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2015年高考数学数列知识点总结

时间:2015-10-10


导航教育独家经典讲义 2015 年高考数列基础知识点和方法归纳
一.考纲要求 要求层次 内容 4 A 数列的概念 数列的概念和表示法 等差数列的概念 数列 等差数列、 等比数列 等比数列的概念 等差数列的通项公式与前 n 项和公式 等比数列的通项公式与前 n 项和公式 二.定义与性质 1. 等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数), an ? a1 ? ? n ?1? d 等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和 Sn ? B √ √ √ √ √ C

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; (2)数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ? 仍为等差数列, Sn,S2 n ? Sn,S3n ? S2 n…… 仍为等 差数列,公差为 n d ; (3)若三个成等差数列,可设为 a ? d,a,a ? d (4)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则
2
2

am S2 m?1 ? bm T2 m ?1

(5)?an ? 为等差数列 ? Sn ? an ? bn ( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二 次函数)
1

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或者求出 ?an ? 中的正、 负分界项, Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值; 即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ?

?an ? 0 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an ?1 ? 0

当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ?

?an ? 0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0
, 有

(6)项数为偶数 2 n 的等差数列 ?an ?

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S 偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . a n ?1
, 有

(7)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?

S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) , S奇 ? S偶 ? an ,
2. 等比数列的定义与性质 定义:

S奇 S偶

?

n . n ?1

an ?1 ? q ( q 为常数, q ? 0 ), an ? a1qn?1 . an
2

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G ? xy ,或 G ? ? xy

.

?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意!) ( q ? 1) ? ? 1? q
性质: ?an ? 是等比数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am · an ? a p · aq (2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q .
n

注意:由 Sn 求 an 时应注意什么?
2

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n ? 1 时, a1 ? S1 ;n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1
三.判定与证明 等差数列的判定方法 (1) 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ? (3) 数列 ?an ? 是等差数列 ? an ? kn ? b (其中 k , b 是常数)。
?

.

(2) 等差中项: 数列 ?an ? 是等差数列 ? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2 . (4) 数列 ?an ? 是等差数列 ? Sn ? An2 ? Bn ,(其中A、B是常数)。 等差数列的证明方法 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ? 等比数列的判定方法 (1)用定义:对任意的 n,都有 an?1 ? qan或 数列 (2) 等比中项: an2 ? an?1an?1 ( an ?1an ?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3) 通项公式: an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列 (4) 前 n 项和公式:Sn ? A ? A ? Bn或Sn ? A ' Bn ? A ' A, B, A ', B '为常数 ? {an } 为 等比数列 等比数列的证明方法 依据定义:若
?

?an ? 是等差数列.

?an ? 是等差数列.

an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } 为等比 an

?

?

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1

四、数列的通项求法: (1)观察法:如:(1)0.2,0.22,0.222,……(2)21,203,2005,20007,…… (2)化归法:通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。 ①递推式为 an?1 ? an ? d 及 an?1 ? qan ( d , q 为常数):直接运用等差(比)数列。 ②递推式为 an?1 ? an ? f (n) :迭加法 如:已知 {an } 中 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? ,求 an 2 2 4n ? 1
3

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③递推式为 an?1 ? f (n)an :迭乘法 如:已知 {an } 中 a1 ? 2 , a n ?1 ?

n ?1 a n ,求 an n

④递推式为 an?1 ? pan ? q ( p, q 为常数): 构造法:Ⅰ、由 ?

? a n ?1 ? pan ? q 相减得 (an?2 ? an?1 ) ? p(an?1 ? an ) ,则 a ? pa ? q n ?1 ? n?2

{an?1 ? an } 为等比数列。
Ⅱ 、 设 (an?1 ? t ) ? p(an ? t ) , 得 到 pt ? t ? q , t ?

q ,则 p ?1

{a n ?

q } 为等比数列。 p ?1

如:已知 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 5 ,求 an ⑤递推式为 an?1 ? pan ? q n ( p, q 为常数): 两边同时除去 q
n?1



an?1 p an 1 a p 1 令 bn ? n , 转化为 bn ?1 ? bn ? , ? ? n ? , n ?1 n q q q q q q q

再用④法解决。 如:已知 {an } 中, a1 ?

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 6 3 2

⑥递推式为 an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 为常数): 将 an?2 ? pan?1 ? qan 变形为 an?2 ? tan?1 ? s(an?1 ? tan ) , 可得出 ? 出 s , t ,于是 {an?1 ? tan } 是公比为 s 的等比数列。 如:已知 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 , a n ? 2 ? (3)公式法:运用 a n ? ?

?s ? t ? p 解 ? st ? ?q

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 3 3

?

