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模块化复习 第一课时 任意角与弧度制

时间:2015-07-19


模块化复习
y

第一课 任意角与弧度制

一、任意角:正角(逆时针)、负角(顺时针)、零角

o x

一般的:与α 终边(射线)相同的角都可以表示成集合: {? / ? ? ? ? 3600 k , ,K∈Z} 例 1、在 0 到 360 度范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它是哪个象 限的角:(1)-120°(2)640°

例 2. 写出与下列各角终边相同的角的集合 S, 并把 S 中在-360? ~ 720?的角 写出来: (1) 60?;(2) -21?;

弧度制: 1800 ? ? rad 常用弧度:
300 450

? ?

l r
900 1200 1350 1500 2700

600

弧度 排列大小: ? ,3,2,

? 3? ,1, 2 2

? 象限 n ? 例:α 在第三象限,求 第几象限 2
例 3.已知α 的象限,求

?

?
2

第几象限

随堂测验
1.与-1050°终边相同的最小正角是 A.B=A∩C
0

弧度是 C.A ?? C D.A=B=C

. )

2.已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90°的角},那么 A、B、C 关系是 ( B.B∪C=C

3.与 463 终边相同的角的集合( )

A. {? / ? ? 3600 k ? 4630 , k ? z} B. {? / ? ? 3600 k ? 1030 , k ? z} C. {? / ? ? 3600 k ? 2670 , k ? z} D. {? / ? ? 3600 k ? 2670 , k ? z}
4.下列各组角中,终边相同的角是 A. k ? 与 k? ?
2

( B. k? ?



?
2

(k ? Z )

?

k 与 ? 3 3

(k ? Z )
(k ? Z )

C. (2k ? 1)?与(4k ? 1)? (k ? Z )

D. k? ? ? 与k? ? ? 6 6

5.将下列各角化成 2k ? +α 的形式,并指出终边所在象限 (1)

27 ? 3

( 2)

29 ? 6

6.已知集合 A= {? / ? ? 900 k ? 360 , k ? z},且 ? 1800 ? ? ? 1800 ,求 α

任意角三角函数
1.如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ,那 (1) y 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? ,即
Y
?
O A(1,0)

么:

sin ? ? y ;

P(x,y)

(2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos? ,即 cos? ? x ; (3)

x

y y 叫做 ? 的正切,记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x

说明:(1)当 ? ?

(2)当 ? 是锐角时,此定义与初中定义相同;当 ? 不是锐角时,也能够找出三角函数,因为, 既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点 P ( x, y ) ,从而就必然能够最终算出 三角函数值. (3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量, 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,

? k? (k ? Z ) 时,? 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等于 2 y 0 ,所以 tan ? ? 无意义,除此情况外,对于确定的值上述 ? ,三各值都是唯一确定的实数. x

?

Y
我们将这种函数统称为三角函数. 2.利用定义求角的三角函数值

5? 3 O A(1,0)

5? 例 1.求 的正弦,余弦和正切值. 3
思考:如果将

x

B

5? 7? 变为 呢? 3 6

一般的,设角 a 终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为 r,则

sin a ? ,cos a ? , tan a ? ,
例 2.已知角 ? 的终边过点 P 0 (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦,余弦和正切值.

3.三角函数的定义域和函数值符号

例 3:角 a 为第三象限角, sinα ,cosα ,tanα 的正负为 变式训练(一)判断下列各式的符号 1. sin 340 ? cos 265
0 0

2. sin 4 ? tan( ?

23? ) 4

(二)求函数 y ? sin a ? tan a 的定义域 4.诱导公式一 由三角函数的定义,可以知道,终边相同的角的同一三角函数的值相等,由此得到一 组公式

s i na ( ? k ? ?2 ? )

sa in

c o sa ( ? k ? ?2 ? )

ca o s t a na ( ? k ? ?2 ? )

tan

利用公式一,可以把任意角的三角函数值,转化为求 0 到 2? 的三角函数值 例 4.确定下列三角函数值的符号: (1) cos 250
0

(2) sin( ?

?
4

)

(3) tan(?672 )
0

(4) tan 3?

变式训练(一)求下列各式的值

1. cos

25? 15? ? tan( ? ) 3 4

2. sin 4200 cos7500 ? sin(?6900 )cos(?6600 )

随堂测试题
一、选择题 1.有下列命题: ①终边相同的角的三角函数值相同;②同名三角函数的值相同的角也相同;③终边不相同, 它们的同名三角函数值一定不相同;④不相等的角,同名三角函数值也不相同. 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知 sin ? ? 0, tan? ? 0 ,则 1 ? sin 2 ? 化简的结果为 ( )

A. cos ? B. ? cos ? C. ? cos ? D. 以上都不对 3.角 ? 的终边上有一点 P(a,a) ,a∈R,a≠0,则 sin ? 的值是( )
2 2 2 2 B.- C. 或- 2 2 2 2 | sin x | cos x | tan x | 4.若 + + =-1,则角 x 一定不是( ) sin x | cos x | tan x

A.

D.1

A.第四象限角 B.第三象限角 5.sin2·cos3·tan4 的值( ) A.小于 0 B.大于 0 6.若θ 是第二象限角,则( ) A.sin

C.第二象限角 C.等于 0

D.第一象限角 D.不存在

? >0 ?

B.cos

? <0 ?

C.tan

? >0 ?


D.cot

? <0 ?

7.当 ? 为第二象限角时, A. 1 B. 二、填空题 0

sin ? sin ?
C.

?

cos? cos?
2

的值是( D. -2

8.在(0,2π )内满足 cos2 x =-cosx 的 x 的取值范围是_________. 9.若角 ? 的终边经过 P(-3,b) ,且 cos ? =-

3 ,则 b=_________,sin ? =_________. 5

10.已知点 P(tan ? ,cos ? )在第三象限,则角 ? 的终边在第_________象限. 11.若 ?

1 3 ? cos? ? ,角 ? 的取值范围为 2 2

12.若 ? 为第三象限角,则 sin? , sin

?
2

, cos

?
2

, tan

?
2

,为正的有

三、解答题 11,计算

sin( ?
sin

3? ? 4

5? )? 6

13? ? 4 2? ? , sin ? 3
, cos

, ,

0 0 0 sin(?1320 ) cos(1110 ) ? cos(?1020 ) sin(7500 ) =

12.(1)若点 P(6, t ) 是角 ? 终边上的一点,且满足 t ? 0 , cos ? ?

3 ,求 sin ? , tan ? 的值 5

(2)已知角 ? 的终边上有一点 P(3t , ?4t ) (t ? 0) ,求 sin ? ,cos ? ,tan ? 的值;


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