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抛物线的几何性质、圆锥曲线的共同性质

时间:2014-12-16


抛物线的几何性质、圆锥曲线的共同性质
图形 一、知识点回顾:

1、抛物线的几何性质
方 标准 方程 程 参数 方程 范围 中心 2、圆锥曲线的共同性质 椭圆 1. 到两定点 F1,F2 的距离之 1.到两定点 F1,F2 的距离之差 和为定值 2a(2a>|F1F2|)的 的绝对值为定值 点的轨迹 定义 2.与定点和直线的距离之 2.与定点和直线的距离之比为 比为定值 e 的点的轨迹. 定值 e 的点的轨迹.(e>1) (0<e<1) 点集:({M||MF1+| 轨迹条件 MF2|=2a,|F 1F2|<2a}. =±2a,|F2F2|>2a}. 直线 l 的距离}. 焦距 点集:{M||MF1|-|MF2|. 点集{M| |MF|=点 M 到 准 线 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 点的轨迹. 与定点和直线的距离相等的 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) 对称轴 长轴长 2a,短轴长 2b 实轴长 2a, 虚轴长 2b. 双曲线 抛物线 顶点 b) x 轴,y 轴; x 轴,y 轴; x轴

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

y 2 ? 2 px

? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)
|x| ? a,y?R 原点 O(0,0)

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt (t 为参数) ?
x?0

(a,0), (─a,0)

(0,0)

p F ( ,0 ) 2
x=-

a2 x=± c
准线垂直于长轴,且在椭圆 外. 2c (c= a 2 ? b 2 )

a2 x=± c
准线垂直于实轴, 且在两顶点的 内侧. 2c (c= a 2 ? b 2 )

p 2

准线与焦点位于顶点两侧, 且到顶点的距离相等.

1

离心率

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

二、巩固练习
(一)抛物线的几何性质 1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是________. 2.经过抛物线 y2=2px(p>0)的所有焦点弦中,弦长的最小值为________. 3.(2013· 烟台高二检测)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线与抛物线相交于 P(x1,y1),Q(x2, y2)两点,若 x1+x2=8,则 PQ 的值为________. y 4.(2013· 四川高考改编)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- 3 =1 的渐近线的距离是 ________. 5.已知等边三角形 AOB 的顶点 A,B 在抛物线 y2=6x 上,O 是坐标原点,则△AOB 的 边长为________. 6.过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 1 1 的长分别为 m、n,则m+n=________.
2 2

10. 过点(0,4), 斜率为-1 的直线与拋物线 y2=2px(p>0)交于两点 A, B, 如果 OA⊥OB(O 为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标.

11.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不同的 A、B 两点. → → (1)如果直线 l 过抛物线的焦点,求OA· OB的值; → → (2)如果OA· OB=-4,证明:直线 l 必过一定点,并求出该定点.

7.(2013· 南通高二检测)已知弦 AB 过拋物线 y =2px(p>0)的焦点,则以 AB 为直径的圆 与拋物线的准线的位置关系是________.

8.(2012· 陕西高考)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 ________米.

9.(2013· 哈师大附中高二检测)设抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴负半轴上,M 为抛物线 上任一点,若点 M 到直线 l:3x+4y-14=0 的距离的最小值为 1,求此抛物线的标准方程.
2

1,求点 P 的坐标. (二)圆锥曲线的共同性质 1 1.中心在原点,一条准线方程为 x=8,离心率为2的椭圆方程为________. 2.双曲线 2x2-y2=-16 的准线方程为________. x2 y2 3.如果双曲线 4 - 2 =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离 是________. 5 10.求中心在原点,长轴在 x 轴上,一条准线方程是 x=3,离心率为 3 的椭圆方程.

