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高考数学复习点拨 抛物线的参数方程及其应用

时间:2017-03-21


抛物线的参数方程及其应用
一、抛物线的参数方程 抛 物 线 的 标 准 方 程 的 形式 有 四 种 , 故 对 应 参 数方 程 也 有 四 种 形 式 . 下面 仅 介 绍
x2 ? 2 py( p? 0)及 y 2 ? 2 px( p ? 0) 两种情形.
? x ? 2 pt, (1)对于抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) ,其参数方程为 ? 设抛物线 x2 ? 2 py 上动点 P 坐标 2 ? y ? 2 pt ,

为 (2 pt, 显然 kOP ? 2 pt 2 ) ,O 为抛物线的顶点, 动弦 OP 的斜率.

2 pt 2 ?t , 即 t 的几何意义为过抛物线顶点 O 的 2 pt

? x ? 2 pt 2, (2)同理,以圩抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,其参数方程为 ? 设抛物线 x2 ? 2 py 上动点 y ? 2 pt , ?

2 pt ) , O 为抛物线的顶点,可得 kOP ? P 坐标为 (2 pt 2,

2 pt 1 1 ? ?t ? , t 的几何意义是过 2 pt 2 t kOP

抛物线的顶点 O 的动弦 OP 的斜率的倒数. 二、应用举例 例 1 直线 y ? 2 x 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于原点和 A 点, B 为抛物线上一点, OB 和
OA 垂直,且线段 AB 长为 5 13 ,求 P 的值.

解析:设点 A,B 分别为 (2 pt A2, 2 pt A ), (2 ptB 2, 2 ptB ) ,则 t A ?
?p ? A,B 的坐标分别为 ? ,p ?, (8 p, ? 4 p) . 2 ? ?

1 1 1 ? , tB ? ? ?kOA ? ?2 . kOA 2 kOB

p? 5 ? ∴ AB ? ? 8 p ? ? ? ( p ? 4 p)2 ? 13 p ? 5 13 .∴ p ? 2 . 2? 2 ?

2

例2

已知 A,B 为抛物线 x 2 ? 4 y 上两点,且 OA ? OB ,求线段 AB 中点的轨迹方程.

1 解析:设 kOA ? t , OB ? OA ? kOB ? ? , t ? 4 4? 4t 2 ),B ? ? ,2 ? . 据 t 的几何意义,可得 A(4t, ? t t ?
? 1? 4? ? 1? ? x ? 2 ? 4t ? t ? ? 2 ? t ? t ?, ? ? ? ? ? 设线段中点 P ( x,y ) ,则 ? 1 4 1? ? ? ? ? y ? 4t 2 ? ? 2 ? t 2 ? 2 ?. ? ? 2 ? 2? t ? t ? ? ?

消去参数 t 得 P 点的轨迹方程为 x2 ? 2( y ? 4) .


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