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考点10 解三角形应用举例

时间:2013-04-20

考点 10

解三角形应用举例

1.(2010·陕西高考理科·T17)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距

5 3 ? 3 海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°
的 D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海 里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船 到达 D 点需要多长时间? 【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理,考查了解决三角形 问题的能力,属于中档题。 【思路点拨】解三角形 ?ABD ? BD ? DC ? BD ? BC ? 2BD ? BC ? cos60 ? DC ? t
2 2 2 0

?

?

【规范解答】由题意知AB=5(3+ 3),?DBA ? 900 ? 600 ? 300 , ?DAB ? 450 ,??ADB ? 1050.

? sin1050 ? sin 450 ? cos 600 ? sin 600 ? cos 450 ? 2 1 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 2? 6 . 4

BD AB ? sin ?DAB sin ?ADB AB ? sin ?DAB 5(3 ? 3) ? sin 450 ? BD ? ? sin ?ADB sin1050 2 5(3 ? 3) ? 2 ? 10 3(1 ? 3) ? 10 3. ? 2? 6 1? 3 4 在?ABD中,由正弦定理得:
又?DBC ? 1800 ? 600 ? 600 ? 600 , BC ? 20 3, 在?DBC中,由余弦定理得 CD 2 ? BD 2 ? BC 2 ? 2 ? BD ? BC ? cos 600 1 ? 900. 2 30 ? CD ? 30 (海里),则需要的时间t ? ? 1(小时). 30 答;救援船到达D点需要1小时. ? 300 ? 1200 ? 2 ? 10 3 ? 20 3 ? 注:如果证出?DBC为直角三角形,根据勾股定理求出CD,同样给分.
2.(2010·陕西高考文科·T17)在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 【命题立意】本题考查了已知三角函数值求角、正弦定理、余弦定理,考查了解三角形问题的能力, 属于中档题。

【思路点拨】解三角形△ADC ? cos ?ADC ? ? ADC ? ? ADB ? 解三角形△ABD ? AB 【规范解答】在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos ?ADC ?

AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 1 ?? , = 2 ?10 ? 6 2 2 AD?DC

? ? ADC=120°, ? ADB=60°
在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, 由正弦定理得

AB AD ? , sin ?ADB sin B

AD ? ?ADB 10sin 60? sin ? ? ? AB= sin B sin 45?

10 ? 2 2

3 2 ?5 6.

3.(2010·江苏高考·T17)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该小组已测得一组 ? 、 ? 的值,算出了 tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后, 认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位:m) ? 与 ? 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实 ,使 际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大? 【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及 不等式的应用。 【思路点拨】 (1)分别利用 H , ? , ? (2)利用基本不等式求解. 【规范解答】 (1) H ? tan ? ? AD ? H ,同理: AB ? H , BD ? h 。 tan ? tan ? AD tan ? AD—AB=DB,故得 表示 AB、AD、BD,然后利用 AD—AB=DB 求解;

H H h h tan ? 4 ?1.24 ,解得: H ? ? ? ? ? 124 。 tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , , tan ? ? ? ? d AD DB d

H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d

d?

H ( H ? h) (当且仅当 d ? ? 2 H ( H ? h) , d

H (H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时,取等号)

故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,由 y ? tan x 的单调性可知:当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。 4.(2010·安徽高考理科·T16)设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B 。 3 3
(1)求角 A 的值; (2)若 AB ? AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) 。 【命题立意】本题主要考查三角函数,向量的数量积,余弦定理等知识的综合应用,考查考生化简、运算、 求解能力。 【思路点拨】 先对 sin A ? sin(
2

?

?

??? ??? ? ?

?

? B) sin( ? B) ? sin 2 B 化简, 求出角 A ; 再根据(2)的条件和余弦定理, 3 3

?

构造方程组求解 b, c 。 【规范解答】 (1)? sin A ? sin(
2

?

? B) sin( ? B) ? sin 2 B 3 3

?