4.(2012· 大纲全国卷改编)椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x=-4,则该椭圆 的方程为________. x2 y2 5.已知椭圆100+36=1 上有一点 P,它到左、右焦点距离之比为 1∶3,则点 P 到两准 线的距离分别为________. x2 y2 6.若双曲线 8 -b2=1 的一条准线与抛物线 y2=8x 的准线重合,则双曲线的离心率为 ________. 7.(2013· 吉林高二检测)已知 A(-1,0),B(1,0),点 C(x,y)满足: AC+BC=________. ?x-1?2+y2 1 =2,则 |x-4|

x2 y2 11.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右准线 l2 与一条渐近线 l 交于点 P,F 是双曲线 的右焦点. (1)求证:PF⊥l; 5 (2)若|PF|=3,且双曲线的离心率 e=4,求该双曲线方程.

8.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交椭圆 C 于 → → 点 D,且BF=2FD,则椭圆 C 的离心率为________.

二、解答题 x2 y2 9.已知椭圆25+16=1,P 为椭圆上一点,F1、F2 为左、右两个焦点,若 PF1∶PF2=2∶
3

【解析】

3 a a2 3 设△AOB 边长为 a,则 A( 2 a,2),∴ 4 =6× 2 a. 【答案】 12 3

∴a=12 3.

6.过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 1 1 的长分别为 m、n,则m+n=________. 1 1 2 1 1 【解析】 由焦点弦性质知PF+FQ=p,抛物线的标准方程为 x2=ay(a>0),∴2p=a,p 1 =2a,

答案卷
(一)抛物线的几何性质 1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是________. p 【解析】∵2=2,∴p=4,∴抛物线标准方程为 y2=8x.【答案】 y2=8x

1 1 1 1 ∴PF+FQ=4a,即m+n=4a.【答案】

4a

7.(2013· 南通高二检测)已知弦 AB 过拋物线 y2=2px(p>0)的焦点,则以 AB 为直径的圆 与拋物线的准线的位置关系是________. 【解析】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点为 M(x0,y0),

2.经过抛物线 y2=2px(p>0)的所有焦点弦中,弦长的最小值为________. 【解析】 通径长为 2p. 【答案】 2p

如图,则 AB=AF+BF=x1+x2+p. p 设 A,B,M 到准线 l:x=-2距离分别为 d1,d2,d,则有 d1=x1 p p +2,d2=x2+2, d= d1+d2 x1+x2+p AB =2, 2 = 2 【答案】 相切

3.(2013· 烟台高二检测)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线与抛物线相交于 P(x1,y1),Q(x2, y2)两点,若 x1+x2=8,则 PQ 的值为________. 【解析】 PQ=x1+x2+2=10. 【答案】 10 y2 4.(2013· 四川高考改编)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- 3 =1 的渐近线的距离是 ________. 【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0),

∴以 AB 为直径的圆与拋物线的准线相切.

8.(2012· 陕西高考)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽________米.

双曲线的渐近线方程为 3x-y=0 或 3x+y=0, 则焦点到渐近线的距离 d1= | 3×1+0| 3 3 = 2 或 d2= = 2 .【答案】 2 2 ? 3? +?-1? ? 3? +1
2 2 2

| 3×1-0|

3 2 【解析】 标为(2,-2). 设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),则 22=-2p×(-2),得 p=1.
4

设水面与拱桥的一个交点为 A,如图所示,建立平面直角坐标系,则 A 的坐

5.已知等边三角形 AOB 的顶点 A,B 在抛物线 y =6x 上,O 是坐标原点,则△AOB 的 边长为________.

设水位下降 1 米后水面与拱桥的交点坐标为(x0,-3),则 x2 0=6,解得 x0=± 6,所以水 面宽为 2 6米. 【答案】 2 6

∴y1+y2=4m,y1y2=4n. → → 由OA· OB=-4=(m2+1)y1y2-mn(y1+y2)+n2=n2+4n,解得 n=-2, ∴l:my=x-2 过定点(2,0). (二)圆锥曲线的共同性质 1 1.中心在原点,一条准线方程为 x=8,离心率为2的椭圆方程为________. 【解析】 c 1 a2 由题意,得 e=a=2, c =8,∴a=4,c=2, x2 y2 16+12=1

