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高考数学易错题解题方法大全

时间:2012-07-15


09 高考数学易错题解题方法大全(7)
【范例1】已知 A ⊙ B ? { z z ? xy , x ? A , y ? B } ,集合 A ? { ? 1, 0,1} , B ? {sin ? , cos ? } , 则集合 A ⊙ B 的所有元素之和为( ) A.1 B.0 C.-1 D. sin ? ? cos ? 答案:B 【错解分析】此题容易错选为 A,C,D,错误原因是对集合 A 中的元素特点不好。 【解题指导】集合 A 中 ? 1,1 是相反数. 【练习 1】集合 P ? ?x x ? 2 n , n ? N ??, Q ? ?x x ? 3 n , n ? N ?? ,则 P ? Q 中的最小元素 为( ) A.0 B.6 C.12 D. ? 6 ? )

【范例 2】在数列 ?a n ? 中,a 1 ? 14 ,3 a n ? 3 a n ? 1 ? 2 ,则使 a n a n ? 2 ? 0 成立的 n 值是( A.21 B.22 C.23 D.24 答案:A 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是没有理解该数列为等差数列。 【 解 题 指 导 】 由 已 知 得 a n ?1 ? a n ? ? =
44 ? 2 n 3

2 3



a n ? 14 ? ( n ? 1)( ?

2 3

)?

44 ? 2 n 3

, a n a n?2

·

40 ? 2 n 3

<0, ( n ? 20 )( n ? 22 ) ? 0 , 20 ? n ? 22 ,因此 n ? 21 ,选 A.
2 ?

【练习 2】 数列 ?a n ? 的通项公式是关于 x 的不等式 x ? x ? nx ( n ? N ) 的解集中的整数个数, 则数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n =( A.n
2

) C.
n ( n ? 1) 2

B.n(n+1)
2 2

D.(n+1)(n+2) )

【范例 3】若圆 x ? y ? 1 与直线 y ? kx ? 2 没有公共点的充要条件是( .. A. k ? ( ? 2, 2 )
? C. k ? ( ?∞ , 2 ) ? ( 2, ∞ ) ?

B. k ? ( ? 3, 3 )
? D. k ? ( ?∞ , 3 ) ? ( 3, ∞ ) ?

答案:B 【错解分析】 此题容易错选为 D, 错误原因是对直线在转动过程中, 斜率的变化规律掌握不好。 【解题指导】当 k ? ? 3 时,直线与圆相切,直线 y ? kx ? 2 过定点(0,2)【练习 3】经过 。 圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是(
2 2



A. x ? y ? 1 ? 0
? ?

B. x ? y ? 1 ? 0
π? 4 ? ? sin ? ? 6? 5

C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 1 ? 0

【范例 4】已知 co s ? ? ?

7π ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? 的值是( 6 ? ?



A. ?

2 3 5

B.

2 3 5

C. ?

4 5

D.

4 5

答案:C 【错解分析】此题容易错选为 D,错误原因是对诱导公式掌握不牢。 【解题指导】 cos( ? ?
sin( ? ? ? 6 ) ? 4 5
? 6 ) ? sin ? ? 3 2 sin ? ? 3 2 cos ? ? 3 sin( ? ? ? 6 )? 4 5 3

, sin( ? ?

7? 6

) ? ? sin( ? ?
2

? 6

) ? ?

4 5

。 )

【练习 4】已知函数 f ( x ) ? (1 ? co s 2 x ) sin x , x ? R ,则 f ( x ) 是( A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数 【范例 5】观察式子: 1 ? 子为( A、 1 ? C、 1 ?
1 2 1 2
2

B、最小正周期为 D、最小正周期为
3 2 1 ,1 ? 1 2
2

?
2

的奇函数 的偶函数
? 1 4
2

?
2 1 3

1 2
2

?

?

1 3
2

?

5 3

,1 ?

1 2
2

?

2

?

7 4

,…,则可归纳出式


? ? 1 3 1 3
2

?? ??

1 n 1 n
2

? ?

2n ? 1 2n ? 1 n

B、 1 ? D、 1 ?

1 2 1 2
2

? ?

1 3 1 3
2

?? ??

1 n 1 n
2

? ?

