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2016年高考试数学分类汇编-概率

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概率

2016 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(1)
(4)某公司的班车在 7 : 30 ,8 : 00 ,8 : 30 发车,小明在 7 : 50 至 8 : 30 之间到达发车站乘 坐班车,且到达发车丫的时候是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要 甲材料 1.5kg, 乙材料 1kg, 用 5 个工时; 生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg, 乙材料 0.3kg, 用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业 现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元. (19) (本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进 机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再 购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
频数
40

20

0

8

9

10

11

更换的易损零件数

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率, 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损 零件数. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (Ⅲ) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据, 在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一, 应选用哪个?

2016 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(2)
x n ,y1 ,y2 , …, …,yn , (10) 从区间 ? 0 , 1? 随机抽取 2n 个数 x1 , x 2 , 构成 n 个数对 ? x1 , y1 ? ,

? x2 , y2 ? ,…, ? xn , yn ? ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法
得到的圆周率 ? 的近似值为 (A) 【解析】C
4n 2n 4m 2m (B) (C) (D) n n m m

2, ??? , n ? 在如图所示方格中,而平方和小于 1 的点均在 由题意得:? xi ,yi ? ?i ? 1,
如图所示的阴影中

π 4m 由几何概型概率计算公式知 4 ? m ,∴ π ? ,故选 C. n 1 n

(18) (本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本 年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 保费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a
≥5

2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数 概率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10
≥5

0.05

(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (Ⅱ) 若一续保人本年度的保费高于基本保费, 求其保费比基本保费高出 60% 的概率; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A ,
P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? (0.30 ? 0.15) ? 0.55 .

⑵设续保人保费比基本保费高出 60% 为事件 B ,
P ( B A) ? P ( AB ) 0.10 ? 0.05 3 ? ? . P ( A) 0.55 11

⑶解:设本年度所交保费为随机变量 X .

X
P
平均保费

0.85 a 0.30

a
0.15

1.25a 0.20

1.5a 0.20

1.75a 0.10

2a 0.05

EX ? 0.85 ? 0.30 ? 0.15a ? 1.25a ? 0.20 ? 1.5a ? 0.20 ? 1.75a ? 0.10 ? 2a ? 0.05 ? 0.255a ? 0.15a ? 0.25a ? 0.3a ? 0.175a ? 0.1a ? 1.23a ,

∴平均保费与基本保费比值为 1.23 .

2016 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(3)
(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C,B 点表示四月的平均最低气 温约为 50C。下面叙述不正确的是

(A) (B) (C) (D)

各月的平均最低气温都在 00C 以上 七月的平均温差比一月的平均温差大 三月和十一月的平均最高气温基本相同 平均气温高于 200C 的月份有 5 个

(18) (本小题满分 12 分) 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图

(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明 (II)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量。 参考数据:

?y
i ?1

7

i

? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 ,≈2.646.

参考公式: r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n


2

i

? y)

回归方程 y ? a ? bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

?

?

?

? b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? ? a=y ? bt . ,

? t )2

2016 年高考新课标Ⅰ卷文数试题
(3)为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

1 1 5 1 (A) 3 (B) 2 (C) 3 (D) 6
【答案】A 【解析】

试题分析:将 4 中颜色的花种任选两种种在一个花坛中,余下 2 种种在另一个花坛,有 6

1 种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的种数有 2 种,故概率为 3 ,选 A..
(19) (本小题满分 12 分) 某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器 时, 可以额外购买这种零件作为备件, 每个 200 元.在机器使用期间, 如果备件不足再购买, 则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台 这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上 所需的费用(单位:元) , n 表示购机的同时购买的易损零件数. (I)若 n =19,求 y 与 x 的函数解析式; (II)若要求“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值; (III)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易 损零件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据, 购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件? 【答案】 (1) y ? ? 【解析】 试题分析:

? 3800,0 ? x ? 19 ;(2)19;(3) 购买 20 个更合理. ?500 x ? 5700, x ? 19

2016 年高考新课标Ⅱ卷文数试题参考解析

8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来 到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为

(A)

7 10

(B) (C) (D)

5 8

3 8

3 10

【答案】B 【解析】至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为

40 ? 15 5 ? ,故选 B. 40 8

18. (本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度 的保费与其上年度出险次数的关联如下:

随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

(I)记 A 为事件: “一续保人本年度的保费不高于基本保费” 。求 P(A)的估计值; (II)记 B 为事件: “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” .求 P(B) 的估计值; (III)求续保人本年度的平均保费估计值. 【试题分析】 (I)由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费的频数,进而可得 ? ? ?? 的估计值; (II)由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160% 的频数,进而可得 ? ? ? ? 的估计值; (III)计算出险次数的频率,进而可得续保人本年度的 平均保费估计值.

2016 年高考新课标Ⅲ卷文数试题

(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最 低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃,B 点表示四月的平均最低气

温约为 5℃.下面叙述不正确的是

(A)各月的平均最低气温都在 0℃以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个 【答案】D 【解析】 试题分析: 从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出: 深色的图案是一年十二个月中 各月份的平均最低气温, 稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温, 故结合所提供的四个选项,可以确定 D 是不正确的,因为从图中可以看出:平均最高气温
0 高于 20 C 只有 7、8 两个月份,故应选答案 D 。

(18) (本小题满分 12 分) 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.

