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高中数学第三章统计案例3.2独立性检验的基本思想及其初步应用例谈独立性检验的基本方法素材新人教A版选

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例谈独立性检验的基本方法
在实际问题中, 分类变量是大量存在的, 我们可以利用独立性检验来考察两个分类变量 是否有关系,并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度.一般地,对分类变量的相关关系 的判断方法有:2×2 列联表、二维条形图、三维柱形图和利用随机变量 K 来确定,与表格相 比, 三维柱形图和二维条形图能够更直观地反映出相关数据的总体状况. 并能从中清晰地看 出各个频数的相对大小关系.三维柱形图和二维条形图因为所表示的关系只是一种粗略的估 计,不能够精确地反应有关的两个分类变量的可信程度,因而不常用,并且在实际问题的解 决中也较为烦琐,故在判断两个分类变量的关系的可靠性时,一般利用随机变量 K 来确定 的. 一. 二维条形图 在二维条形图中, 可以估计满足条件 X=x1 的个体中具有 Y= y1 的个体所占的比例 也可以估计满足条件 X=x2 的个体中具有 Y= y2 的个体所占的比例 越大,H1 成立的可能性就越大. 例 1.在 500 个人身上试验某种血清预防感冒的作用,把一年中的记录与另外 500 个未 用血清的人作比较结果如下:
2 2

a , a?b

c ,两个比例的值相差 c?d

试画出列联表的条形图, 通过图形判断这种血清能否起到预防感冒的作用, 并进行独立 性检验. 分析:作出二维条形图判断. 解:如图.

由公式得
1

K2 ?

1000? (252? 276 ? 224? 248) 2 ? 3.143 500? 500? 476? 524

从条形图看,这种血清对预防感冒有作用, ∵k>2.706,∴我们有 90%的把握认为起作用. 点拨:可从条形图粗略判断是否有关系,通过计算,进一步判断可靠程度. 练习: 1.有甲、 乙两个班级进行一门课程的考试, 按照学生的考试成绩优秀和不优秀统计人数 后,得到下面的列联表:

请画出列联表的二维条形图, 并通过图形判断成绩与班级是否有关, 利用列联表的独立 性假设检验估计判断成绩是否优秀与所在班级是否有关. 解:根据列联表的数据,作出二维条形图,如图.

从条形图中可以看出,甲班学生中优秀的人数的比例数为 的比例为

10 ,乙班学生中优秀的人数 45

7 ,二者差别不是很大,因此我们认为成绩是否优秀与所在的班级没有关系,用 45

独立性假设检验来判断,由题意知 a=10,b=35,c=7,d=38,a+b=45,c+d=45,a+c=17, b+d=73,n=90. 代入公式

K2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(b ? d )(a ? c)(c ? d )

90 ? (10 ? 38 ? 7 ? 35) 2 k? 45 ? 45 ? 17 ? 73 ? 0.65.
由于 0.65<2.706,所以我们没有充足的理由认为成绩优秀与班级有关系. 二. 三维柱形图
2

在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积 ad 与副对角线上的两个柱形高度的 乘积 bc 相差越大,H1 成立的可能性就越大, 例 2. 为了调查吸烟是否对患肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地抽查了 9 965 人,得到 如下的调查结果(单位:人) 吸烟与患肺癌列联表

试用三维柱形图分析吸烟是否对患肺癌有影响. 解:假设“吸烟与患肺癌是有关系”的,作出三维柱形图(如图所示).

