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2012-2013(1)概率统计试题

时间:2014-07-30


2012-2013(1)概率统计试题

一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
1. 设 A,B,C 是随机事件, A 与 C 互不相容, P( AB) ? , P(C ) ? ,则 P( AB C ) ? 3 / 4 . 2. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且均服从区间(0,1)上的均匀分布,则 P{X 2 ? Y 2 ? 1} ? π / 4 . 3. 设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 相互独立,均服从 N(1,1) ,则

1 2

1 3

? (?1) iX
i i ?1

3

i

服从 N(-2, 14) .

4. 已知随机变量 X ~ E(1), Y ~U (0, 2),且 X 与 Y 相互独立,记 U=max{ X, Y},V=min{X, Y},则 E(U + V)= 2 5. 设 X 1 , X 2 , .

, X m 为来自二项分布总体 B(n, p) 的简单随机样本, X 和 S 2 分别为样本均值与样本方
-1 .

差.若 X ? kS 2 为 np 2 的无偏估计量,则 k ?

二、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)
1. 若 P( AB) ? 0 ,则一定成立的是[ D ]. (A) A,B 互不相容; (B) P( A) ? 0 或 P( B) ? 0 ; (C) A,B 相互独立; (D) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .

2. 用切比雪夫不等式估计 100 个新生婴儿中男孩数大于 40 小于 60 的概率为[ B ].(假定生男孩和 生女孩的概率相等.) (A) ≥0.25; (B) ≥0.75; (C) ≤0.25; (D) ≤0.75.

3. 将一根长度为 l 的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为[ D ]. (A) 1; (B) 1/2; (C) -1/2; (D) -1.

4. 设 X1 , X 2 , X 3 , X 4 为来自总体 N(0 , σ2)的简单随机样本,则统计量 (A) t(2); 5. 设 X1 , X 2 , (B) N(0,1); (C) χ2(1); (D) F(1,1).

X1 ? X 2
2 X 32 ? X 4

的分布为[ A ].

, X n (n ? 2) 为 来 自 泊 松 分 布 总 体 P(λ) 的 简 单 随 机 样 本 , 则 对 于 统 计 量

T1 ?

1 n 1 n?1 1 X , T ? X i ? X n ,有[ C ]. ? ? i 2 n i ?1 n ? 1 i ?1 n
(B) D(T1 ) ? D(T2 ) ; (C) D(T1 ) ? D(T2 ) ; (D) D(T1 ) ? D(T2 ) .

(A) D(T1 ) ? D(T2 ) ;

三、计算题(每小题 5 分,共 10 分)
1. 袋子中有 10 个球,其中有 2 个红球、5 个白球和 3 个黑球,今从袋中任意地取 5 个球,求取到 了 1 个红球、2 个白球和 2 个黑球的概率.

2. (1)写出事件 A,B 互不相容与相互独立的数学表达式: AB ? ?,

P( AB) ? P( A) P( B) .

(2)证明:若 P( A) ? 0, P( B) ? 0 ,则 A,B 相互独立与 A,B 互不相容不能同时成立.

四、 计算题 (每小题 6 分, 共 12 分) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ?
1. 常数 A 和 P{ X ? ?0.5} . 2. 随机变量 Y ? 2X ?1的概率密度.

? ?2 x , ?0,

A ? x ? 0, 求: 其他.

五、计算题(每小题 6 分,共 12 分)设随机变量 X 与 Y 相互独立,且均服从参数为 1 的指数
分布. 求: 1. P{ min{ X, Y}≤1}. 2. V = X + Y 的概率密度.

六、计算题(每小题 6 分,共 12 分)
?1, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 x 1. 设随机变量 X,Y 的联合概率密度为 f ( x, y ) ? ? ,求条件概率密度 其他. ?0,

f X |Y ( x | y) .
X \Y 0 1 2 0 1/4 0 1/4 2. 设随机变量 X,Y 的联合分布律为 ,求 cov(X -Y, Y). 1 0 1/3 0 2 1/12 0 1/12

七、计算题(6 分) 设某社区有 1200 户居民,每户某月的用电量为 0.1kW、0.14kW、0.2kW 的
概率分别为 0.3、0.5、0.2,求该社区这个月的用电总量超过 169.2 kW 的可能性.(已知标准正态分布 函数值: ?(1) ? 0.8413 , ?(1.5) ? 0.9332, ?(2) ? 0.9772.)

八、计算题(每小题 6,共 12 分)
? 2 ? ( a ? x ), 0 ? x ? a 1. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ? ? a 2 , X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的一 ? 0, 其他 . ?
个样本,求 a 的矩估计.

2. 已知总体 X 的分布律为

X P

1

2

3
2

?

2

2? ?1 ? ? ? (1 ? ? )

其中 ? ( 0 ? ? ? 1 )未知. 若已取得总体 X 的一组样本值 1,2,1,3,求 ? 的最大似然估计.

九、计算题(6 分)在酿造啤酒时,麦芽的干燥过程会形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA) . 统计
数据表明,以往的干燥工艺所形成的 NDMA 的平均含量(以 10 亿份中的份数计)都高于 2.5. 今研 发了一种麦芽干燥新工艺,新工艺下采集的一组 NDMA 含量(以 10 亿份中的份数计)数据如下: 2 1 2 2 4 1 2 1 3 设新干燥工艺下的 NDMA 含量 (以 10 亿份中的份数计) 服从正态分布. 试问: 在显著性水平 ? ? 0.05 下,新工艺下的 NDMA 平均含量下降了吗?(已知: z0.05=1.645 , z0.025=1.96 , t0.05(9)=1.8331 , t0.025(9)=2.2622,t0.05(8)=1.8595,t0.025(8)=2.3060.)


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