例 3:已知 a、b、c 是三条不重合直线,?、?、?是三个不重合的平面,下列说法中: ①a∥c,b∥c ? a∥b; ②a∥?,b∥? ? a∥b;③ c∥?,c∥? ? ?∥?; ③ ?∥?,?∥? ? ?∥?;⑤ a∥c,?∥c ? a∥?;⑥ a∥?,?∥? ? a∥?. 其中正确的说法依次是 .

例 4:正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (Ⅰ)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (Ⅱ)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD.

17

例 5:P 是 ?ABC 所在平面外一点, A'、B'、C ' 分别是 ?PBC、?PCA、?PAB 的重心, (Ⅰ)求证:平面 A' B'C ' //平面ABC ; (Ⅱ)求 S?A' B'C' : S?ABC .

例:6:.如图所示,四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面,若截面为平行四边形. (1)求证:AB∥平面 EFGH,CD∥平面 EFGH. (2)若 AB=4,CD=6,求四边形 EFGH 周长的取值范围.

巩固练习 1.下列命题正确的是( 18 )

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D. 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

2.在空间,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合

) B.平行于同一直线的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行

N , P 分别为所在边的中点, O 为面对角线 AC 3.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, M , 1 1 的中点.
(1)求证:平面 MNP / / 平面 AC 1 1B ; (2)求证: OM ? 平面 AC 1 1B .
B1 A1 O C1 D1

M

A B

P C

D N

19

4.已知四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形. 点 M、 N、 Q 分别在 PA、 BD、 PD 上, 且 PM: MA=BN: ND=PQ:QD. 求证:平面 MNQ∥平面 PBC.

5.如图所示,平面 ? ∥平面 ? ,点 A∈ ? ,C∈ ? ,点 B∈ ? ,D∈ ? ,点 E,F 分别在线段 AB,CD 上,且 AE∶EB=CF∶FD. (1)求证:EF∥ ? ; (2)若 E,F 分别是 AB,CD 的中点,AC=4,BD=6, 且 AC,BD 所成的角为 60° ,求 EF 的长.

20

【知识点 6】直线与平面垂直 1.定义:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 ? 互相垂直,记作 l ? ? . l -平面

? 的垂线, ? -直线 l 的垂面,它们的唯一公共点 P 叫做垂足.(线线垂直 ? 线面垂直)
2.判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为: 若 l ⊥ m , l ⊥ n , m ∩ n =B, m ? ? , n ? ? ,则 l ⊥ ? 3.性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. (线面垂直 ? 线线平行) 4.证明直线与直线垂直的方法: (1)利用线段长度构成勾股定理; (2)利用线面垂直的定义:若 a ? ?,b ? ? ,则 a ? b ; 5.证明直线与平面垂直的方法: 一、利用线面垂直的判定定理:若 m ? ?,n ? ?,l ? m,l ? n,m ? n ? P ,则 l ? ? ; 二、利用面面垂直的性质定理:若 ? ? ?,? ? ? ? l,a ? ?,a ? l ,则 a ? ? ; 三、若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面; 四、若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面;

例1: 设 l 是直线, ?,? 是两个不同的平面 ( A.若 l ∥ ? , l ∥ ? ,则 ? ∥ ? C. 若 ? ⊥ ? , l ⊥ ? ,则 l ⊥ ?



B. 若 l ∥ ? , l ⊥ ? ,则 ? ⊥ ? D. 若 ? ⊥ ? , l ∥ ? ,则 l ⊥ ?

例 2:如图 2, P 是△ABC 所在平面外的一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 PBC.求证:BC⊥平 面 PAC.

21

例 3:如图, PA ? 平面 ABCD,ABCD 是矩形,M、N 分别是 AB、PC 的中点,求证: MN? AB
P N D A C

M

B

例 4: 如图在 ΔABC 中, AD⊥BC, ED=2AE, 过 E 作 FG∥BC, 且将 ΔAFG 沿 FG 折起, 使∠A'ED=60° , 求证:A'E⊥平面 A'BC

A' G A E F

C D B

22

例 5: 在直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中, AA1= 2,底面是边长为 1 的正方形, E、 F、G 分别是棱 B1B、 D 1D、 DA 的中点. ( Ⅰ )求证:平面 AD1E∥ 平面 BGF; ( Ⅱ )求证: D1E⊥ 平面 AEC.

例 6:在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1, AA 1 ? 2 , M 为棱 DD 1 上的一点.(Ⅰ)求三棱锥

A ? MCC1 的体积;
(Ⅱ)当 A1 M ? MC 取得最小值时,求证: B1 M ? 平面 MAC . A1

D1 C1

B1

A

B

C

23

D

例 7:如图所示,ABCD 为正方形, SA ⊥平面 ABCD,过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB,SC,SD 于

E,F,G .求证: AE ? SB , AG ? SD .

