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2018版高中数学人教B版选修2-1学案:2.5 直线与圆锥曲线

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学习目标 1.通过类比直线与圆的位置关系,学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关 系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长,以及直线与圆锥曲线的综合问题. 知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系 观察图形,思考下列问题: 思考 1 上面三个图象中直线 l 与椭圆、抛物线、双曲线的图象的位置关系是什么? 思考 2 直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时,是否一定相切? 梳理 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线联立,消元得方程 ax2+bx+c=0. 方程特征 a≠0,Δ>0 直线与椭圆 a≠0,Δ=0 a≠0,Δ<0 a=0 直线与双曲线 a≠0,Δ>0 a≠0,Δ=0 a≠0,Δ<0 直线与抛物线 a=0 交点个数 2 1 0 1 2 1 0 1 位置关系 相交 相切 相离 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交 相交 相切 相离 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者 相交 a≠0,Δ>0 a≠0,Δ=0 a≠0,Δ<0 2 1 0 相交 相切 相离 知识点二 弦长公式 若直线 l:y=kx+b 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=__________= __________. 类型一 直线与圆锥曲线的位置关系判定 例1 x2 y2 已知直线 l:y=2x+m,椭圆 C: + =1.试问当 m 取何值时,直线 l 与椭圆 C:(1) 4 2 有两个不重合的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点? 反思与感悟 在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,要先讨论得到的方程二次项系数为零的 情况,再考虑 Δ 的情况,而且不要忽略直线斜率不存在的情形. y2 跟踪训练 1 已知双曲线 x2- =1, 直线 l 过点 P(1, 1), 当 k 为何值时, 直线 l 与双曲线 C: 2 (1)有一个公共点;(2)有两个公共点;(3)无公共点? 类型二 中点弦及弦长问题 例 2 已知点 A(-1,0),B(1,0),直线 AM,BM 相交于点 M,且 kMA×kMB=-2. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; 3 2 (2)过定点(0,1)作直线 PQ 与曲线 C 交于 P,Q 两点,且|PQ|= ,求直线 PQ 的方程. 2 反思与感悟 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程, 利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形);对于中点弦问题可采用点差法,但 要验证得到的直线适合题意. 跟踪训练 2 中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线 x+y-1=0 相交于 A、B,C 是 AB 中点,若|AB|=2 2,OC 的斜率为 2 ,求椭圆的方程. 2 类型三 圆锥曲线中的最值及范围问题 1 例 3 如图所示,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1, )到抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线的距离 2 5 为 .点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 的中点 Q(m,n)在直线 OM 4 上. (1)求曲线 C 的方程及 t 的值; (2)记 d= |AB| ,求 d 的最大值. 1+4m2 反思与感悟 (1)求参数范围的方法 据已知条件建立等式或不等式的函数关系,再求参数范围. (2)求最值问题的方法 ①几何法 题目中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用图象来解决. ②代数法 题目中给出的条件和结论几何特征不明显则可以建立目标函数,再求这个函数的最值,求最 值的常见方法是均值不等式法,单调性法等. 跟踪训练 3 如图,过抛物线 y2=x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB、AC 交抛物 线于 B、C 两点,求证:直线 BC 的斜率是定值. x2 y2 1.若直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 总有公共点,则 m 的取值范围是( 5 m A.m>1 C.0<m<5 且 m≠1 2 ) B.m≥1 或 0<m<1 D.m≥1 且 m≠5 ) 2.抛物线 y=4x 上一点到直线 y=4x-5 的距离最短,则该点坐标为( A.(1,2) 1 ? C.? ?2,1? B.(0,0) D.(1,4) x2 y2 3.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点, 5 4 则△OAB 的面积为________. x2 y2 4.过点 A(6,1)作直线 l 与双曲线 - =1 相交于两点 B、C,且 A 为线段 BC 的中点,则 16 4 直线 l 的方程为________________. a2 c 5.已知点 P(x,y)到定点 F(c,0)的距离与它到直线 l:x= 的距离之比为常数 (c>a>0),求 c a 点 P 的轨迹. 1.解决直线与圆锥曲线的交点问题时,主要方法是构建一元二次方程,判断其解的个数.确 定斜率与直线的倾斜角时,应特别注意斜率为 0 和斜率不存在的两种情形,以及在双曲线和 抛物线中,直线和曲线有一个公共点并不一定相切. 2.与弦中点有关的问题,求解的方法有两种: (1)一般方法:利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解; (2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入曲线方程,然后作差构 造出中点坐标和斜率的关系. 3. 在探求最值时, 常结合几何图形的直观性, 充分利用平面几何结论, 借助于函数的单调性、 均值不等式等使问题获解.同时,要注意未知数的取值范围、最值存在的条件. 提醒:完成作业 第二章 2.5 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 相交,相切,相离. 思考 2 不一定, 当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时, 直线与双曲线、 抛物线只有一个公共点,但此时直线与双曲线、抛物线相交. 知识点二 1+k2|x2-x1| ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 题型探究 y=2x+m, ① ? ?2 2 例 1 解 直线 l 的方程

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