1 2n ? 1 2n 2n ? 1

2

2

2

2

2

2

答案:C 【错解分析】此题容易错选为 A,B,D,错误原因是对条件没有全面把握。 【解题指导】用 n=2 代入选项判断. 【练习 5】在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第 25 项为 ( A.25 B.6 C.7 D.8



【范例 6】若不等式 [( 1 ? a ) n ? a ] lg a ? 0 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( )
1 2

A. 0 ? a ?

B. 0 ? a ? 1

C.

1 2

? a ?1

D.a >1

答案:A 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是对恒成立问题理解不清楚。 【解题指导】当 a>1 时,易知 [( 1 ? a ) n ? a ] lg a ? 0 是恒成立;当 0<a<1 时, lg a ? 0 ,所
a 1? a a 1? a 1 2

以 (1 ? a ) n ? a ? 0 恒成立,即 n ?

恒成立,只需 1 ?

恒成立,可得 0 ? a ?

? .

【练习 6】 函数 f ( x ) ? ax A. a ? 0

2

? ax ? 1 , f (x)<0 在 R 上恒成立, a 的取值范围为 若 则 (



B. a ? ? 4

C. ? 4 ? a ? 0

D. ? 4 ? a ? 0

【范例 7】请将下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题:若函数 f(x)=2 -1 的图 像与 g(x)的图像关于直线_____________对称,则 g(x)=_______________. 答案:如①y=0,- 2 +1;②x=0, ( ) -1;③ y ? x , log 2 ( x ? 1) 等
x
x

x

1

2

【错解分析】此题主要错在对函数图象掌握不好。 【解题指导】答案不唯一,画图满足题意即可。 【练习 7】已知函数 f ( x ) ? log

a

?

x ? (2a )

x

? 对任意 x ? ? 1 ??? ? ? 都有意义,则实数 a 的 , ? ?
?2 ?

取值范围是 . 【范例 8】某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总 利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x 的函数关系为 y ? ? ( x ? 6 ) ? 11 ( x ? N ), 则每辆客车
2 ?

营运多少年,其运营的年平均利润最大为 . 答案:5 【错解分析】此题容易错填 6,错误原因是对棱锥的体积公式记忆不牢。 【解题指导】
y x ? ?(x ? 25 x
2

) ? 12 ? ?2

x?

25 x

? 12

,当且仅当 x

?

25 x

,即 x=5 等式成立。

【练习 8】若关于 x 的不等式 x ? 4 x ? m 对任意 x ? [ 0 ,1] 恒成立,则实数 m 的取值范围 是 .
x
2

【范例 9】若椭圆

?

y

2

? 1( m , n ? 0 ) 的离心率为

1 2

,一个焦点恰好是抛物线 y ? 8 x 的焦
2

m

n

点,则椭圆的标准方程为 答案:
x
2

.

?

y

2

?1

16

12 x
2

【错解分析】此题容易错选为 而不是(4,0) 。

?

y

2

? 1 ,错误原因是抛物线的焦点是(2,0)

64

48

【解题指导】求椭圆方程的关键是确定 a , b , c 三个参数. 【练习 9】若直线 m x ? n y ? 4 和圆 O: x 2
y2 x2 ? ? 1 的交点个数为 5 4
? y2 ? 4

没有公共点,则过点 ( m , n ) 的直线与椭圆

.

【范例 10】已知 a , b 是两条不重合的直线, ? , ? , ? 是三个两两不重合的平面,给出下列四个 命题: ①若 a ? ? , a ? ? ,则 ? // ? ③若 ? // ? , a ? ? , b ? ? , 则 a // b 其中正确命题的序号有________. 答案:①④ ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? ④若 ? // ? , ? ? ? ? a , ? ? ? ? b , 则 a // b

【错解分析】此题容易错选为③,错误原因是没有考虑到 a,b 异面的情况。 【解题指导】②中 ? , ? 可能平行可能相交 。③ a , b 可能平行可能异面 .