?(

3 3 1 3 1 3 1 cos B ? sin B)( cos B ? sin B) ? sin 2 B ? cos 2 B ? sin 2 B ? sin 2 B ? 4 4 4 2 2 2 2

? sin A ? ?

3 , 2

由题意 0 ? A ?

?
2

,所以? sin A ?

? 3 ,A? 3 2

(2)? AB ? AC ? AB ? AC ? cos A ? bc ? cos

??? ???? ?

? ??? ???? ?

?
?
3

? 12 ,? bc ? 24 ①, ? 28 ,?b2 ? c2 ? bc ? 28 ②,

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos
又? b ? c ,由①、②解得 b ? 4, c ? 6 。

3

5.(2010·福建高考文科·T21)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇 出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿 正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 ? 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?

(Ⅱ)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (Ⅲ)是否存在 ? , 使得小艇以 ? 海里/小时的航行速度行驶, 总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存 在,试确定 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由。 【命题立意】本题考查解三角形、二次函数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能 力、应用意识,考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想。 【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为 S,利用余弦定理 把 S 表示为关于 t 的函数, 利用二次函数的方法求解 S 的最小值,并求解此时的速度;第二步利用余弦定 理解三角形表示出 v,t 的关系式,并利用函数知识 求解速度的范围; 第三步把问题转化为二次函数根分 布问题。 【规范解答】 (Ⅰ)设相遇时小艇航行距离为 s 海里,则

s ? 900t ? 400 ? 2 ? 30t ? 20 ? cos ? 90 ? 30
2 0

0

?

? 1? ? 900t ? 600t ? 400 ? 900 ? t ? ? ? 300 故当 ? 3?
2

2

t?

1 时 s ? 10 3, v ? 30 3 即小艇以每小时 30 3 海里的速度航行,相遇时距离最小。 3 , min ,
2 2 2

(Ⅱ)若轮船与小艇在 B 处相遇,由题意可得: ? vt ? ? 20 ? ? 30t ? ? 2 ? 20 ? ? 30t ? ? cos 90 ? 30
0

?

0

? 化简得

1 1 1 400 600 ?1 3 ? v ? 2 ? ? 900 , ? 400 ? ? ? ? 675 ,由于 0 ? t ? ,即 ? 2 ,所以当 ? 2 时, v 取得最小 2 t t t t ?t 4?
2

2

值 10 13 ,即小艇航行速度的最小值为 10 13 海里每小时。 (Ⅲ)由(Ⅱ)知 v ?
2

400 600 1 ? ? 900 , ? u ? u ? 0 ? ,于是有 400u 2 ? 600u ? 900 ? v 2 ? 0 ,小艇总能有 2 t t t

?? 600 ?2 ? 1600 ? 900 ? v 2 ? ? 0 ? 两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根,? ? ,解 900 ? v 2 ? 0 ? ?
得: 15 3 ? v ? 30 ,所以 ? 的取值范围为 15 3,30 。 【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中,有广泛的应用,在 物理学中,有关向量的计算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特别是新课程的高考)我们发现以解 三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点了,可以说这是还原三角学的本质了。解斜三角形应用题的 一般步骤是: 一. “建模” :

?

?

1.准确理解题意,分清已知和未知,准确理解应用题中的有关名称、术语,如视角、仰角、俯角、 方位角、坡度、象限角、方向角等; 2.根据题意画出图形; 3.把要求解的问题归结到一个或几个三角形中,合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学 模型; 二. “解模” :正确求解。注意:算法要简练,运算要准确。 三. “还原说明” :作出应用题的答案。 6.(2010·天津高考文科·T17)在 ? ABC 中, (Ⅰ)证明 B=C; (Ⅱ)若 cos A =-

AC cos B ? 。 AB cos C

1 ?? ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值。 3 3? ?