注:年份代码 1–7 分别对应年份 2008–2014. (Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (Ⅱ)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害化处

理量. 附注: 参考数据:

? yi ? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1 i ?1

7

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 , 7≈2.646.

参考公式: r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n


2

i

? y)

回归方程 y ? a ? bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

?

?

?

? b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? ? a =y ? bt . ,

? t )2

【答案】 (1)可用线性回归模型拟合变量 y 与 t 的关系.(2)我们可以预测 2016 年我国生 活垃圾无害化处理 1.83 亿吨. 【解析】 试题分析: (1)变量 y 与 t 的相关系数

r?

? (ti ? t )( yi ? y )
i ?1

7

? (t ? t ) ? ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i
7 7 i ?1 i ?1

7

7

?
2

7? ti yi ? ? ti ? ? yi
i ?1 i ?1 i ?1

7

7

7

7?
7

? (t ? t )
i ?1 i

7

2

?
7

?(y ? y)
i ?1 i

7


2

又 ? ti ? 28 , ? yi ? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1

? (t ? t )
i ?1 i

2

? 2 7 ? 5.292 ,

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 ,

所以 r ?

7 ? 40.17 ? 28 ? 9.32 ? 0.99 , 7 ? 5.292 ? 0.55

故可用线性回归模型拟合变量 y 与 t 的关系. (2) t ? 4 , y ?

1 7 ? yi ,所以 7 i ?1

?? b

? t y ? 7t ? y
i ?1 i i

7

?t
i ?1

7

2 i

? 7t 2

1 40.17 ? 7 ? 4 ? ? 9.32 7 ? ? 0.10 , 28

? ? 1 ? 9.32 ? 0.10 ? 4 ? 0.93 , ? ? y ? bx a 7

2016 年江苏数学高考试题
已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.
0.1 ;

i.

x ? 5.1 , s 2 ?

1 ? 0.42 ? 0.32 ? 02 ? 0.32 ? 0.42 ? ? 0.1. 5

将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1, 2,3, 4,5, 6 个点为正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和小于 10 的概率是.
5 ; 6

ii.

将先后两次点数记为 ? x, y ? ,则共有 6 ? 6 ? 36 个等可能基本事件,其中点数之和 大于等于 10 有 ? 4,6? , ?5,5? , ?5,6? , ? 6,4? , ? 6,5? , ? 6,6 ? 六种,则点数之和小于 10 共有 30 种,概率为
30 5 ? . 36 6

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (2) (山东卷)理科数学
(3) (3) 某高校调查了 200 名学生每周的自习 时间(单位:小时) ,制成了如图所示的频 率分布直方图,其中自习时间的范围是 [17.5,30] , 样 本 数 据 分 组 为 [17.5, 20),[20, 22.5),[22.5, 25),[25, 27.5),[27.5,30] .根据直方图,这 200 名学生中每周的自 习时间不少于 22.5 小时的人数是

(4) (A)56 (5) (C)120

(B)60 (D)140

2 2 (6) (14) 在 [- 1,1] 上随机地取一个数 k, 则事件 “直线 y=kx 与圆 ( x - 5) + y = 9 相交”

发生的概率为 . (7) (19) (本小题满分 12 分) (8) 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一 轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一个人猜对,则“星队” 得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是

3 ,乙 4

每轮猜对的概率是

2 ; 每轮活动中甲、 乙猜对与否互不影响。 各轮结果亦互不影响。 3

假设“星队”参加两轮活动,求: (9) (I) “星队”至少猜对 3 个成语的概率; (10) (11) (II) “星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (12) (山东卷)数学(文科)

(13) (3)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时) ,制成了如图所示的 频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20), [20,22.5), [22.5,25),[25,27.5),[27.5,30).根据直方图,这 200 名学生中 每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 (14) (A)56 (B)60 (C)120 (D)140

(15) (16) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 (17) (16) (本小题满分 12 分) (18) 某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所 示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次

记录的数分别为 x,y.奖励规则如下: (19) ①若 xy ? 3 ,则奖励玩具一个; (20) ②若 xy ? 8 ,则奖励水杯一个; (21) ③其余情况奖励饮料一瓶. (22) 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (23) (I)求小亮获得玩具的概率; (24) (II)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

(25) (26)

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷) 数学 (理工类)
1. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则 在2次试验中成功次数X的均值是__________. 3 【答案】 2 【解析】由题可知, 1 1 3 在一次试验中,试验成功(即至少有一枚硬币正面向上) 的概率为 P ? 1 ? ? ? 2 2 4 3 3 ? 3? ∵2次独立试验成功次数 X 满足二项分布 X ~ B ? 2, ? ,则 E ? X ? ? 2 ? ? 4 4 2 ? ? 2. (本小题满分12分) 我国是世界上严重缺水的国家, 某市政府为了鼓励居民节约用水, 计划调整居民生活用 水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准 x(吨),一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费. 为了了解居民用水情况,通过抽样,获 …, 得了某年100位居民每人的月均用水量 (单位: 吨) , 将数据按照 [0, 0.5) ,[0.5, 1) , [4, 4.5) 分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (I)求直方图中a的值; (II) 设该市有30万居民, 估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数, 并说明理由;

