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8高中数学奥林匹克竞赛训练题

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数学奥林匹克高中训练题(25) 第一试 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题30)设 A ? {1, 2},则从 A 到 A 的映射中,满足 f [ f ( x)] ? f ( x) 的个数是(C). (A) 1个 (B)2个 (C) 3个 (D)4个 2.(训练题30)在顶点为 (1997, 0) , (0,1997) , (?1997, 0) , (0, ?1997) 的正方形 R (包括 边界)中,整点的个数为(B) 个. (A)7980011 (B)7980013 (C)7980015 (D)7980017 3 . ( 训练题 30) 设 M ? {( x, y) | xy ? 1, x ? 0}, N ? {( x, y) | arctan x ? arccot y ? ? } ,那么 (B). (A) M ? N ? {( x, y) | xy ? 1} (C) (D) M ? N ? {( x, y) | xy ? 1且x, y不同时为负数} 4 . ( 训练题 30) 在四面体 ABCD 中,面 ABC 及 BCD 都是边长为 2 a 的等边三角形,且 (B) M ? N ? M M ?N ? N AD ? 2 2a, M , N 分别为棱 AB, CD 的中点,则 M 与 N 在四面体上的最短距离为(A). (A) 2 a (B) 3 a 2 (C) a (D) 5 a 2 5.(训练题30)已知三个三角形 ?, ?1 , ? 2 的周长分别为 p, p1 , p2 .若 ? ? ?1 ? ?2 ,且较小的 两个三角形 ?1 和 ? 2 可以互不重叠地放入大三角形 ? 的内部,则 p1 ? p2 的最大值是(B). (A) p (B) 2 p (C) 3 p (D) 2 p 6.(训练题30)以正 n 边形顶点为顶点的不相同的三角形的个数等于(D). (A) [ 案 二、填空题(本题满分42分,每小题7分) 1.(训练题30)设 p, q ? N ,且 1 ? p ? q ? n ,其中 n 是不小于3的自然数,则形如 n2 ] 10 (B) [ n2 ] 11 (C) [ n2 ] 12 (D)非上述答 p 的全体 q 分数之和为 1 n(n ? 1) 4 . 2.(训练题30)在 ?ABC 中,已知三个角 A, B, C 成等差数列.若其对边分别为 a, b, c ,并且 c ? a 等于 AC 边上的高 h ,则 sin C?A ? 2 1 2 . 3.(训练题30)若 2 f (1 ? x) ? 1 ? xf ( x) ,则 f ( x) ? x?3 x ?x?4 2 . 4.(训练题30)在 ?ABC 中,D 在 BC 上, BD : DC ? 3: 2 , E 在 AD 上, AE : ED ? 5 : 6 , 延长 BE 交 AC 于 F ,则 BE : EF ? 9:2 . 5 . ( 训 练 题 30) 数 列 {an } 满 足 a1 ? p, an?1 ? an 2 ? 2an , 则 通 项 an ? ( p ? 1)2 ?1 n?1 . 6.(训练题30)已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5,6}, B ? {6,7,8,9} ,从 A 中选3个元素, B 中选2个 元素,能够组成 90 个有5个元素的新集合. 三、(训练题30)(本题满分23分)已知 M 是抛物线 y 2 ? 2 px 的动弦 AB 上的点, O 为坐标原 点, OA ? OB, OM ? AB ,求点 M 的轨迹方程. ( x ? p)2 ? y 2 ? p2 ( x ? 0) 四、(训练题30)(本题满分24分)黑板上写着11和13这两个数,现在从事如下操作:(1)将某 个数重写一遍;(2)将两数相加,写上和数.试证明:①119这个数永远不会出现在黑板上; ②任何大于119的自然数均可经过有限次操作在黑板上出现. 五 、 ( 训 练 题 30)( 本 题 满 分 25 分 ) 已 知 m ? 0, f ( x )? 2 x? ,求证:对一切 m x? m ?1 等 ( 号) 当 且 仅 当 x1, x2 ,?, xn ? R? . 均 有 f ( n x1 x ? ? n f x( f x ? (2 f )xn 2 xn ) 1 ) x1 ? x2 ? ? ? xn 时成立. 第二试 一、(训练题30)(本题满分50分)已知 ?ABCD 为任意凸四边形,分别以 AD, BC 为边在四边 形外作正 ?ADH 和正 ?BCF ;以 AB, CD 为底边在四边形作顶角为 120 的等腰三角形 0 ?ABE 和 ?CDG .求证: FH ? EG ,且 FH ? 3EG . 二、(训练题30)(本题满分50分) 若干个同学参加数学竞赛,其中任何 m(m ? 3) 个同学都有 唯一的公共朋友(当甲是乙的朋友时,乙也是甲的朋友) ,问有多少同学参加数学竞赛. 三、(训练题30)(本题满分50分) ? 是个循环小数, f k (m) 表示 ? 的小数点后第 k 位开始,连 续 m 位上的数字之积,证明存在自然数 p, q ,对任意的 s , t 均有 [ f p ( s)] s ? [ f q (t )]t . 1 1 天星教育网(www.tesoon.com) 版权所有 天星教育网(www.tesoon.com) 版权所有 天星教育网(www.tesoon.com) 版权所有 天星教育网(www.tesoon.com) 版权所有 T e s o o n . c o m 天 · 星 o 天 · 星 o m 权 T 天 e s o o n m 权 天 星 星 版 o 权 m 权 · t e s o o n 天 星 . c o m 天 星 版 权 t e s o o

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