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最新人教版高中数学必修2第三章《直线的点斜式方程》教案

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3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 整体设计 教学分析 直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的 方程中,直线方程的点斜式是基本的,直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从 一次函数 y=kx+b(k≠0)引入,自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题. 在引入过程中, 要让学生弄清直线与方程的一一对应关系, 理解研究直线可以从研究方程及 方程的特征入手. 在推导直线方程的点斜式时,根据直线这一结论,先猜想确定一条直线的条件,再根据 猜想得到的条件求出直线的方程. 三维目标 1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线的点斜式方程,了解直线方程的斜截式 是点斜式的特例;培养学生思维的严谨性和相互合作意识,注意学生语言表述能力的训练. 2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并会利用探讨出的条件求出直线的 方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、 对应、 转化等辩证思维能 力. 重点难点 教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并会利用探讨出的条件求 出直线的方程. 教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.方程 y=kx+b 与直线 l 之间存在着什么样的关系? 让学生边回答,教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即 (1)直线 l 上任意一点 P(x1,y1)的坐标是方程 y=kx+b 的解. (2)(x1,y1)是方程 y=kx+b 的解 ? 点 P(x1,y1)在直线 l 上. 这样好像直线能用方程表示 ,这节课我们就来学习、研究这个问题 ——直线的方程(宣布课 题). 思路 2.在初中,我们已经学习过一次函数,并接触过一次函数的图象,现在,请同学们作一 下回顾: 一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线,它是以满足 y=kx+b 的每一对 x、y 的值为坐标的 点构成的.由于函数式 y=kx+b 也可以看作二元一次方程,所以我们可以说,这个方程的解和 直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题). 推进新课 新知探究 提出问题 ①如果把直线当做结论, 那么确定一条直线需要几个条件?如何根据所给条件求出直线的方 程? ②已知直线 l 的斜率 k 且 l 经过点 P1(x1,y1),如何求直线 l 的方程? ③方程导出的条件是什么? ④若直线的斜率 k 不存在,则直线方程怎样表示? ⑤k= y ? y1 与 y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗? x ? x1 ⑥已知直线 l 的斜率 k 且 l 经过点(0,b) ,如何求直线 l 的方程? 讨论结果:①确定一条直线需要两个条件: a.确定一条直线只需知道 k、b 即可; b.确定一条直线只需知道直线 l 上两个不同的已知点. ②设 P(x, y)为 l 上任意一点, 由经过两点的直线的斜率公式,得 k= -x1). ③方程导出的条件是直线 l 的斜率 k 存在. ④a.x=0;b.x=x1. ⑤启发学生回答:方程 k= y ? y1 ,化简,得 y-y1=k(x x ? x1 y ? y1 表示的直线 l 缺少一个点 P1(x1,y1),而方程 y-y1=k(x-x1)表 x ? x1 示的直线 l 才是整条直线. ⑥y=kx+b. 应用示例 思路 1 例 1 一条直线经过点 P1(-2,3),倾斜角 α=45°,求这条直线方程,并画出图形. 图1 解:这条直线经过点 P1(-2,3),斜率是 k=tan45° =1.代入点斜式方程,得 y-3=x+2,即 x-y+5=0, 这就是所求的直线方程,图形如图 1 所示. 点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力. 变式训练 求直线 y=- 3 (x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转 30° 所得的直线方程. 解:设直线 y=- 3 (x-2)的倾斜角为 α,则 tanα=- 3 , 又∵α∈[0° ,180° ), ∴α=120°. ∴所求的直线的倾斜角为 120° -30° =90° .∴直线方程为 x=2. 例 2 如果设两条直线 l1 和 l2 的方程分别是 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,试讨论: (1)当 l1∥l2 时,两条直线在 y 轴上的截距明显不同,但哪些量是相等的?为什么? (2)l1⊥l2 的条件是什么? 活动:学生思考: 如果 α1=α2, 则 tanα1=tanα2 一定成立吗?何时不成立?由此可知: 如果 l1∥l2, 当其中一条直线的斜率不存在时,则另一条直线的斜率必定不存在.反之,问:如果 b1≠b2 且 k1=k2,则 l1 与 l2 的位置关系是怎样的?由学生回答,重点说明 α1=α2 得出 tanα1=tanα2 的 依据. 解:(1)当直线 l1 与 l2 有斜截式方程 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 时, 直线 l1∥l2 ? k1=k2 且 b1≠b2. (2)l1⊥l2 ? k1k2=-1. 变式训练 判断下列直线的位置关系: 1 1 x+3,l2:y= x-2; 2 2 5 3 (2)l1:y= x,l2:y=- x. 3 5 (1)l1:y= 答案:(1)平行;(2)垂直. 思路 2 例 1 已知直线 l1:y=4x 和点 P(6,4),过点 P 引一直线 l 与 l1 交于点 Q,与 x 轴正半轴交 于点 R,当△ OQR 的面积最小时,求直线 l 的方程. 活动:因为直线 l 过定点 P(6,4),所以只要求出点 Q 的坐标,就能由直线方程的两点式写出 直线 l 的方程. 解:因为过点 P(6,4)的直线方程为 x=6 和 y-4=k(x-6), 当 l 的方程为 x=6 时,△ OQR

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