【练习 10】已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的平面,给出下 列命题: ①若 m∥β ,n∥β ,m、n ? α ,则 α ∥β ; ②若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =m,n ? γ ,则 m⊥n; ③若 m⊥α ,α ⊥β ,m∥n,则 n∥β ; ④若 n∥α ,n∥β ,α ∩β =m,那么 m∥n; 其中所有正确命题的序号是 . 【范例 11】若 z ? 1 ? 2 ,则 z ? 3 i ? 1 的最小值为 答案: 1 【错解分析】此题容易错在对复数的几何意义掌握不到位。 【解题指导】本题主要考查复数的几何意义. z ? 1 ? 2 表示以(1,0)为圆心,2 为半径的圆,
z ? 3 i ? 1 表示 z 到点(1,3)的距离.结合图象解决.
?x ? y ? 5≥ 0 ? 【练习 11】已知实数 x,y 满足条件 ? x ? y ≥ 0 , z ? x ? y i ( i 为虚数单位) | z ? 1 ? 2i | ,则 ?x ≤ 3 ?



的最小值是

. 【范例 12】某单位用 3.2 万元购买了一台实验仪器,假设这台仪器从启
n ? 49 10 (n ? N )
?

用的第一天起连续使用, n 天的维修保养费为 第 用最少,则一共使用了 答案: 800 天.

元,若使用这台仪器的日平均费

【错解分析】此题容易错填为 8,错误原因是对单位没有换算。 【解题指导】显然每天的维修费成等差,使用这台仪器的日平均费用
n( 32000 y ? n ? 50 10 2 ? n ? 49 10 ? 32000 n ? ) ( n ? 49 10 2

50 10

?

) ?

32000 n

?

n 20

?

99 20

? 2

1600

?

99 20



32000 n

?

n 20

即 n ? 800 时取得最小值.

【练习 12】国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值 V(美元) 与其重量 ? (克 拉) 的平方成正比,若把一颗钻石切割成重量分别为 m , n ( m ? n ) 的两颗钻石,且价值损失的百分率 =
原有价值 -现有价值 原有价值 ? 100%

(切割中重量损耗不计),则价值损失的百分率的最大为

.

【范例 13】 .. 在锐角△ABC 中, A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 角 且满足 (2 a ? c ) co s B ? b co s C .

(1)求角 B 的大小; (2)设 m ? (sin A ,1), n ? (3, cos 2 A) ,试求 m ? n 的取值范围. 【错解分析】 (1)当关系式中既有边又有角时,我们一般是化为角借助于三角函数解决。 (2)角 A 的范围的确定也容易遗忘的地方。 解: (1) 因为(2a-c)cosB=bcosC,所以(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, 即 2sinA cosB=sinCcosB+sinBcosC= sin(C+B)= sinA.而 sinA>0,所以 cosB=
?? ? ?? ?

?? ?

1 2

故 B=60°

(2) 因为 m ? (sin A ,1), n ? (3, cos 2 A) ,所以 m ? n =3sinA+cos2A=3sinA+1-2sin2A =-2(sinA-
0

?? ?

3 4

)2+
0

17 8

?0 ? A ? 90 0 0 ? 0 ? A ? 90 ? ?1 ? 0 0 0 由 ? B ? 60 得? 0 ,所以 30 ? A ? 90 ,从而 sin A ? ? ,1 ? 0 0 ?2 ? ?0 ? 120 ? A ? 90 ?00 ? C ? 900 ?

故 m ? n 的取值范围是 ? 2,
?

?? ?

?

17 ? 8 ? ?

【练习 13】已知函数 f ( x ) ? 2 sin

x 4

co s

x 4

? 2 3 sin

2

x 4

?

3 .

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值;
? ? π? ? ,判断函数 g ( x ) 的奇偶性,并说明理由. 3?

(2)令 g ( x ) ? f ? x ?

【范例 14】某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们所有比赛得分的情况用 如图所示的茎叶图表示 (1)求甲、乙两名运动员得分的中位数; (2)你认为哪位运动员的成绩更稳定? (3)如果从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分,求甲的得分大于乙的得 分的概率. 【错解分析】对茎叶图的应用须牢记,可以熟记教材上的茎叶图,以一例经典举一反三。

( 参 考 数 据 : 9 ? 8 ? 10 ? 2 ? 6 ? 10 ? 9 ? 466 ,
2 2 2 2 2 2 2





7 ? 4 ? 6 ? 3 ? 1 ? 2 ? 11
2 2 2 2 2 2

2

? 236 )

5 7 4 1 2 31 3 2 4 2 3 7 2 3 1 0

解: (1)运动员甲得分的中位数是 22,运动员乙得分的中位数是 23

(2)? x 甲 ?