9.(2013· 哈师大附中高二检测)设抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴负半轴上,M 为抛物线 上任一点,若点 M 到直线 l:3x+4y-14=0 的距离的最小值为 1,求此抛物线的标准方程. 【解】 设与 l 平行的切线方程为 3x+4y+m=0,

2 ?x =-2py 由? 得 2x2-3px-pm=0. ?3x+4y+m=0

9 ∴Δ=0 即 m=- p. 8

9 |14-8p| 又 d= =1, 5

∴p=8 或 p=

152 (舍), 9

x2 y2 b2=a2-c2=12,∴椭圆方程为16+12=1.【答案】 2.双曲线 2x2-y2=-16 的准线方程为________. 【解析】

∴抛物线的标准方程为 x2=-16y. 10. 过点(0,4), 斜率为-1 的直线与拋物线 y2=2px(p>0)交于两点 A, B, 如果 OA⊥OB(O 为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标. 【解】 直线方程为 y=-x+4.

y2 x2 双曲线方程可化为:16- 8 =1,∴a2=16,b2=8,c2=24, 【答案】 4 y=± 3 6

4 ∴准线方程为 y=± 3 6.

?y=-x+4, 由? 2 消去 y 得 x2-2(p+4)x+16=0. ?y =2px, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2(p+4),x1x2=16,Δ=4(p+4)2-64>0. 所以 y1y2=(-x1+4)(-x2+4)=-8p. 由已知 OA⊥OB 得 x1x2+y1y2=0,从而 16-8p=0,解得 所以,拋物线的标准方程为 y2=4x,焦点坐标为(1,0). 11.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不同的 A、B 两点. → → (1)如果直线 l 过抛物线的焦点,求OA· OB的值; → → (2)如果OA· OB=-4,证明:直线 l 必过一定点,并求出该定点. 【解】 (1)设 l:my=x-1 与 y2=4x 联立,得 y2-4my-4=0, p=2.

x2 y2 3.如果双曲线 4 - 2 =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离 是________. 【解析】 由题可知 a=2,b= 2,c= 6,

a2 4 c 6 右准线 x= c = ,e=a= 2 . 6 设 P 到 y 轴的距离为 d,则 6 4 = , d = 4 2 3 6. d- 6 2 【答案】 4 3 6

4.(2012· 大纲全国卷改编)椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x=-4,则该椭圆 的方程为________. 【解析】 a2 由题意得,- c =-4,即 a2=4c,且椭圆的焦点在 x 轴上,又 2c=4,则 c x2 y2 8 + 4 =1

∴y1+y2=4m,y1y2=-4, → → ∴OA· OB=x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=-3. (2)证明:设 l:my=x+n 与 y2=4x 联立,得 y2-4my+4n=0,
5

x2 y2 =2,故 a2=8,b2=a2-c2=4,则椭圆的方程为 8 + 4 =1. 【答案】

x2 y2 5.已知椭圆100+36=1 上有一点 P,它到左、右焦点距离之比为 1∶3,则点 P 到两准 线的距离分别为________.

【解析】 设 P(x,y),左、右焦点分别为 F1,F2,由已知的椭圆方程可得 a=10,b=6, c 4 c=8,e=a=5,则 PF1+PF2=2a=20. 又 3PF1=PF2,∴PF1=5,PF2=15. PF1 25 PF2 75 设点 P 到两准线的距离分别为 d1,d2,可得 d1= e = 4 ,d2= e = 4 .故点 P 到两准线 25 75 的距离分别为 4 , 4 .
2 2

3c2 c2 1 1 BF=2FD,得 a=2a- a ,整理得a2=3,即 e2=3, 3 3 ∴e=- 3 (舍去)或 e= 3 .【答案】 二、解答题 x2 y2 9.已知椭圆25+16=1,P 为椭圆上一点,F1、F2 为左、右两个焦点,若 PF1∶PF2=2∶ 1,求点 P 的坐标. 【解】 ∵椭圆 设点 P 的坐标为(x,y). x2 y2 + =1,∴a=5,b=4,c=3. 25 16 3 3

