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高中数学人教b版选修2-1学案:2.5 直线与圆锥曲线 含解析

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2.5 直线与圆锥曲线 1.通过类比直线与圆的位置关系,学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线 的位置关系.(重点) 2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长,以及直线与圆锥曲线的综合问 题.(重点、难点) [基础· 初探] 教材整理 直线与圆锥曲线的位置关系 阅读教材 P67~P69“例 4”,完成下列问题. 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:没有公共点,有且只有一个公共点及有两 个不同的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所 得一元二次方程解的情况来判断.设直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,圆锥曲线 方程为 f(x,y)=0. ? ?Ax+By+C=0, 由? ? ?f?x,y?=0 消元, 如消去 y 后得 ax2+bx+c=0. ①若 a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线 l 与双曲线的渐近线平行或重合; 当圆锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物线的对称轴平行(或重合). ②若 a≠0,设 Δ=b2-4ac. (ⅰ)Δ>0 时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; (ⅱ)Δ=0 时,直线和圆锥曲线相切于一点; (ⅲ)Δ<0 时,直线和圆锥曲线没有公共点. 2.圆锥曲线的弦 直线与圆锥曲线相交有两个交点时, 这条直线上以这两个交点为端点的线段 叫做圆锥曲线的弦,线段的长就是弦长.简单地说,圆锥曲线的弦就是连接圆锥 曲线上任意两点所得的线段. 1.直线 y=x+1 与椭圆 A.相离 C.相交 x2+ y2 =1 的位置关系是( 2 B.相切 D.无法确定 ) 【解析】 y=x+1, ? ? 联立? y2 2+ =1, x ? ? 2 消去 y,得 3x2+2x-1=0, Δ=22+12=16>0,∴直线与椭圆相交. 【答案】 C ) 2.已知直线 y=kx-k 及抛物线 y2=2px(p>0),则( A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 ? ?y=kx-k, 由? 2 ? ?y =2px, 【解析】 得 y2-y-k=0, 2p k 2k2 因为 Δ=1+ >0,所以直线与抛物线有两个公共点. p 【答案】 B 3.抛物线 y2=8x,直线 AB 的斜率为 2,且过抛物线的焦点,则 AB= ________. 【15460051】 【解析】 ∵抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0), ∴直线 AB 的方程为 y=2(x-2). ? ?y2=8x, 由? ? ?y=2?x-2?, 得 x2-6x+4=0. ∴x1+x2=6,x1x2=4. AB=x1+x2+4=10. 【答案】 [质疑· 手记] 10 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ [小组合作型] 直线与圆锥曲线位置关系的判断 x2 对不同的实数值 m,讨论直线 y=x+m 与椭圆 +y2=1 的位置 4 关系. 【精彩点拨】 联立两个方程 ―→ 消去 y 得到关于 x 的二次方程 ―→求 Δ ― → 讨论 Δ 得结论 【自主解答】 y=x+m, ? ? 联立方程组?x2 +y2=1. ② ? ?4 ① x2 将①代入②得 +(x+m)2=1, 4 整理得 5x2+8mx+4m2-4=0.③ Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2). 当 Δ>0,即- 5<m< 5时,方程③有两个不同的实数根,代入①可得 两个不同的公共点坐标,此时直线与椭圆相交; 当 Δ=0,即 m=± 5时,方程③有两个相等的实数根,代入①得一个公共 点坐标,此时直线与椭圆相切; 当 Δ<0, 即 m<- 5或 m> 5时, 方程③无实根, 此时直线与椭圆相离. 1.求直线与圆锥曲线的位置关系,或求直线与圆锥曲线的交点个数问题, 其基本方法是联立直线方程和圆锥曲线的方程,消元化成一元二次(或一次)方 程,通过二次(或一次)方程解的个数来判定.在解答过程中要注意两点:一是二 次项系数是否为 0,只有二次方程才能用判别式.二是对于变量的取值受到特别 限制的情况要数形结合. 2.利用代数方法判断直线与双曲线、抛物线的位置关系时,注意方程组有 一解时,直线与双曲线、抛物线的位置关系,可能是相交或相切. [再练一题] 1.已知抛物线的方程为 y2=2x,直线 l 的方程为 y=kx+1(k∈R),当 k 分 别为何值时,直线 l 与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点? 【解】 ? ?y=kx+1, 联立直线 l 与抛物线方程得方程组? 2 ? ?y =2x, 可得 k2x2+(2k-2)x+1=0.① 1 (1)当 k=0 时,由方程①得 x= , 2 代入 y=kx+1 得 y=1. ?1 ? ? ? 这时直线 l 与抛物线只有一个公共点? ,1?. ?2 ? (2)当 k≠0 时,方程①的判别式为 Δ=4(1-2k). 1 当 Δ=0,即 k= 时,方程①有一个解,从而直线 l 与抛物线

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