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江西师大附中,临川一中2014届高三期末联考文科数学试卷(带解析)

时间:2014-03-11


江西师大附中,临川一中 2014 届高三期末联考文科数学试卷
1.在复平面内,复数

? 2 ? 3i ( i 是虚数单位)所对应的点位于( ) 3 ? 4i
D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 【答案】B 【解析】 试题分析:

? 2 ? 3i ? ?2 ? 3i ?? 3 ? 4i ? ?18 ? i ? 2 ? 3i ? ? ,故复数 ( i 是虚数单位)所对 3 ? 4i 3 ? 4i 25 25

应的点位于第二象限. 考点:复数的运算,复平面.

2 2.设集合 M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? x 2 ? 2 ,则 M ? CR N 等于( )
x

?

?

A. ?? 1,1? 【答案】C 【解析】

B. (?1,0)

C. ?1,3?

D. (0,1)

2 试 题 分 析 : M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ? x ? 1 ? x ? 3 , N ? x 2 ? 2 ? x x ? 1 ,
x

?

?

?

? ?

?

M ? CR N ? ? x 1 ? x ? 3? ,故答案选A.
考点:集合的运算. 3.已知 sin 2? ? A. ?

1 3

1 ? 2 ,则 cos (? ? ) ? ( ) 3 4 1 2 B. ? C. 3 3

D.

2 3

【答案】D 【解析】

?? ?? ? ? 1 1 ? cos 2 ? ? ? ? 1 ? cos ? 2? ? ? 1? 1 ? sin 2 ? ? 4? 2? ? ? 2 3 ? 2. ? ? ? 试题分析:cos (? ? ) ? 4 2 2 2 2 3
考点:三角恒等变形. 4.在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个三等 分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ? ( A.0 B. 【答案】D 【解析】 试题分析: 由题意可建立如图所示的坐标系, 可得 A ? 2, 0 ? , B ? 0, 2 ? , P ? , ? 或 P ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?
9 4

)
9 4

C. ?

D.4

?2 4? ?3 3?

?4 2? , ?, ?3 3?

故 可 得 CP ? ? , ?

??? ? ?2 4? ??? ? ?4 2? ??? ? ??? ? 或 CP ? ? , ? , CA ? ? 2,0 ? , CB ? ? 0, 2 ? , 所 以 ?3 3? ?3 3? ? ? ? ? ? ? ? ? , 故 C A ? C? B ,? 0 2 2 , 2 ?2 ? ? ? 0? , ?? ? ??? ? ??? ? ? ??? ?? 4 2? P CP?CA ? CB ? ? 2, 2 ? ? ?C , ? ? 4 ? ?3 3?

? C ?

?

?



?

B



?

?

??? ? ??? ? ??? ? ?2 4? CP CA ? CB ? ? 2, 2 ? ? ? , ? ? 4 ,故答案为:4. ?3 3?

?

?

考点:平面向量数量积的运算. 5.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若

a6 9 S ? ,则 11 =( ) S9 a5 11
D.

A.1 【答案】A 【解析】

B.-1

C.2

1 2

试题分析:由等差数列的运算性质可得,

S11 11a6 11 a6 11 9 ? ? ? ? ? ? 1 ,答案选A. S9 9a5 9 a5 9 11


考点:等差数列的运算性质. 6.已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图面积为(

A.

3 2

B.

3 4

C. 1

D.

1 2

【答案】B 【解析】 试题分析:由三棱锥的主视图与俯视图可知,该三棱锥的侧视图是一个两条直角边分别为

3 1 3 3 . ,1的直角三角形,故它的面积为 ? ?1 ? 2 2 2 4
考点:三视图. 7.函数 f ( x) ? 2x log0.5 x ?1的零点个数为( ) A.1 【答案】B 【解析】 B.2 C.3 D.4

试题分析:f ( x) ? 2x log0.5 x ?1的零点, 即方程 2x log0.5 x ?1 ? 0 的根, 即 2x log0.5 x ? 1,
x ?1? log0.5 x ? ? ? ?1? 即 ? 2 ? ,在同一坐标系中画出函数 y ? log0.5 x 与 y ? ? 2 ? 图象,由图象知这 ? ? x

两个函数图象有 2 个交点,即函数 f ( x) ? 2x log0.5 x ?1的零点个数为 2,故选 B.

考点:根的存在性及根的个数判断. 8.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( ) 2 2

A. ?2 B. 2 【答案】C 【解析】

C. 4

D. ?4

试题分析:双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点坐标为 ? 2, 0 ? ,抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 2 2

x2 y 2 p ? ? 1 的右焦点重合,即 ? 2 ,即 p ? 4 . 2 2 2
考点:抛物线的标准方程;双曲线的简单性质.

