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苏教版高中数学必修1第1章 集合集合的含义及其表示教案

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苏教版高中数学必修 1 第 1 章 集合集合的含义及其表示
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)初步理解集合的含义,知道常用数集及其记法. (2)初步了解“属于”关系的意义.理解集合相等的含义. (3)初步了解有限集、无限集的意义,并能恰当地应用列举法或描述法表示集合. 2.过程与方法 (1)通过实例,初步体会元素与集合的“属于”关系,从观察分析集合的元素入手, 正确地理解集合. (2)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集 合语言在描述客观现实和数学对象中的意义. (3)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性) . (4)通过实例体会有限集与无限集,理解列举法和描述法的含义,学会用恰当的形 式表示给定集合掌握集合表示的方法. 3.情感、态度与价值观 (1)了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系. (2)在学习运用集合语言的过程中,增强学生认识事物的能力.初步培养学生实事 求是、扎实严谨的科学态度. (二)教学重点、难点 重点是集合的概念及集合的表示. 难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质 描述法正确地表示一些简单集合. (三)教学方法 尝试指导与合作交流相结合.通过提出问题、观察实例,引导学生理解集合的概念, 分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求,并能依照要求举出符合条件的例子,加 深对概念的理解、性质的掌握.通过命题表示集合,培养运用数学符合的意识. 教学环节 提出 问题 教学内容 一个百货商店,第一批进货是帽子、皮 师生互动 设计意图

学生回答(不能,应为7种), 设疑激趣,

鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种,第二 然后教师和学生共同分析原因: 由 批进货是收音机、 皮鞋、 尼龙袜、 茶杯、 于两次进货共同的品种有两种, 故 导入课

闹钟共计5个品种,问一共进了多少品 应为4 +5 – 2 = 7种.从而指出: 种的货?能否回答一共进了4 + 5 = 9种 呢? ??这好像涉及了另一种新的 运算.?? 引导学生回顾, 初中代数中不 等式的解法一节中提到的有关知 识:

题.

通过复 一般地, 一个含有未知数的不 复习 引入 ①初中代数中涉及“集合”的提法. 等式的所有解, 组成这个不等式的 ②初中几何中涉及“集合”的提法. 解的集合, 简称为这个不等式的解 概念. 集. 几何中, 圆的概念是用集合描 述的. 第一组实例(幻灯片一): (1)“小于l0”的自然数0,1,2, 3,??,9. (2)满足3x – 2 >x + 3的全体实 数. (3)所有直角三角形. 通过实例, 引导学生 经历并体 教师提问:①以上各例(构成 会集合 (描 集合)有什么特点?请大家讨论. 学生讨论交流, 得出集合概念 述性) 概念 出集合的 习回顾, 引

(4)到两定点距离的和等于两定 的要点,然后教师肯定或补充. 点间的距离的点. 概念 形成 (5)高一(1)班全体同学. 体描述???学生思考后回答,然 程, 引导学 (6)参与中国加入WTO谈判的中 后教师总结. 方成员. 1.集合: 一般地, 把一些能够确定的不同的 ③上述六个例子中集合的元 生 进 一 步 素各是什么? 明确集合 ②我们能否给出集合一个大 形成的过

④请同学们自己举一些集合 及 集 合 元 素的概念, 会用自然 语言描述 集合.

对象看成一个整体, 就说这个整体是由 的例子. 这些对象的全体构成的集合(或集). 2.集合的元素(或成员): 即构成集合的每个对象 (或成员) ,

第二组实例(幻灯片二): (1)参加亚特兰大奥运会的所有 中国代表团的成员构成的集合. 教师要求学生看第二组实例, 并提问: ①你能指出各个集合的元

概念 深化

引入集合 之间是什么关系?③例 (2) 中数0, 语言描述 (3)平行四边形的全体构成的集 –2是这个集合的元素吗? 集合. 合. 学生讨论交流, 弄清元素与集 集合. ( 4 )平面上与一定点 O的距离等 合之间是从属关系,即“属于”或 于r的点的全体构成的集合. 3.元素与集合的关系: “不属于”关系.