S1 , n ? 1
4

?S n ? S n?1 , n ? 2

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①已知 S n ? 3n 2 ? 5n ? 1 ,求 an ;②已知 {an } 中, S n ? 3 ? 2an ,求 an ; ③已知 {an } 中, a1 ? 1, an ?

2S n (n ? 2) ,求 an 2S n ? 1

2

五、数列的求和法: (1)公式法: ①等差(比)数列前 n 项和公式:② 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ③

; ; ④

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ? n(n ? 1) 2 ] 2

n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? [

(2)倒序相加(乘)法:
0 1 2 n 如:①求和: S n ? Cn ; ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? (n ? 1)Cn

②已知 a , b 为不相等的两个正数, 若在 a , b 之间插入 n 个正数, 使它们构成以 a 为 首项, b 为末项的等比数列,求插入的这 n 个正数的积 Pn ; (3)错位相减法:如:求和: S ? x ? 2 x ? 3x ? ? ? nx
2 3 n

an ? (4) 裂项相消法:

1 ? n( n ? k )

an ? ;

1 n?k ? n

?



如:① S ?

1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1) 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ? (n ? 2) 1 n ? n ?1
,则 S n ? ;



②S ?



③若 a n ?

(5)并项法:如:求 S100 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 99 ? 100 (6)拆项组合法:如:在数列 {an } 中, an ? 10n ? 2n ? 1 ,求 S n , 六、数列问题的解题的策略:
5

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(1) 分类讨论问题: ①在等比数列中, 用前 n 项和公式时, 要对公比 q 进行讨论; 只有 q ? 1 时才能用前 n 项和公式, q ? 1 时 S1 ? na1 ②已知 S n 求 an 时,要对 n ? 1, n ? 2 进行讨论;最后看 a1 满足不满足 an (n ? 2) ,若满足

an 中的 n 扩展到 N * ,不满足分段写成 an 。
(2)设项的技巧: ①对于连续偶数项的等差数列,可设为 ?, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,? ,公差为

2d ;
对于连续奇数项的等差数列,可设为 ?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ,? ,公差 为d ; ②对于连续偶数项的等比数列,可设为 ?,

a a , , aq, aq3 ,? ,公比为 q 2 ; 3 q q a a , , a, aq, aq2 ,? 公比为 q ; q2 q

对于连续奇数项的等比数列,可设为 ?, 高考题 一、选择题

1.(广东卷)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.

2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

2(安徽卷)已知 A. -1

为等差数列, B. 1 C. 3 D.7

,则

等于

3. (江西卷)公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . 若 a4 是 a3与a7 的等比中项 ,

S8 ? 32 ,则 S10 等于
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 4(湖南卷)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于 A.13 B.35
6

C.49

D. 63

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5.(辽宁卷)已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-

1 2

(C)

1 2

(D)2

6.(四川卷)等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则 数列的前 10 项之和是 A. 90

B. 100

C. 145

D. 190

2 7.(宁夏海南卷)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,S2m?1 ? 38 ,

则 m? (A)38 (B)20 (C)10 (D)9 .

8.(重庆卷)设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的 前 n 项和 Sn =

A.

n 2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

9.(四川卷)等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则 数列的前 10 项之和是 A. 90 二、填空题 1(浙江)设等比数列 {an } 的公比 q ?

B. 100

C. 145

D. 190 .

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



2.(山东卷)在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ __ . 3.(宁夏海南卷)等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an?2 ? an?1 ? 6an ,则{ an }的 前 4 项和 S4 = 三、解答题 1、(2014 年山东卷)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和
7

.

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为 Sn (Ⅰ)求 an 及 S n ;(Ⅱ)令 bn ?

2 an

1 * ( n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 。 ?1

2、(2014 陕西卷)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. 3、(2014 重庆卷) 已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公 式及其前 n 项和 Tn .

4、(2013 北京卷) 已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式;(Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 , 求 | bn | 的前 n 项和公式 5、(2013 年全国卷)设等差数列{ an }的前 n 项和为 s n ,公比是正数的等比数列{ b n }的 前 n 项和为 Tn ,已知 a1 ? 1, b1 ? 3, a3 ? b3 ? 17, T3 ? S3 ? 12, 求{an },{bn } 的通项公式。

6、(2011 年全国卷) 设数列 ?an ? 的前 N 项和为 Sn ,已知 a2 ? 6, 6a1 ? a2 ? 30, 求 an 和 Sn

7、(2011 重庆卷)设 (Ⅰ)求 列

是公比为正数的等比数列,

,

.

的通项公式;www.ylhxjxm(Ⅱ)设 的前 项和
8

是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数

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参考答案: 一、选择题 1.【答案】B【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q
2 8

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数

列 {an } 的公比为正数,所以 q ?

