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2012届高考数学理科二轮专题限时卷:函数、导数及其应用11.

时间:2012-04-25


第二部分:函数、导数及其应用( ) 第二部分:函数、导数及其应用(11)
(限时:时间 45 分钟,满分 100 分) 一、选择题 1.已知函数 f(x)=x -4x,x∈[1,5],则函数 f(x)的值域是( A.[-4,+∞) C.[-4,5] B.[-3,5] D.(-4,5]
2 2

)

【解析 解析】 ∵函数 f(x)=x -4x 的对称轴的方程为 x=2, 解析 ∴函数 f(x)=x -4x,x∈[1,5]的最小值为 f(2)=-4,最大值为 f(5)=5, ∴其值域为[-4,5]. 答案】 C 【答案 答案 2.函数 y=3x +2(a-1)x+b 在区间(-∞,1)上是减函数,那么( A.a∈(-∞,-1) B.a=2 C.a≤-2 D.a≥2
2 2 2

)

【解析 解析】 ∵函数 y=3x +2(a-1)x+b 为二次函数且开口向上, 解析 2(a-1) 1-a 其对称轴方程为 x=- = . 6 3 若使 y=3x +2(a-1)x+b 在(-∞,1)上是减函数, 则 1-a ≥1,解得 a≤-2. 3
2

【答案 答案】 C 答案 1 3.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(| |)<f(1)的实数 x 的取值范围是 x ( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 【解析 解析】 解析 1 ∵f(x)在 R 上为减函数且 f(| |)<f(1), x 1 ∴| |>1, x 即|x|<1 且 x≠0,得-1<x<0 或 0<x<1. 答案】 C 【答案 答案
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4.(2012 年邵武二模)定义新运算?:当 a≥b 时,a ? b=a;当 a<b 时,a ? b= b ,则函数 f(x)=(1 ? x)x-(2 ? x),x∈[-2,2]的最大值等于( A.-1 B.1 C.6 D.12
2

)

解析】 由题意知 【解析 解析 当-2≤x≤1 时,f(x)=x-2, 当 1<x≤2 时,f(x)=x -2, 又∵f(x)=x-2,f(x)=x -2 在定义域上都为增函数, ∴f(x)的最大值为 f(2)=2 -2=6. 【答案 答案】 C 答案 5.函数 y=f(x)对于任意 x、y∈R,有 f (x+y)=f(x)+f(y)-1,当 x>0 时, R f(x)>1,且 f(3)=4,则( )
3 3 3

A.f(x)在 R 上是减函数,且 f(1)=3 B.f(x)在 R 上是增函数,且 f(1)=3 C.f(x)在 R 上是减函数,且 f(1)=2 D.f(x)在 R 上是增函数,且 f(1)=2 【解析 解析】 设 x1>x2, 解析 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-1-f(x2) =f(x1-x2)-1>1-1=0, 即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)为增函数. 又∵f(3)=f(1)+f(2)-1=f(1)+f(1)+f(1)-1-1 =3f(1)-2, ∴f(1)=2. 【答案 答案】 D 答案 二、填空题
?(3a-1)x+4a ? 6.已知 f(x)=? ? ?logax

(x<1) (x≥1)

是(-∞,+∞)上的减函数,那

么 a 的取值范围是________. 【解析 解析】 ∵当 x≥1 时,y=logax 单调递减, 解析 ∴0<a<1; 而当 x<1 时,f(x)=(3a-1)x+4a 单调递减,

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1 ∴a< ; 3 又函数在其定义域内单调递减, 1 故当 x=1 时,(3a-1)x+4a>logax,得 a> , 7 1 1 综上可知, <a< . 7 3 【答案 答案】 答案 1 1 <a< 7 3 1-x 的递减区间是______. 1+x

1-x 的递减区间是______,y= 7.y= 1+x 1-x 2 【解析 解析】 y= =-1+ , 解析 1+x x+1 定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),

∴该函数的递减区间为(-∞,-1)和(-1,+∞). 对于函数 y= 1-x ,其定义域为-1<x≤1. 1+x

由复合函数的单调性知它的递减区间为(-1,1]. 【答案 答案】 (-∞,-1)和(-1,+∞) 答案 (-1,1]

5 8.(2010 年湖南高考)设[x]表示不超过 x 的最大整数,如[2]=2,[ ]=1,对于给 4 n(n-1)…(n-[x]+1) * x , 定的 n∈N ,定义 Cn = N x(x-1)…(x-[x]+1) 3 x x∈[1,+∞),则 C 8=________;当 x∈[2,3)时,函数 C8 的值域是________. 2 【解析 解析】 解析 3 3 3 8 16 当 x= 时,[ ]=1,C 8= = ; 2 2 2 3 3 2 n(n-1) x 当 x∈[2,3)时,[x]=2,Cn = , x(x-1) 8×7 56 x C8 = = . x(x-1) x(x-1) 又∵当 x∈[2,3)时,f(x)=x(x-1)∈[2,6), ∴ 56 28 28 x ∈( ,28),∴C8 ∈( ,28]. x(x-1) 3 3 16 3 28 ( ,28] 3

【答案 答案】 答案

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三、解答题 解答题 1+x 9.判断 f(x)= 在(0,1]上的单调性. x 1+x 解析】 f(x)= 在(0,1]上为减函数. 【解析 解析 x 证明如下: 方法一:设 x1,x2∈(0,1],且 x1<x2. 方法一 1+x1 1+x2 则 f(x1)-f(x2)= - x1 x2 = x2+x1 x2- x1-x2 x1 x1· x2 x2- x1+ x1x2( x1- x2) x 1· x 2 ( x2- x1)(1- x1x2) x 1x 2





∵x1,x2∈(0,1]且 x1<x2, ∴ x2- x1>0,1- x1x2>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 1+x 在(0,1]上是减函数. 所以 f(x)= x 1+x 1 1 1 方法二:∵f(x)= = + x=x- +x , 方法二 2 2 x x 1 3 1 1 ∴f′(x)=- x- + x- 2 2 2 2 1 1 =- + 3 2 x 2 x = x-1 2 x
3

x-1 又∵0<x≤1,∴ ≤0(当且仅当 x=1 时取等号), 3 2 x ∴f(x)在(0,1]上为减函数. 10.(2011 年广州模拟)已知函数 f(x)自变量取值区间 A,若其值域区间也为 A,则 称区间 A 为 f(x)的保值区间. (1)求函数 f(x)=x 形如[n,+∞)(n∈R)的保值区间; R (2)g(x)=x-ln(x+m)的保值区间是 [2,+∞),求 m 的取值范围. 解析】 (1)若 n<0,则 n=f(0)=0,矛盾. 【解析 解析
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2

若 n≥0,则 n=f(n)=n ,解得 n=0 或 1, 所以 f(x)的保值区间为[0,+∞)或[1,+∞). (2)因为 g(x)=x-ln(x+m)的保值区间是[2,+∞), 所以 2+m>0,即 m>-2, 令 g′(x)=1- 1 >0,得 x>1-m, x+m

2

所以 g(x)在(1-m,+∞)上为增函数, 同理可得 g(x)在(-m,1-m)上为减函数. 若 2≤1-m 即 m≤-1 时,则 g(1-m)=2 得 m=-1 满足题意. 若 m>-1 时,则 g(2)=2,得 m=-1,矛盾. 所以满足条件的 m 值为-1.

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