从三维柱形图中我们可以看出吸烟与患肺癌是有关的, 其主对角线上两个柱形的高度 a 与 d 的乘积 ad=7775×49=380975,副对角线上两个柱形的高度 c 与 b 的乘积为 cb=2 099×42=88 158,相差为|ad-bc|=|380 975-88 158|=292817,相差很大,因此假设的吸烟与 患肺癌是有关的.所以我们可以认为吸烟与患肺癌是有关的, 点评:若要推断的论述为 H1,"X 与 Y 有夫系”可以用三维柱形图和二维条形图来粗略 地判断两个分类变量 X 与 Y 是否有关系,做法为(1)在三维柱形图中,应对主对角线上两个 柱形的高度的乘积 ad 与副对角线上两个柱形高度的乘积 be 作比较,若相差较大,H1 成立的 可能性就越大;(2)在二维条形图中可以估计满足条件 X=x1 的个体中具有 Y= y1 的个体所占 的比例

a c ,也可以估计满足条件 X=x2 的个体中具有 Y= y2 的个体所占的比例 ,两 a?b c?d

个比例的值相差越大,H1 成立的可能性就越大.应用这两种做法时应当注意作图的规范性. 练习: 2.研究人员选取 170 名青年大学生的样本,对他们进行一项心理测验,发现有 60 名女 生对该心理测验中的最后一个题目的反应是:作肯定回答的有 22 名,否定回答的有 38 名;
3

男生 110 名在相同的题目上作肯定回答的有 22 名,否定回答的有 88 名.问:性别与态度之 间是否存在某种关系?分别用图形和独立性检验的方法判断. 解:根据题目所给数据建立如下列联表: 性别与态度的关系列联表

相应的三维柱形图如图,比较来说,底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些,因 此可以在某种程度上认为“性别与态度有关”.

根据列联表中的数据得到

k?

170? (22 ? 38 ? 22 ? 88) 2 ? 5.622 ? 5.024. 110? 60 ? 44 ? 126

所以有 97.5%的把握认为性别与态度有关. 三. 利用随机变量 K 来确定 解独立性检验问题的基本步骤是:①找出相关数据,作列联表;②求统计量 K 的观测 值;③判断可能性,注意与临界值作比较,得出事件有关的可能性大小. 例 3.某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查, 统计数 据如下表
2 2

(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多 少?抽到不太主动参加班级工作的且学习积极性一般的学生的概率是多少?
4

(2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是 否有关系?并说明理由.(参考下表)

分析:根据所给的 2×2 列联表的内容,利用古典概率计算公式进行计算. 解:(1)积极参加班级工作的学生有 24 人,总人数为 50 人,概率为 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 人概率为

24 12 ? . 50 25

19 . 50

因为 k≈11.5>10.828,所以有 99.9%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关 系. 点拨:读懂题中表格是解题的关键.若要求判断“X 与 Y 无关”时,一般先假设“X 与 Y 有关系”. 练习: 3.某教育机构为了研究具有大学专科以上学历 (包括大学专科) 的人和对待教育改革态 度的关系,随机抽取了 392 名成年人进行调查,所得数据如下表所示:

对于教育机构的研究项目,根据上述数据能得出什么结论? 解:根据公式,代入数据, ∴K ?
2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(a ? c)(b ? d )(c ? d )

5

k?

392? (39 ? 167 ? 157? 29) 2 ? 1.78. 196? 196? 68? 324

∵1.78<2.706, ∴我们没有充分证据说明具有大学专科以上学历 (包括大学专科) 和对待教育改革态 度有关. 4.在调查的 480 名男人中有 38 名患有色盲,520 名女人中有 6 名患有色盲, 分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关?你所得到的结论 在什么范围内有效? 解:根据题目所给的数据作出如下的列联表:

再根据列联表作出相应的二维条形图,如图所示. 从二维条形图来看在男人中患色盲的比例 其差值|

6 38 ,要比在女人中患色盲的比例 大, 520 480

6 38 |≈0.068,差值较大,因而我们可以认为性别与患色盲是有关的,根据 480 520

列联表中所给的数据可以有 A=38,b=442,c=6,d=514,a+b=480,c+d=520,a+ c=44,b + d = 956,n = 1000, 代人公式

由于 K ≈27.1>10.828,所以我们有 99.9%的数据认为性别与患色盲有关系. 这个结论只 对所调查的 480 名男人和 520 名女人有效. 在实际问题中,独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系,得到的结论也可能错误,这 是数学中的统计思维与确定性思维差异的反映, 但我们可以利用统计分析的结果去预测实际 问题的结果.

2

6


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