E 为 AB 中点 例 8:长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? AD ,点
(Ⅰ)求证: A D ? 平面 ABC D ;
1 1 1

(Ⅱ)求证: BD / / 平面 A DE 1 1

巩固练习 1.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD 24
(第 1 题)

).

C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60°

3.在三棱锥 A-BCD 中,BC=AC,AD=BD,作 BE⊥CD,E 为垂足,作 AH⊥BE 于 H .求证:AH⊥平 面 BCD.

4.四面体 ABCD 中, AC ? BD, E , F 分别为 AD , BC 的中点,且 EF ? 面 ACD .

? 2 AC , ?BDC ? 90 ,求证: BD ? 平 2

5.在直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中, AA1= 2,底面是边长 为 1 的正方形, E、 F、G 分别是棱 B1B、 D1D、 DA 的中点. ( Ⅰ )求证:平面 AD1E∥ 平面 BGF;

25

( Ⅱ )求证: D1E⊥ 平面 AEC.

6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. 求证: (Ⅰ)B1D⊥平面 A1C1B; (Ⅱ)B1D 与平面 A1C1B 的交点设为 O,则点 O 是△A1C1B 的垂心.

7.如图所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中,AB ? 平面 PAD ,AB / /CD, PD ? AD ,E 是 PB 中点,F 是 DC 上的点,且 DF ?

1 AB , PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高. 2

(Ⅰ)证明: PH ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)若 PH ? 1, AD ? 2, FC ? 1 ,求三棱锥 E ? BCF 的体积; (Ⅲ)证明: EF ? 平面 PAB . 26

27

且 BF ? 8.在矩形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 G ,AD ? 平面 ABE ,AE ? EB ? BC , F 为 CE 上的点, 平面 ACE . (Ⅰ)求证: AE ? 平面 BCE ; (Ⅱ)求证: AE / / 平面 BFD G E D H A B F C P

9.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ,点 D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证: CD ? 平面 AA BB ;
1 1

A D B

C

(Ⅱ)求证: AC1 / / 平面 CDB1

A1 B1

C1

28

10.如图, AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上, AB / / EF ,矩形 ABCD 的边 BC 垂直于圆 O 所在的 平面,且 AB ? 2,AD ? EF ? 1 (Ⅰ)求证: AF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)设 FC 的中点为 M ,求证: OM / / 平面 DAF (Ⅲ)求三棱锥 F ? ABC 的体积

AB ? a , AA AC ? BD ? O 11.如图,在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 1 ? 2a , E 为 CC1 的中点,
(Ⅰ)证明: OE / / 平面 ABC1 ;

? 平面 BDE . (Ⅱ)证明: AC 1
D1 A1 B1 E D A O B C C1

29

【知识点 7】直线与平面所成角 斜线和平面所成的角,简称“线面角”,它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的 角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解,可以简述为“作(作出线面角) →证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”. 通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和 斜足的连线是产生线面角的关键.

例1: (2010 全国 1 正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BB1 与平面 ACD 1 所成角的余弦值为 A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

6 3

例2: 已知三棱锥 S ? ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC , SA ? 3, 那么直 线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值是 A.

3 4

B.

5 4

C.

7 4

D.

3 4

例 3:棱长都是 2 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,∠BAD=60° ,则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成 角的正弦值为_____.

30

例 4:如图,在圆锥 PO 中,已知 PO ? 为 AC 的中点.

2 , ? O 的直径 AB ? 2 ,点 C 在 ? AB 上,且 ?CAB ? 30? , D

P

(Ⅰ)证明: AC ? 平面 POD ; (Ⅱ)求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值.
C D A O B

例 5.如图,正四棱锥 P ? ABCD 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 2 , M 为线段 PC 的中点. (Ⅰ)求证: PA / / 平面 MDB ; (Ⅱ)设 N 为 AP 的中点,求 CN 与平面 MBD 所成角的正切值. P M N D C

A

B

31

AD / / BC , AD ? AB , AB ? 2 , 例 6:如图,在侧棱垂直底面的四棱锥 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
E 是 DD1 的中点, F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点. AD ? 2,BC ? 4, AA1 ? 2,
(Ⅰ)证明:(i) EF / / A1D1 ;(ii) BA 1C1EF ; 1 ? 平面 B (Ⅱ)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值 B C

A H B1 F

D C1 E D1

A1

巩固练习: 1.棱长都是 2 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,∠BAD=60° ,则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成角的 正弦值为_____ 2.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 是 A1B1 的中点, 求直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角的正 弦值.