【命题立意】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与 余弦等基础知识,考查基本运算能力。 【思路点拨】 (1)只需证明 sin(B-C)=0 即可; (2)利用倍角公式及和角公式求解。 【规范解答】 (Ⅰ)在△ABC 中,由正弦定理及已知得

sin B cosB = .于是 sinBcosC-cosBsinC=0, sin C cosC

即 sin(B-C)=0.因为 ?? ? B ? C ? ? ,从而 B-C=0. 所以 B=C. (Ⅱ)由 A+B+C= ? 和(Ⅰ)得 A= ? -2B,故 cos2B=-cos( ? -2B)=-cosA= 又 0<2B< ? ,于是 sin2B= 1 ? cos2 2B =

1 . 3

2 2 . 3

从而 sin4B=2sin2Bcos2B=

7 4 2 2 2 ,cos4B= cos 2 B ? sin 2 B ? ? . 9 9

所以 sin(4 B ?

?
3

) ? sin 4 B cos

?
3

? cos 4 B sin

?
3

?

4 2 ?7 3 18

【方法技巧】解题的关键是合理利用三角函数公式对关系式进行恒等变形,要注意根据角的范围来确定三 角函数的符号的确定。 7.(2010·福建高考理科·T19)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇 出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿

正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 ? 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大 小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。 【命题立意】本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算 求解能力、应用意识,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整 合思想。 【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为 S,把 S 表示为关于 t 的函数,利用二次函数的方法求解 S 的最小值,并求解此时的速度;第二步利用余弦定理解三角形表示出 v,t 的关系式,并 利用函数知识求解速度的范围。 【规范解答】 (Ⅰ)为使小艇航行距离最短,理想化的航行路线为 OT,小艇到达 T 位置时轮船的航行位移

1 10 3 ; s0 ? AT , 即 30t ? 10, t ? , vt ? 10 3 ,从而 v ? ? 30 3 (海里/时) 3 t
(Ⅱ)若轮船与小艇在 H 处相遇时,在直角三角形 OHT 中运用勾股定理有: (900? v 2 )t 2 ? 600 ? 400 ? 0 , t 等价于 v ? 900? 从而 A G T H B

400 600 ? ? 10 4? 2 ? 6? ? 9 2 t t

3 9 9 3 27 v ? 10 4( ? 2 ? ? ? ) ? ? 9 ? 10 4( ? ? ) 2 ? ? 30( ? ? 3) 2 16 4 4 4 O 3 2 所以当 v ? 30 时, ? ? , t ? 2 3
也就是说,当小艇以 30 海里每小时的速度,沿北偏东 30 方向行走能以最短的时间遇到轮船。 【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中,有广泛的应用,在 物理学中,有关向量的计算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特别是新课程的高考)我们发现以解 三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点了,可以说这是还原三角学的本质了。解斜三角形应用题的 一般步骤是: 一. “建模” : 1.准确理解题意,分清已知和未知,准确理解应用题中的有关名称、术语,如视角、仰角、俯角、 方位角、坡度、象限角、方向角等; 2.根据题意画出图形;
?

3.把要求解的问题归结到一个或几个三角形中,合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学 模型; 二. “解模” :正确求解。注意:算法要简练,运算要准确。 三. “还原说明” :作出应用题的答案。 8.(2010·安徽高考文科·T16) ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ? (1)求 AB ? AC ; (2)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。 【命题立意】本题主要考查三角函数,向量的数量积,余弦定理等知识的综合应用,考查考生化简、运算、 求解能力。 【思路点拨】由 cos A ?
2

12 。 13

??? ???? ?

??? ???? ? 12 得 sin A 的值,再根据 ?ABC 面积公式得 bc 的值,从而求数量积 AB ? AC 13
2 2

的值;由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,代入已知条件 c ? b ? 1 及 bc 可求 a 的值。 【规范解答】由 cos A ?

12 12 2 5 且 A 为三角形内角,得 sin A ? 1 ? ( ) ? . 13 13 13

1 bc sin A ? 30 ,∴ bc ? 156 , 2 ??? ???? ? 12 ? 144 ; (1) AB ? AC ? bc cos A ? 156 ? 13
又 S?ABC =
2 2 2 (2) a ? b ? c ? 2bc cos A ? (c ? b) ? 2bc(1 ? cos A) ? 1 ? 2 ?156 ? (1 ?
2

12 ) ? 25 , 13

∴a ? 5。


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