(2)方程x2 = 1的解的全体构成的 素吗?②各个集合的元素与集合

教学环节

教学内容 集合通常用英语大写字母A、 B、 C? 表示,它们的元素通常用英语小写字母

师生互动

设计意图

教师提问:“我们班中高个 a、b、c?表示. 子的同学”、“年轻人”、“接 如果a是集合A的元素, 就说a属于A, 近数 0 的数”能否分别组成一个 集合,为什么? 记作a∈A,读作“a属于A”. 如果a不是集合A的元素, 就说a不属 于 给定一个集合,任何一个对 A,记作a ? A,读作“a不属于A”. 4.集合的元素的基本性质; (1)确定性:集合的元素必须是确 定的.不能确定的对象不能构成集合. 个集合时只能算作集合的一个 (2)互异性:集合的元素一定是互 念 深化 异的.相同的几个对象归于同一个集合 时只能算作一个元素. 教师要求学生观察第三组 现集合的 实例,并提问:它们各有元素多 第三组实例(幻灯片三): (1)由x2,3x + 1,2x2 – x + 5三个 式子构成的集合. 问题. (2)平面上与一个定点O的距离等 于1的点的全体构成的集合. (3) 方程x2 = – 1的全体实数解构成 的集合. 哪些是有限集?哪些是无限 在的客观 集??? 5.空集:不含任何元素的集合,记 作?. 6.集合的分类:按所含元素的个数 分为有限集和无限集. 意义. 请同学们熟记上述符号及 其意义. 而使学生 然后,依据元素个数的多少 感受到有 将集合分类. 限集、 无限 让学生指出第三组实例中, 集、 空集存 少个? 学生通过观察思考并回答 的类别, 从 元素个数 具有不同 元素. 通过观 察实例, 发 从而进一 象是不是这个集合的元素也就 步准确理 确定了.另外,集合的元素一定 解集合的 是互异的.相同的对象归于同一 概念. 明确集合 学生分组讨论、交流,并在 元素所具 教师的引导下明确: 有的性质, 通过讨 论, 使学生

7 .常用的数集及其记号(幻灯片 四). N:非负整数集(或自然数集). N*或N+:正整数集(或自然数集去 掉0). Z:整数集. Q:有理数集. R:实数集.

教学环节 列举法: 应用 举例

教学内容

师生互动 师生合作应用定义表示集合. 例1 解答:(1)设小于10的

设计意图

定义:把集合的元素一一列举出

来,并用花括号“ {} ”括起来表示集 所有自然数组成的集合为A,那么 合的方法叫做列举法. A = {0,1,2,3,4,5,6,7,

例1

用列举法表示下列集合:

8,9}. 由于元素完全相同的两个集 合相等,而与列举的顺序无关,因

(1)小于10的所有自然数组成的 集合;

(2) 方程x2 = x的所有实数根组成 此集合A可以有不同的列举法. 例 的集合; ( 3 )由 1~ 20以内的所有质数组 成的集合. 描述法: 如: A = {9,8,7,6,5,4,3,2, 1,0}. (2)设方程x2 = x 的所有实

定义:用集合所含元素的共同特 数根组成的集合为B,那么B = {0, 征表示集合的方法称为描述法 . 具体 1}. 方法是:在花括号内先写上表示这个 (3) 设由1~20以内的所有质

集合元素的一般符号及取值(或变化) 数组成的集合为C,那么 范围,再画一条竖线,在竖线后写出 这个集合中元素所具有的共同特征. 例2 试分别用列举法和描述法 C = {2,3,5,7,11,13, 17,19}. 例2 解答: (1) 设方程x2 – 2 = 0的实数根为 x,并且满足条件x2 –

表示下列集合:

(1)方程x2 –2 = 0的所有实数根 2 = 0,因此,用描述法表示为 组成的集合; (2)由大于10小于20的所有整数 组成的集合. A = {x∈R| x2 –2 = 0}. 方程 x2 –2 = 0有两个实数根
2 , ? 2 ,因此,用列举法表示

为 A = { 2 , ? 2 }. (2)设大于10小于20的整数 为 x,它满足条件x∈Z,且10<x <20. 因此,用描述法表示为 B = {x∈Z | 10<x<20}. 大于 10 小于 20 的整数有 11 , 12,13,14,15,16,17,18,19, 因此,用列举法表示为

B = {11,12, 13,14, 15,16, 17,18,19}.

教学环节 例3

教学内容 已知由l,x,x2,三个实数构

师生互动

设计意图

成一个集合,求x应满足的条件. 解:根据集合元素的互异性,
?x ? 1 ? 得 ?x 2 ? 1 ? 2 ?x ? x

学生分析求解,教师板 书. 通过应 用,进一步

应用 举例 所以x∈R且x≠±1,x≠0. 课堂练习: 教材第5页练习A1、 2、 3. 例2 ①? ③ 3 ⑤0 例4 集合: (1)由方程x2 – 9 = 0的所有实数根 组成的集合; (2)由小于8的所有素数组成的集 合; (3)一次函数y = x + 3与 y = –2x + 6的图象的交点组成的集合; (4)不等式4x – 5<3的解集. ①请同学们回顾总结,本节课学过 的集合的概念等有关知识; 归纳 总结 ②通过回顾本节课的探索学习过 生:独立完成;题:点评 说明. 用∈、 ? 填空. Q;② 3 R;④0 N*;⑥0 Z; N; Z. 幻灯片五(练习答案),

理解集合的 有关概念、 性质. 反馈矫正.