? A B C D C ? C D B//C D 3.如图,四棱锥 S 中, A ,B ,侧面 S A B 为等边三角形,
. A B ? B CC ? 2 ,D ?? S D 1 (Ⅰ)证明: SD ? 平面 SAB (Ⅱ)求 A B 与平面 S B C 所成角的大小.

32

【知识点 8】平面与平面垂直 1.定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记作 ? ? ? . 2.判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. (线面垂直 ? 面面垂直) 3.性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为:若

? ? ? , ? ? ? ? l , a ? ? , a ? l ,则 a ? ? .(面面垂直 ? 线面垂直)

例1: 给出下列说法:①直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行;②夹在两个平行平面间的 两条异面线段的中点连线平行于这两个平面;③直线 m⊥平面 α,直线 n⊥m,则 n∥α; ④a、b 是异面直 线,则存在唯一的平面 α,使它与 a、b 都平行且与 a、b 距离相等.其中正确的两个说法是( A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ )

例2: 在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面 BB1C1C⊥底面 ABC. (Ⅰ)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (Ⅱ)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM=MA1,求证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C;

例 3:如图, AB 是 ? O 的直径,点 C 是 ? O 上的动点, PA 垂直于 ? O 所在的平面. (Ⅰ)证明:平面 PAC ? 平面 PBC ; (Ⅱ)设 PA ? 3 , AC ? 1 ,求点 A 到平面 PCB 的距离.
P

A O C

B

33

例 4:已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,对角线 AC=2,BD= 2 3 ,E、F 分别为棱 CC1、BB1 上的点,且满足 EC=BC=2FB. (Ⅰ)求证:平面 AEF⊥平面 A1ACC1;(Ⅱ)求异面直线 EF、A1C1 所成角的余弦值.

AB ? AD ? 1 , AA1 ? 2 , M 是棱 CC1 的中点 例 5:如图所示,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM ? 平面 A 1B 1M1
B1 A1 D1

C1

M

A

D

B

C

34

例 6:如图,棱柱 ABC ? A B C 的侧面 BCC B 是菱形, B C ? A B . 1 1 1 1 1 1 1 (1)证明:平面 AB C ? 平面 A BC ;
1 1 1

(2)设 D 是 AC 上的点,且 A B / / 平面 B CD ,求 A D : DC 的值. 1 1 1 1 1 1

A 1 。 B 1

D

C 1

A B

C

例 7:如图,已知正方体 ABCD ? A B C D ,过 BD 的平面分别交棱 AA 、 CC 于 E、F 两点. 1 1 1 1 1 1 1 (Ⅰ)求证: A1E ? CF ; (Ⅱ)若 E、F 分别是棱 AA 的中点,求证:平面 EBFD1 ? 平面 BB1D1D . 1、CC1
D1 A1 E B1 F D C B C1

A

35

巩固练习 1.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n / /? ,则 m ? n ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是 ( A.①和② B.②和③ ) C.③和④ D.①和④ ②若 ? / / ? , ? / /? , m ? ? ,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

2. 如图,在立体图形 D ? ABC 中,若 AB ? CB, AD ? CD, E 是 AC 的中点,则下列命题中正确的是 ( ).

(A)平面 ABC ⊥平面 ABD

(B)平面 ABD ⊥平面 BDC

(C)平面 ABC ⊥平面 BDE ,且平面 ADC ⊥平面 BDE (D)平面 ABC ⊥平面 ADC ,且平面 ADC ⊥平面 BDE

3.如图 3, AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点, PA ? 平面 ABC.若 AE⊥PC ,E 为垂足,F 是 PB 上任 意一点,求证:平面 AEF⊥平面 PBC.

36

4.已知如图,P ? 平面 ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60° ,∠BPC=90 ° 求证:平面 ABC⊥平面 PBC

5.四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PA⊥底面 ABCD,E 为 AB 的中点,且 PA=AB.(Ⅰ)求 证:平面 PCE⊥平面 PCD;(Ⅱ)求点 A 到平面 PCE 的距离.

DD1 的中点. 6.如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? AD ? 1 , AA 1 ? 2 ,点 P 是
(Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 BDD1 ; (Ⅱ)求证: PB1 ? 平面 PAC
B1 C1 P D C B D1

A1

A

37

7.如图,已知在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , AC ? BC , M 、N、 分别是 AA、BB 、AB、B C 的中点.求证
1 1 1 1

(Ⅰ)平面 PCC ? 平面 MNQ ; 1 (Ⅱ) PC / / 平面 MNQ . 1
A1 M

C1

O B1 N

C A B

38


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