棱柱和棱锥
基本概念
棱柱的有关概念: 直棱柱; 正棱柱；平行六面体; 长方体; 正方体; 正四棱柱. 判断 1.侧面都是矩形的四棱柱是长方体( )2.直平行六面体是长方体 （） 3.对角面是全等矩形有四棱柱是长方体 （ ） 棱椎：正棱锥：底面____________② 顶点________________ 叫正棱锥 1.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面都可能是直角三角形 2.相邻两侧面所成角相等的棱锥是正棱锥 3.侧棱长相等，各侧面 与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥 4.三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥
选择填空
1、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对” ．在一个正方体中，由两个顶 点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ． （06 上海理）
V
2、在正四棱锥 P—ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为 60°，则异面直线 PA 与 BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）(03 上海理)
?VAE 的面积是
A
3、如图，在底面边长为 2 的正三棱锥 V ? ABC 中， E 是 BC 的中点，若
1 ，则侧棱 VA 与底面所成角的大小为___________(结果用反三角函数值表示). （04 上海） 4
4、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是??????????（ ） （A）三棱锥 （B）四棱锥 （C）五棱锥 （D）六棱锥 5、将正方体纸盒展开，直线 AB、CD 在原正方体中的位置关系是?????（ ） （A）平行 （B）垂直 （C）相交成 60
?
C E
C A B
B
D
（D）异面成 60
?
6、如图长方体的三条棱长分别为 3、4、5，那么沿长方体的表面从 A 到 C1 的最 短距离为 . 7.已知 EF 是边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，没 DE、EF、FD 折 成一个四面体，则所得四面体的体积是________ 8.一个封闭锥形容器中装有一部分液体，容器的高为 h 当容器正放时，液面与容器 底部之间距离为 h/2,求当容器倒放时液面与容器底部之间的距离__________ 9.如图， 在多面体 ABCDEF 中， 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形， 且 ?ADE 、?BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为
D1 A1 D A B B1
C1
C
解答题
1、 已知正三棱锥 P ? ABC 的体积为 72 3 ，侧面与底面所成的二面角的
P
大小为 60 ? .（1）证明： PA ? BC ； （2）求底面中心 O 到侧面的距离.
A O B C
2、 （06 上海理）在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，∠DAB＝60 ，对 角线 AC 与 BD 相交于点 O， PO⊥平面 ABCD， PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ．（1） 求四棱锥 P－ABCD 的体积； （2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的 大小（结果用反三角函数值表示） ． A B E
?
?
P
D O C
3 如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD=2a, △PDC 是正三角形，BC ⊥PD P （1）求证：平面 PBD⊥平面 ABC； （2）求二面角 C－PD－B 的正切值； （3）求点 B 到平面 PAD 的距离.。
D A
C B
4． 斜三棱柱的底面的边长是 4cm 的正三角形,侧棱长为 3cm,侧棱 AA1 与底面相邻两边都成 60 角.(1)求证:侧面
0
CC1B1B 是矩形;(2)求这个棱柱的侧面积;(3)求棱柱的体积.
C A C A1 O1 B
1
B
5． 棱长为 a 的正方体 OABC ? O?A?B?C ? 中，E , F 分别为棱 AB, BC 上的动点，
A'
O' B'
C'
且
AE ? BF ? x(0 ? x ? a) ，
（1）求证： A?F ? C ?E ；
O
M
（2）当 ?BEF 的面积取得最大值时，求二面角 B? ? EF ? B 的大小．
A
C F B E
例 2 一个长方体全面积是 20cm ，所有棱长的和是 24cm，求长方体的对角线长.
2
例 3 如图，正三棱锥 S—ABC 的侧棱和底面 边长相等，如果 E、F 分别为 AB、SC 的中点，那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( ) 例 4 设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5 ，那么它的体 积为( )
例 5 如果三棱锥 S—ABC 的底面是不等边三角形，侧 面与 底面所成的二面角都相等， 且顶点 S 在底面的射影 O 在△ABC 内，那么 O 是△ABC 的( ) 例 6 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM 和 CN 所成角的 余弦值是( ) 3 例 11 侧棱长为 3cm，底面边长为 4cm 的正四棱锥的体积为_______cm . 圆柱圆锥球 例 14 长方体一个顶点上三条棱的长度分别为 3，4，5，且它的 8 个顶点都在 同一球面上，这个球的 表面 积是 例 15 若母线长为 4 的圆锥的轴截面的面积为 8,则圆锥的侧面积为_____(结果中保留). 例 17 圆柱轴截面的周长 1 为定值，那么圆柱体积的最 大值是( ) 例 18 设圆锥底面圆周上两点 A、B 间的距离为 2，圆锥 顶点到 直线 AB 的距离为 3 ，AB 和圆锥的轴的距 )
离为 1,则该圆锥的体积为________. 例 20 圆锥母线长为 l，侧面展开圆心角为 240°，该 圆锥的体积是(