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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程综合提升案新人教A版选修1_1

时间:

2-3-1 抛物线及其标准方程

综合提升案·核心素养达成 [限时 40 分钟;满分 80 分]

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)

1.抛物线 y=-18x2 的准线方程是

A.x=312B.x=12

C.y=2 D.y=4

解析 抛物线 y=-18x2 的方程可化为 x2=-8y,所以其准线方程为 y=2.

答案 C

2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是

A.y2=-8xB.y2=-4x

C.y2=8x

D.y2=4x

解析 由抛物线的准线方程为 x=-2 知 p=4,且开口向右,故抛物线的方程为 y2=8x.

答案 C

3.若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P 的轨迹方程为

A.x2=12y

B.y2=12x

C.x2=4y

D.x2=6y

解析 由题意知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3)的距离,故点 P 的轨迹方

程为 x2=12y.

答案 A

4.抛物线 y2=ax 的焦点与双曲线x32-y2=1 的左焦点重合,则这条抛物线的方程是

A.y2=4xB.y2=-4x

C.y2=-4 2x

D.y2=-8x

解析 ∵x32-y2=1 的左焦点为(-2,0),

∴抛物线开口向左,∴a<0,且 p=|2a|=4.∴a=-8.

∴抛物线方程为 y2=-8x.故选 D.

答案 D

5.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为

A.12

B.1

C.2

D.4

解析 ∵抛物线 y2=2px 的准线 x=-p2与圆(x-3)2+y2=16 相切,∴-p2=-1,即 p

=2.

答案 C 6.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点

距离之和取最小值时,点 P 的坐标为

A.???14,-1???B.???14,1???

C.(1,2) D.(1,-2)

解析 点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离,如图,|PF|+|PQ|=|PS| +|PQ|,故最小值在 S、P、Q 三点共线时取得,此时 P,Q 的纵坐标都是-1,点 P 坐标为 ???14,-1???.
答案 A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.若抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过双曲线 x2-y2=1 的一个焦点,则 p=________. 解析 抛物线的准线方程为 x=-p2,p>0,双曲线的焦点为 F1(- 2,0),F2( 2,0), 所以-p2=- 2,p=2 2.

答案 2 2 8.已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m)到其焦点的距离为 5,双曲线 x2-ya2=1 的 左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a=________. 解析 根据抛物线的定义得 1+p2=5,p=8.

不妨取 M(1,4),则 AM 的斜率为 2,由已知得- a×2=-1,故 a=14.

答案

1 4

9.对标准形式的抛物线,给出下列条件:

①焦点在 y 轴上;②焦点在 x 轴上;③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6;

④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 其中满足抛物线方程为 y2=10x 的是________.(要求填写适合条件的序号). 解析 抛物线 y2=10x 的焦点在 x 轴上,②满足,①不满足;设 M(1,y0)是 y2=10x 上
一点,则|MF|=1+p2=1+52=72≠6,所以③不满足;由于抛物线 y2=10x 的焦点为???52,0???,

过该焦点的直线方程为 y=k???x-52???,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则 k=-
2,此时存在,所以④满足.

答案 ②④

三、解答题(共 35 分)

10.(10 分)已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点

的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值.

解析 设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),则焦点 F???-p2,0???,

m2=6p,

??? 由题意可得

m2+???3-p2???2=5,解得???mp= =24 6或???mp==-4,2 6,

故所求的抛物线方程为 y2=-8x.∴m 的值为±2 6. 11.(10 分)设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A∈C,已知以 F 为圆心,

FA 为半径的圆交 l 于 B,D 两点.若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F

的方程.

解析 因为以 F 为圆心,FA 为半径的圆交 l 于 B,D 两点,所以△BFD 为等腰直角三角

形,故斜边|BD|=2p,

又点 A 到准线 l 的距离 d=|FA|=|FB|= 2p,

所以 S△ABD=4 2=12|BD|×d=12×2p× 2p,所以 p=2.所以圆 F 的圆心为(0,1),半径

r=|FA|=2 2,圆 F 的方程为 x2+(y-1)2=8.

12.(15 分)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A,B 是抛物线

C 上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴),且|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒经过定点

Q(6,0),求抛物线的方程. 解析 设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),

则其准线为 x=-p2.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

因为|AF|+|BF|=8,所以 x1+p2+x2+p2=8,即 x1+x2=8-p. 因为 Q(6,0)在线段 AB 的垂直平分线上, 所以|QA|=|QB|, 即 (6-x1)2+(-y1)2= (6-x2)2+(-y2)2, 又 y21=2px1,y22=2px2, 所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0, 因为 AB 与 x 轴不垂直,所以 x1≠x2. 故 x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即 p=4. 从而抛物线的方程为 y2=8x.


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