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2

2.【解析】∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同理可得 a4 ? 33 ∴公差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。【答案】B
2 3. 答案: C 【解析】由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 , 再由

56 d ? 32 得 2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 , 所 以 2 90 S1 0? 10a ? d ? 60 ,.故选 C 1 2 7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 4.解: S7 ? 2 2 2 S8 ? 8a1 ?
或由 ?

?a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ?? 1 a ? a ? 5 d ? 11 d ? 2 ? 1 ? 6
7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) ? ? 49. 故选 C. 2 2
d=-

所以 S7 ?

5.【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ?

1 【答案】B 2

6.【答案】B 设公差为 d ,则 (1 ? d ) 2 ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100
2 7. 【答案】 C 【解析】 因为 ?an ? 是等差数列, 所以, 由 am?1 ? am?1 ? am am?1 ? am?1 ? 2am , ? 0,

得:2 a m - a m =0,所以,a m =2,又 S2m?1 ? 38 ,即 -1)×2=38,解得 m=10,故选.C。

2

(2m ? 1)(a1 ? a 2 m?1 ) =38,即(2m 2

8.【答案】A 解析设数列 {an } 的公差为 d ,则根据题意得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ? 5d ) ,解得

d?

1 n(n ? 1) 1 n 2 7n ? ? ? 或 d ? 0 (舍去),所以数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 2 2 2 4 4
2

9.【答案】B 设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100
9

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二、填空题 1.【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识点 的考查充分体现了通项公式和前 n 项和的知识联系. 【解析】对于 s4 ?

a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 . 1? q a4 q (1 ? q)

2.【解析】:设等差数列 {an } 的公差为 d ,则由已知得 ? 所以 a6 ? a1 ? 5d ? 13 .

a1 ? 2d ? 7 ? ?a1 ? 3 解得 ? , ?d ? 2 ?a1 ? 4d ? a1 ? d ? 6

答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.

q ? 0, 3. 【答案】 【解析】 由 an?2 ? an?1 ? 6an 得: 即 q2 ? q ? 6 ? 0 , q n?1 ? q n ? 6q n?1 ,

15 2

1 (1 ? 2 4 ) 1 15 解得:q=2,又 a2 =1,所以, a1 ? , S 4 ? 2 = 。 2 2 1? 2
三、解答题 1、解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d , 由于 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以 a1 ? 2d ? 7 , 2a1 ? 10d ? 26 , 解得 a1 ? 3 , d ? 2 ,由于 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ? 所以 an ? 2n ? 1, Sn ? n(n ? 2) (Ⅱ)因为 an ? 2n ? 1,所以 an ? 1 ? 4n(n ? 1) 因此 bn ? 故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
2

n(a1 ? an ) , 2

1 1 1 1 ? ( ? ) 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 4 2 2 3 n n ?1
所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ?

?

1 1 n (1 ? )? 4 n ?1 4(n ? 1)

n 4(n ? 1)

2、解 (Ⅰ)由题设知公 差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去),

1 ? 2 d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d
10

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
am

=2n,由等比数列前 n 项和公式得

Sm=2+22+23+… +2n= 3、

2(1 ? 2 n ) n+1 =2 -2.、 1? 2

4、解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 所以 ?8q ? ?24 即 q =3 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?

?a1 ? 2d ? ?6 ?a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

5、解设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q 由 a3 ? b3 ? 17 得 1 ? 2d ? 3q ? 17 ①
2

由 T3 ? S3 ? 12 得 q ? q ? d ? 4
2



由①②及 q ? 0 解得 故所求的通项公式为

q ? 2, d ? 2

an ? 2n ?1, bn ? 3? 2n?1
11

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12

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3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法 如:数列 ?an ? , 解 n ? 1 时,

1 1 1 a1 ? 2 a2 ? …… ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2
① ②

1 a1 ? 2 ? 1 ? 5 ,∴ a1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a1 ? 2 a2 ? …… ? n ?1 an ?1 ? 2n ? 1 ? 5 2 2 2

①—②得:

?14 (n ? 1) 1 n ?1 a ? 2 ,∴ ,∴ a ? 2 a ? ? n?1 n n n 2n ?2 (n ? 2)
5 an ?1,a1 ? 4 ,求 an 3

[练习]数列 ?an ? 满足 S n ? S n ?1 ?

注意到 an?1 ? Sn?1 ? Sn ,代入得

Sn ?1 ? 4 又 S1 ? 4 ,∴ ?Sn ? 是等比数列, Sn ? 4n Sn ;

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? …… ? 3 · 4n?1
(2)叠乘法 如:数列 ?an ? 中, a1 ? 3,n ?1 ?

a an

n ,求 an n ?1



3 a a 1 a2 a3 1 2 n ?1 ,∴ n ? 又 a1 ? 3 ,∴ an ? · …… n ? · …… n. a1 n a1 a2 an?1 2 3 n

(3)等差型递推公式 由 an ? an?1 ? f (n),a1 ? a0 ,求 an ,用迭加法

13

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? a3 ? a2 ? f (3) ? ? n ? 2 时, ? 两边相加得 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) …… …… ? an ? an ?1 ? f (n) ? ?
∴ an ? a0 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) [练习]数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,an ? 3 (4)等比型递推公式

a2 ? a1 ? f (2)

n?1

? an?1 ? n ? 2? ,求 an (

an ?

