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高二数学上册《数列的递推公式》教案()沪教版

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7.1(2)数
一、教学内容分析

列(数列的递推公式)

本节课是数列的第二课时,教学内容是“数列的递推公式”,学生对数列已有的认知程 度:数列的有关概念和数列的通项公式. 二、教学目标设计 1、知道递推公式也是给出数列的一种方法; 2、理解数列通项公式的意义,观察数列项与项之间的内在联系,逐步形成学生的观察能 力; 3、通过阅读框图,正确理解算法程序,掌握建立递推关系式的方法,形成数学阅读能力. 三、教学重点及难点 重点:理解数列通项公式的意义,利用递推关系式,揭示数列项与项之间的内在联系. 难点:阅读算法程序框图,建立递推关系式. 四、教学用具准备 多媒体设备 五、教学流程设计

六、教学过程设计 一、 情景引入 1.观察

3、6、9、12、15、18、21.
2.思考



在数列①中,项与项之间有什么关系? [说明]: a1 ? 3,

-1-/5

a2 ? a1 ? 3, a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 3, ????????
3.讨论 或

a2 ? 2a1, 3 a2 , 2 4 a4 ? a3 , 3 ???????? a3 ?

由此,数列①也可以用下面的公式表示:

?an ? an?1 ? 3?????(2 ? n ? 7) ? ?a1 ? 3
n ? an?1?????(2 ? n ? 7) ?an ? n ?1 ? ? ?a1 ? 3
二、学习新课 1.概念辨析



如果已知数列 an ? 的任一项与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系可用一个公式来表 示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. 2.例题分析 例 3.根据下列递推公式写出数列的前 4 项: (1) ?

?

?an ? 2an?1 ? 1???(n ? 2), ?a1 ? 1;

(2) ?

?an ? 15 ? an?1???(n ? 2), ?a1 ? 100.

解:(1)由题意知:

a1 ? 1 a2 ? 2a1 ? 1 ? 2 ?1 ? 1 ? 3 a3 ? 2a2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 a4 ? 2a3 ? 1 ? 2 ? 7 ? 1 ? 15
这个数列的前 4 项依次为 1,3,7,15. (2)由题意知:

a1 ? 100, a2 ? 15 ? a1 ? 15 ? 100 ? ?85 a3 ? 15 ? a2 ? 15 ? (?85) ? 100, a4 ? 15 ? a3 ? 15 ? 100 ? ?85
-2-/5

这个数列的前 4 项依次为 100,-85,100,-85. [说明]已知数列的首项(或前几项),利用递推公式 可以依次求出数列以后的项. 例 4.根据图 7-5 中的框图,建立所打印数列的递推公式,并写出这个数列的前 5 项. 解:由图 7 -5 可知,数列的首 项为 3,从第 二项起数列中的 每一项都是前一项与前一项减 1 所得的差之积,即

?an ? an?1(an?1 ? 1)???????(2 ? n ? 10), ? ?a1 ? 3.
利用上述递推公式,计算可得到数列的前 5 项依次为 3,6,30,870,756030. [说明] 解答本例的关键是要读懂框图, 框图呈现的是算法程 序,该程序就是递推关系. 3.问题拓展 例 1. ?

?an?1 ? an ? an?1???(n ? 2), ?a1 ? 1, a2 ? 1.

解:由题意知:

a1 ? 1, a2 ? 1 a3 ? a2 ? a1 ? 1 ? 1 ? 2 a4 ? a3 ? a2 ? 2 ? 1 ? 3
这个数列的前 4 项依次为 1,1,2,3.