【答案】

25 75 4,4

x y 6.若双曲线 8 -b2=1 的一条准线与抛物线 y2=8x 的准线重合,则双曲线的离心率为 ________. 【解析】 y2=8x 的准线为 x=-2,因此,双曲线的一条准线方程为 x=-2, 2 ?x-1?2+y2 1 =2,则 |x-4|

a2 c 4 则- c =-2,又 a2=8, ∴c=4.∴e=a= = 2.【答案】 2 2 7.(2013· 吉林高二检测)已知 A(-1,0),B(1,0),点 C(x,y)满足: AC+BC=________. 【解析】

3 25 ∴e=5,准线方程为 x=±3 . 3 25 3 由圆锥曲线的统一定义知 PF1=ed1=5(x+ 3 )=5x+5, 3 25 3 PF2=ed2=5( 3 -x)=5-5x. 3 3 ∵PF1∶PF2=2∶1,∴(5x+5)∶(5-5x)=2∶1, 25 8 解得 x= 9 ,代入椭圆的方程得 y=± 9 14. 25 8 25 8 ∴点 P 的坐标为( 9 ,9 14)或( 9 ,-9 14). 5 10.求中心在原点,长轴在 x 轴上,一条准线方程是 x=3,离心率为 3 的椭圆方程. 【解】 法一 x2 y2 设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0). ?a= 5, ? 所以? 5 c= , ? ? 3

1 ∵点 C 到 B(1,0)的距离与它到直线 x=4 的距离之比为 , 2
2

c 1 a ∴点 C 的轨迹是椭圆,且a=2, c -c=4-1, ∴a=2,c=1. ∴点 A 恰好是椭圆的另一个焦点. ∴AC+BC=2a=4.【答案】 4

8.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交椭圆 C 于点 → → D,且BF=2FD,则椭圆 C 的离心率为________. 【解析】 设椭圆 C 的焦点在 x 轴上,如图所示,B(0,b),F(c,0),D(xD, OF BF → → yD), 则 BF= b2+c2=a.作 DD1⊥y 轴于点 D1, 则由BF=2FD, 得DD =BD 1 2 3 3 3c a2 3c 3c2 =3,所以 DD1=2OF=2c,即 xD= 2 .圆锥曲线的统一定义得 FD=e( c - 2 )=a- 2a .又由
6

由题意得?

a2 ? ? c =3,

? ?a= 3 ,

c

5

20 ∴b2=a2-c2= 9 . x2 9y2 ∴所求椭圆的方程为 5 + 20 =1.

法二

设 M 为椭圆上任意一点,其坐标为(x,y).

5 由法一知准线 x=3 对应的焦点为 F(3,0). MF 5 由圆锥曲线的统一定义得 d = 3 , 5 ?x-3?2+y2 |3-x| 5 = 3 ,化简得 4x2+9y2=20.



x2 9y2 ∴所求椭圆的方程为 5 + 20 =1. x2 y2 11.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右准线 l2 与一条渐近线 l 交于点 P,F 是双曲线 的右焦点. (1)求证:PF⊥l; 5 (2)若|PF|=3,且双曲线的离心率 e=4,求该双曲线方程. a2 b a2 ab 【解】 (1)证明:右准线为 l2:x= c ,由对称性不妨设渐近线 l 为 y=ax,则 P( c , c ), 又 F(c,0), ab c -0 a ∴kPF= a2 =-b. c -c b ab 又∵kl=a,∴kPF· kl=-b· a=-1. ∴PF⊥l. (2)∵|PF|的长即 F(c,0)到 l:bx-ay=0 的距离, ∴ |bc| c 5 2 2=3,即 b=3,又 e=a=4, a +b

a2+b2 25 x2 y2 ∴ a2 =16,∴a=4.故双曲线方程为16- 9 =1.

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