1 n ? 3 ? 1? 2 )

an ? can?1 ? d ( c、 d 为常数, c ? 0,c ? 1,d ? 0 )
可转化为等比数列,设 an ? x ? c ? an?1 ? x ? ? an ? can?1 ? ? c ?1? x 令 (c ? 1) x ? d ,∴ x ?

d d d ? ? ,c 为公比的等比数列 ,∴ ?an ? ? 是首项为 a1 ? c ?1 c ?1 c ? 1? ?

∴ an ?

d d ? n ?1 d ? n ?1 d ? ? ? ? a1 ? · c ,∴ an ? ? a1 ? ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?

(5)倒数法

,an ?1 ? 如: a1 ? 1

2an ,求 an an ? 2

由已知得:

a ?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ,∴ ? ? an?1 2an 2 an an ?1 an 2

∴?

?1? 1 1 1 1 1 · ? ? n ? 1? , ? 为等差数列, ? 1 ,公差为 ,∴ ? 1 ? ? n ? 1? 2 a1 an 2 2 ? an ?
2 n ?1

∴ an ? ( 附:

14

an ? 公式法、利用
换元法 )

?

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S1 ( n? 1 )

Sn ? Sn?1 ( n ? 2 ) 、 累 加 法 、 累 乘 法 . 构 造 等 差 或 等 比

an?1 ? pan ? q 或 an?1 ? pan ? f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、

4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如: ?an ? 是公差为 d 的等差数列,求

?a a
k ?1 k

n

1
k ?1

解:由

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? d ? 0? ak· ak ?1 ak ? ak ? d ? d ? ak ak ?1 ?



n ?1 1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ?? ? ? ak ?1 ? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? k ?1 ak ak ?1 k ?1 d ? ak ? an an ?1 ? ? n

?

1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an?1 ?

[练习]求和: 1 ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n 1 an ? …… ? ……,Sn ? 2 ? n ?1

(2)错位相减法 若 ?an ? 为等差数列, ?bn ? 为等比数列,求数列 ?anbn ? (差比数列)前 n 项和,可由

Sn ? qSn ,求 Sn ,其中 q 为 ?bn ? 的公比.
如: Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ……? nxn?1 ① ②

x · Sn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? 4x4 ? ……? ? n ?1? xn?1 ? nxn
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①—② ?1 ? x ? Sn ? 1 ? x ? x2 ? ……? xn?1 ? nxn

x ? 1 时, S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x ?

2

1? x

, x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

n ? n ? 1? 2

(3)倒序相加法 把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.

Sn ? a1 ? a2 ? …… ? an ?1 ? an ? ? 相加 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? …? ? a1 ? an ?… Sn ? an ? an ?1 ? …… ? a2 ? a1 ?
[练习]已知 f ( x) ?

x2 ,则 1 ? x2

?1? f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? ?2?

?1? f ? ? ? f (4) ? ? 3?
2

?1? f ? ?? ?4?

?1? ? ? 2 2 x ?1? ? x ? ? x ? 1 ?1 由 f ( x) ? f ? ? ? ? 2 2 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? 1? x 1? x 1? ? ? ? x?
∴原式 ? f (1) ? ? f (2) ? f ? ?? ? ? f (3) ? f ? ?? ? ? f (4) ? f ? ?? ?

? ?

? 1 ?? ? ? 2 ?? ?

? 1 ?? ? ? 3 ?? ?

? 1 ?? ? 4 ??

1 1 ?1?1?1 ? 3 2 2

(附: a.用倒序相加法求数列的前 n 项和 如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与 倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。我们在 学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类 知识的工具,例如:等差数列前 n 项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列、等比数列,求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行 求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列 之后,再计算。 c.用裂项相消法求数列的前 n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而
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导航教育独家经典讲义
求出数列的前 n 项和。 d.用错位相减法求数列的前 n 项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即 若在数列{an· bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与 原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。 e.用迭加法求数列的前 n 项和 迭加法主要应用于数列{an}满足 an+1=an+f(n),其中 f(n)是等差数列或等比数列的条件 下,可把这个式子变成 an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起, 经过整理,可求出 an ,从而求出 Sn。 f.用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列 适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 g.用构造法求数列的前 n 项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造出 我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前 n 项和。 )

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