试选择适当的方法表示下列

例4 解答: (1){3,–3}; (2){2,3,5,7}; (3){(1,4)}; (4){x| x<2}.

引导学生学 会 自 己 总 师生共同总结——交流 结;让学 生进一步 (回顾)体 会知识的形

程,请同学们体会集合等有关知识是怎 ——完善. 样形成、发展和完善的. ③通过回顾学习过程比较列举法和

描述法. 归纳适用题型.

成、发展、 完 善 的 过 程.

巩固深化; 课后 作业 1.1 第一课时习案 由学生独立完成. 内容,培养 自学能力. 预习下一节

备选例题
例 1(1)利用列举法表法下列集合:①{15 的正约数};②不大于 10 的非负偶数集. (2)用描述法表示下列集合:①正偶数集; ②{1,–3,5,–7,?,–39,41}. 【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用. 【解析】 (1)①{1,3,5,15} ②{0,2,4,6,8,10} (2)①{x | x = 2n,n∈N*} ②{x | x = (–1) n–1·(2n –1),n∈N*且 n≤21}. 【评析】 (1)题需把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合,多用于 集合中的元素有有限个的情况. (2)题是将元素的公共属性描述出来,多用于集合中的元素有无限多个的无限集 或元素个数较多的有限集. 例2 用列举法把下列集合表示出来:
9 ∈N}; 9? x

(1)A = {x∈N | (2)B = {

9 ∈N | x∈N }; 9? x

(3)C = { y = y = – x2 + 6,x∈N ,y∈N }; (4)D = {(x,y) | y = –x2 +6,x∈N }; (5)E = {x |
p = x,p + q = 5,p∈N ,q∈N*}. q

【分析】 先看五个集合各自的特点: 集合 A 的元素是自然数 x, 它必须满足条件 也是自然数;集合 B 中的元素是自然数

9 9? x

9 ,它必须满足条件 x 也是自然数;集合 C 9? x

中的元素是自然数 y,它实际上是二次函数 y = – x2 + 6 (x∈N )的函数值;集合 D 中的元 素是点,这些点必须在二次函数 y = – x2 + 6 (x∈N )的图象上;集合 E 中的元素是 x,它 必须满足的条件是 x =
p ,其中 p + q = 5,且 p∈N,q∈N*. q

【解析】 (1)当 x = 0,6,8 这三个自然数时, ∴ A = {0,6,9} (2)由(1)知,B = {1,3,9}. (3)由 y = – x2 + 6,x∈N,y∈N 知 y≤6. ∴ x = 0,1,2 时,y = 6,5,2 ∴ C = {2,5,6}. 符合题意.

9 =1,3,9 也是自然数. 9? x

(4)点 {x,y}满足条件 y = – x2 + 6,x∈N,y∈N,则有:
? x ? 0, ? x ? 1, ? x ? 2, ? ? ? ? y ? 6, ? y ? 5, ? y ? 2.

∴ D = {(0,6) (1,5) (2,2) } (5)依题意知 p + q = 5,p∈N,q∈N*,则
? p ? 2, ? p ? 3, ? ? ?q ? 3, ?q ? 2, P x 要满足条件 x = , q ? p ? 0, ? ?q ? 5, ? p ? 1, ? ?q ? 4, ? p ? 4, ? ?q ? 1.

∴E = {0, , , ,4}. 【评析】用描述法表示的集合,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应该符合 什么条件,从而准确理解集合的意义. 例3 已知–3∈A = {a –3,2a – 1,a2 + 1},求 a 的值及对应的集合 A.

1 4

2 3

3 2

–3∈A,可知–3 是集合的一个元素,则可能 a –3 = –3,或 2a – 1 = –3,求出 a,再 代入 A,求出集合 A. 【解析】 由–3∈A, 可知, a –3 = –3 或 2a –1 = –3, 当 a –3 = –3, 即 a = 0 时, A = {–3, –1,1} 当 2a – 1 = –3,即 a = –1 时,A = {– 4,–3,2}. 【评析】元素与集合的关系是确定的,–3∈A,则必有一个式子的值为 –3,以此展

开讨论,便可求得 a.


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