(III)若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并 说明理由.
频率 组距 0.52 0.40 a 0.16 0.12 0.08 0.04 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量(吨)

【解析】(I)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1 ∵频率=(频率/组距)*组距 ∴ 0.5 ? ? 0.08 ? 0.16 ? 0.4 ? 0.52 ? 0.12 ? 0.08 ? 0.04 ? 2a ? ? 1 得 a ? 0.3 (II)由图,不低于3吨人数所占百分比为 0.5 ? ? 0.12 ? 0.08 ? 0.04? =12% ∴全市月均用水量不低于3吨的人数为: 30 ? 12%=3.6 (万) (III)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为: 0.5 ? ? 0.08 ? 0.16 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.52 ? ? 0.73 即 73% 的居民月均用水量小于2.5吨, 同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故 2.5 ? x ? 3 ?85% ? 73% ? ? 0.5 ? 2.9 (吨). 假设月均用水量平均分布,则 x ? 2.5 ? 0.5 ? 0.3 注:本次估计默认组间是平均分布,与实际可能会产生一定误差。

2016 年高考四川文科数学
11、从 2、3、8、9 任取两个不同的数值,分别记为 a、b,则 loga b 为整数的概率= 。 12、16、 (12 分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居 民用水情况进行了调查, 通过抽样, 获得了某年 100 位居民每人的月均用水量 (单位: 吨) , 将数据按照[0,0.5) ,[0.5,1) , ??[4,4.5]分成 9 组, 制成了如图所示的频率分布直方图。

13、 14、(I)求直方图中的 a 值; 15、(II)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数.说明 理由; 16、(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数。

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷)数学(理工类)

(16) (本小题满分 13 分) 某小组共 10 人, 利用假期参加义工活动, 已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4,. 现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会. (I)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4” ,求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列和数学 期望.

2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(文史类)
1 1 ,甲获胜的概率是 ,则甲不输的概率为 2 3
(D)

(2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是

(A)

5 6

(B)

2 5

(C)

1 6

1 3

(16)(本小题满分 13 分)

某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示:

现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲乙两种肥料. 已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为 3 万元.分别用 x,y 不是生产甲、乙两种肥料的车皮数. (Ⅰ)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.

2016 年上海高考数学(理科)真题

4. 某次体检, 6 位同学的身高(单位:米)分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77 ,则这组数据 的中位数是___ (米) 【答案】 1.76

14. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, O 为正八边形 A1 A2 ? A8 的中心, A1 (1,0) ,任取不同 ??? ? ???? ???? ? ? 的 两 点 Ai , Aj , 点 P 满 足 OP ? OAi ? OAj ? 0 , 则 点 P 落 在 第 一 象 限 的 概 率 是 _______________ 5 【答案】 28 5 5 【解析】 C 2 ? 28 8

15. 设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“ a 2 ? 1 ”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 也非必要条件

C. 充要条件

D. 既非充分

【答案】A

2016 年普通高等学校招生全国考试 数学(文) (北京卷)

(6)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人,则甲被选中的概率为 (A)

1 2 8 9 (B) (C) (D) 5 5 25 25

(8)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 学生序号 立定跳远 (单位: 米) 6 30 秒跳绳 (单位: 次) 63 2 2 75 0 60 8 63 6 72 4 70 2 8 0 65 1 1.9 2 1.9 3 1.8 4 1.8 5 1.7 6 1.7 7 1.7 8 1.7 9 1.6 10 1.6

a

a? 1

b

在这 10 名学生中,进入立定跳远决赛的有 8 人,同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳 决赛的有 6 人,则 (A)2 号学生进入 30 秒跳绳决赛(B)5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 (C)8 号学生进入 30 秒跳绳决赛(D)9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 (14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出 19 种商品,第二天售出 13 种商品, 第三天售出 18 种商品; 前两天都售出的商品有 3 种, 后两天都售出的商品有 4 种, 则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种; ②这三天售出的商品最少有_______种.

(17) (本小题 13 分) 某市民用水拟实行阶梯水价, 每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费, 超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费, 从该市随机调查了 10000 位居民, 获得了他们某

月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:

(I)如果 w 为整数,那么根据此次调查,为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方 米,w 至少定为多少? (II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当 w=3 时,估计该市居民该月的 人均水费.


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2016年高考数学理真题分类汇编:统计与概率

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2016年高考数学理试题分类汇编---统计与概率-

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2017年全国高考理科数学试题分类汇编11:概率与统计

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2016年高考试数学分类汇编-算法与逻辑语言

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2016年高考数学文真题分类汇编:统计与概率 Word版含答案

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2016年高考真题理科数学分类汇编10统计与概率

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