14 ? 17 ? 15 ? 24 ? 22 ? 23 ? 32 7 12 ? 13 ? 11 ? 23 ? 27 ? 31 ? 30 7

? 21 ? 21
2 2 2 2

x乙 ?

S甲 ?
2

? 2 1 -1 4 ? ?2

2

? ? 2 1 -1 7 ? ? ? 2 1 -1 5 ? ? ? 2 1 -2 4 ? ? ? 2 1 -2 2 ? ? ? 2 1 -2 3 ? ? ? 2 1 -3 2 ?
2 2

?

236 7

7 1 - 1? 2 ?
2

S乙 ?
2

?

2 1? - 1 ? ?3
2

?2

2

1 -1 1 ?? 7

?

?2? 1 - 2 3? ?
2

2

?

2 1 - ?2 7 ?

2

?

2 ? - 3 466 1 1 ? 7
2

2 1 -3 0

? S 甲 ? S 乙 ,从而甲运动员的成绩更稳定
2 2

(3)从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为 49 其中甲的得分大于乙的是:甲得 14 分有 3 场,甲得 17 分有 3 场,甲得 15 分有 3 场 甲得 24 分有 4 场,甲得 22 分有 3 场,甲得 23 分有 3 场,甲得 32 分有 7 场,共计 26 场从而 甲的得分大于乙的得分的概率为 P ?
26 49

【练习 14】某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成,两道 工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品,两道工序 的加工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等品. (1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产出 的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙; (2)已知一件产品的利润如表二所示,求甲、乙产品同时获利 2.5 万元的概率。
工序 率 产品 甲 乙 0.8 0.75 0.85 0.8 第一工序 第二工序 利 润 产品 甲 乙 5(万元) 2.5(万元) 2.5(万元) 1.5(万元)



等级 一等 二等

(表一)

(表二)
2

【范例 15】数列 ?a n ? 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,总有 a n , S n , a n 成等差数列. (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)设数列 ?b n ? 的前 n 项和为 T n ,且 b n ?
ln
n 2

x

,求证:对任意实数 x ? ?1, e ? ( e 是常数,

an

e =2.71828 ? ? ? )和任意正整数 n ,总有 T n ? 2;

(3) 正数数列 ?c n ? 中, a n ? 1 ? ?c n ?

n ?1

, ( n ? N ) .求数列 ?c n ? 中的最大项.
*

【错解分析】 (1)对 2 S n ? a n ? a n 的转化,要借助于 a n 与 s n 的关系。
2

(2)放缩法是此题的难点。 解:(1)由已知:对于 n ? N ,总有 2 S n ? a n ? a n
*
2

①成立

∴ 2 S n ?1 ? a n ?1 ? a n ?1

2

(n ≥ 2)②
2 2

①--②得 2 a n ? a n ? a n ? a n ?1 ? a n ?1 ∴ a n ? a n ?1 ? ? a n ? a n ?1 ?? a n ? a n ?1 ?

∵ a n , a n ?1 均为正数,∴ a n ? a n ?1 ? 1 ∴数列 ?a n ? 是公差为 1 的等差数列

(n ≥ 2)

又 n=1 时, 2 S 1 ? a1 ? a1 ,解得 a 1 =1∴ a n ? n . n ? N ) (
2

*

(2)证明:∵对任意实数 x ? ?1, e ? 和任意正整数 n,总有 b n ?

ln

n 2

x



1 n
2



an

∴Tn ?

1 1
2

?

1 2
2

?? ?

1 n
2

?1?

1 1? 2

?

1 2 ?3

?? ?

1

? n ? 1 ?n

?1?1?

1 2

?

1 2

?

1 3

?? ?

1 n ?1
2

?

1 n

? 2?

1 n

? 2

(3)解:由已知
3

a 2 ? c1 ? 2 ? c1 ?
3

2 ,
4

a3 ? c2 ? 3 ? c2 ? a5 ? c4 ? 5 ? c4 ?
5

3, a 4 ? c3 5

4

? 4 ? c3 ?