?a ? an ? an?1???(n ? 2), [说明] 由递推公式 ? n?1 给出的数列叫做斐波那契数列. ?a1 ? 1, a2 ? 1.
斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250),意大利数学家,他在 1202 年所著的《计算之书》 中,提出的“兔子问题”所用的数列被后人称为斐波那契数列. 斐波那契的兔子问题:假设一对初生兔子要一个 月才到成熟期,而一对成熟兔子每个月 都会生下一对兔子.那么,由一对初生兔子开始,12 个月后会有多少对兔子呢? 用记号“ ”表示初生的幼兔,“ ? ”表示成熟的兔子,则有下图

得到 前

七项:1,1,2,3,5,8,13

-3-/5

进一步可以发现:从第三项起,每一项都是前面两项之和. 下面给出证明: 设 a n 表示第 n 个月的兔子数, bn 表示第 n 个月幼兔, c n 表示第 n 个月的成熟兔,则:

an ? bn ? cn
由题意有: cn

? cn ?1 ? bn ?1 ? an ?1 , bn ? cn ?1 ? an ? 2
,证毕.

? an ? an ? 2 ? an ?1 (n ? 2, n ? N * )
∴12 个月后共有 243 对兔子.

∴1 到 12 个月的兔子数依序是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,243.

例 2.已知数列 ?an ? 的第 1 项是 1, 第 2 项是 2, 以后各项由 an 给出. (1)写出这 个数列的前 5 项; (2)利用上面的数列 的前 5 项;

? an?1 ? an?2??(n ? 3)

?an? ,通过公式 bn ?

an?1 构造一个新数列 ?bn ? ,写出数列 ?bn ? an

(3)继续计算数列 bn 的第 6 项到第 10 项,你发现数列 bn 的相邻两项之间有怎样的 关系. 解:由递推关系: ?

? ?

? ?

?an ? an?1 ? an?2 ???(n ? 3), ?a1 ? 1, a2 ? 2.

(1)数列 ?an ? 的前 5 项依次为:1,2,3,5,8 (2)数列 bn 的前 5 项依次为: 2, , , , 2 3 5 (3)数列 bn 的第 5 项到第 10 项依次为: 观察 1: b2

? ? ? ?

3 5 8 13 . 8
21 34 55 89 144 , , , , . 13 21 34 55 89

? 1?

1 2 3 55 , b3 ? 1 ? , b4 ? 1 ? ,…, b10 ? 1 ? . 2 3 5 89

于是,数列 bn 的相邻两项之间具有: bn 观察 2: b2

? ?

? 1?

1 bn?1

???(n ? 2) .

?1 ?

1 2 ? b1 (b2 ? 1) ? 1, b3 ? 1 ? ? b2 (b3 ? 1) ? 1, ,…, 2 3

-4-/5

b10 ? 1 ?

55 ? b9 (b10 ? 1) ? 1 . 89

于是,数列 bn 的相邻两项之间具有: bn?1(bn

? ?

?1) ? 1???(n ? 2) .

[说明](1)题是利用递推关系求数列的项;(2)题是构造一个数列写出部分项;(3) 题是通过观察部分项,猜想递推关系式. 例 3.根据框图,建立所打印数列的递推公式,并写出数列的前 5 项. 解:根据框图,数列的递推公式为

an?1 ? 2 ? ????(2 ? n ? 10, n ? N *) ?an ? 2 a ? 3 ? n?1 ?a ? 1 ? 1
数列的前 5 项依次为: 1,

3 13 55 233 , , , . 5 21 89 377

[说明] 阅读框图,正确理解框图中的赋值语句,准确把 握递推信息,是解此类题的关键. 三、巩固练习: 四、课堂小结 1、数列递推公式的概念; 2、利用递推公式解题的基本类型: (1)根据递推公式,求数列的部分项; (2)已知数列的部分项,写出数列相邻两项的关系; (3)根据算法程序框图,建立递推关系式. 五、作业布置 练习册(A)6、7、8;练习册(B)2、4. 七、教学设计说明 本节课是数列的第二课时,学生对数列已有的认知程度:数列的有关概念和数列的通项 公式.因此,本节课的教学设计应围绕以下几点开展教学: 1、让学生明白:递推公式也是给出数列的一种方法; 2、理解数列通项公式的意义,观察数列项与项之间的内在联系,以此来培 养学生的观察 能力; 3、通过阅读框图,正确理解算法程序,掌握建立递推关系式的方法,以培养学生的数学 阅读能力. 7.1(2)1,2.

-5-/5


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