4 ?

2,

5

易得 c1 ? c 2 , c 2 ? c 3 ? c 4 ? ...
1 ? x ? ln x x
2

猜想 n≥2 时, ?c n ? 是递减数列.令 f ? x ? ?

ln x x

, 则 f ?? x ? ?

x

?

1 ? ln x x
2

ln ∵当 x ? 3时, x ? 1, 则 1 ? ln x ? 0,即 f ?? x ? ? 0 .

∴在 ?3 , ?? ? 内 f ? x ? 为单调递减函数. 由 a n ?1 ? c n
n ?1

知 ln c n ?

ln ? n ? 1 ? n ?1



∴n≥2 时, ?ln c n ? 是递减数列.即 ?c n ? 是递减数列. 又 c1 ? c 2 ,∴数列 ?c n ? 中的最大项为 c 2 ?
3

3 .

【练习 15】已知函数 f ( x ) ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式;

bx ? c x ?1

的图象过原点,且关于点 (? 1,1) 成中心对称.

(2)若数列 { a n } 满足:a n ? 0 , a1 ? 1 , a n ? 1 ? [ f ( a n ) ] , a 2 ,a 3 ,a 4 的值, 求 猜想数列 { a n }
2

的通项公式 a n ,并证明你的结论; (3)若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,判断 S n 与 2 的大小关系,并证明你的结论.

练习题参考答案: 1. B 2. C 3. C
2 2

4. D

5. C

6. D

7. 0 , ? ? 4
? ?

?

1?

m 8. ? ? 3

9. 2

10. ②④

11.

12. 50%
x 2 ? 3 (1 ? 2 sin x 4
? 4π .

13. 解: (1)? f ( x ) ? sin

2

) ? sin

x 2

?

3 co s

? x π? ? 2 sin ? ? ? . 2 ?2 3?

x

? f ( x ) 的最小正周期 T ?

2π 1 2

当 sin ?

? x ?2 ? x ?2

?

π? ? ? ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 ? 2 ; 3? π? ? ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 2. 3?
? x ?2 π? π? ? ? .又 g ( x ) ? f ? x ? ? . 3? 3? ?

当 sin ?

?

(2)由(1)知 f ( x ) ? 2 sin ?

?

?1 ? π? π? x ? x π? ? g ( x ) ? 2 sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 co s . 3? 3? 2 ?2 2? ?2 ?
x ? x? ? g ( ? x ) ? 2 co s ? ? ? ? 2 co s ? g ( x ) ? 函数 g ( x ) 是偶函数. 2 ? 2?

14.解:(1) P甲 ? 0 . 8 ? 0 . 85 ? 0 . 68 , (2) (1-0.68) 0.6=0.192 15.解:(1)∵函数 f ( x ) ?
bx ? c x ?1

P乙 ? 0 . 75 ? 0 . 8 ? 0 . 6 .

的图象过原点,
bx x ?1

∴ f ( 0 ) ? 0 即 c ? 0 ,∴ f ( x ) ? 又函数 f ( x ) ?
bx ? c ? b? b 1? x

.

x ?1 x ∴b ? 1 , f (x) ? . x ?1

的图象关于点 ? ? 1,1 ? 成中心对称,

(2)解:由题意有 a n ? 1 ? (

an an ? 1

)

2

即 a n ?1 ?

an an ? 1





1 a n ?1

?

1 an

? 1 ,即

1 a n ?1

?

1 an

?1.

∴数列{

1 an

}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列.



1 an

? 1 ? ( n ? 1) ? n ,即

an ?

1 n

. ∴an ?
1 n
2

1 n
2

.

∴ a2 ?

1 4

,a3 ?

1 9

,a4 ?

1 16

,an ?

.
1 k
2

(3)证明:当 k ? 2 ( k ? 2 ,3 , 4 , ? , n ) 时, a k ?
S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ? (1 ? 1 2 )?( 1 2 ? 1 3

?

1 k ( k ? 1)

?

1 k ?1

?

1 k

)?? ? (

1 n ?1

?

1 n

)? 2?

1 n

? 2

故 Sn ? 2


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高考数学易错题解题方法大全3

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