9.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? e x .若对任意的 x ? [a, a ? 1] ,不 等式 f ( x ? a) ? f 2 ( x) 恒成立,则实数 a 的最大值是( ) A. ?

3 2

B. ?

2 3

C. ?

3 4

D.2

【答案】C 【解析】 试题分析:由于 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? e x , f ? x ? ? e ,且
x 2 f ( x) 在 ?0, ??? 单 调 递 增 , f ? x ? ? e 2x

? f ? 2 x ? , f ( x ? a) ? f 2 ( x) , 即

f? x ?

? ? 2f ? ,可得 x ?a x ? a ? 2x ,解得 a ? x 或 a ? ?3x ,对任意的 x ?[a, a ? 1] ,不

等 式 f ( x ? a) ? f 2 ( x) 恒 成 立 , 即 a ? ? x ?max ? a ? 1 或 a ? ? ?3x ?min ? ?3a ? 3 , 解 得

3 3 a ? ? ,故实数 a 的最大值是 ? . 4 4
考点:奇偶性与单调性的综合,函数恒成立问题. 10.如图,半径为 1 的圆 M 切直线 AB 于 O 点,射线 OC 从 OA 出发绕着 O 点顺时针方向 旋转到 OB , 旋转过程中 OC 交⊙ M 于点 P , 记 ?PMO 为 x , 弓形 ONP 的面积 S ? f ( x) , 那么 f ( x) 的大致图象是 ( M x
N

)

C P A

O

B

y

y

y

y

?

?

?

?

?

?

2
O

2

?
A.

2?

x

O

?
B.

2?

x

O

?
C.

2?

x

O

?
D.

2?

x

【答案】A 【解析】 试题分析:由题意得 S ? f ? x ? ?

1 1 1 1 x ? sin x ,则 f ' ? x ? ? ? cos x ? 0 ,当 x ? 0 和 2 2 2 2

x ? 2? 时, f ' ? x ? ? 0 ,取得极值,则函数 S ? f ? x ? 在 ?0, 2? ? 上为增函数,当 x ? 0 和
x ? 2? 时,取得极值.结合选项,A 正确.故选 A.
考点:函数的图象与图象变化.

2 ? ?1 ? x , x ? 2 f ( x ? 2 ) ? 11.已知函数 ,则 f (1) ? ? ?x ? 2 , x ? 2 ?

.

【答案】10 【解析】
2 试题分析: x ? 2 ? 1 ,得 x ? 3 , f (1) ? 1 ? 3 ? 10 .

考点:分段函数求值. 12.运行如图所示的程序框图,若输入 n ? 4 ,则输出 S 的值为
开始

.

输入 n

i ? 0, S ? 1

i ≤n



S ? S ?i

i ? i ?1



输出S

结束

【答案】11 【解析】 试题分析:由图知运算规则是对 S=S+i,故若输入 n=4,则 第一次进入循环体后 S=0+1=1, 第二次进入循环体后 S=1+1=2, 第三次进入循环体后 S=2+2=4, 第四次进入循环体后 S=4+3=7, 第五次进入循环体后 S=7+4=11,此时 i=5,退出循环. 则输出 S 的值为 11 故答案为:11. 考点:算法框图. 13.如图,三棱锥 S-ABC 中,SA=AB=AC=2, ?ASB ? ?BSC ? ?CSA ? 30? ,M、N 分别为 SB、SC 上的点,则△AMN 周长最小值为 . S N M A B C

【答案】 2 2 【解析】 试题分析:沿着侧棱 SA 把正三棱锥展开在同一个平面内,原来的点 A 被分到两处 A, A ' ,

则 线 段 AA ' 的 长 度 即 为 ?AMN 周 长 的 最 小 值 . ?SAA ' 中 , SA ? SA ' ? 2 , ?ASB ? ?BSC ? ?CSA ? 30? ?A ' S ? 3 A ?3 0? ?9 , 故 , ∴

0?

AA ' ? SA2 ? SA '2 ? 4 ? 4 ? 2 2 ,故答案为 2 2 .
考点:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 14.已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 x , 若 f ( x 2 ? 4) ? 2 , 则实数 x 的取值范围 【答案】 (? 5,?2) ? (2, 5 ) 【解析】 试题分析:因为函数 f ( x) ? ln x ? 2 x 在定义域上单调递增,且 f ?1? ? ln1 ? 2 ? 2 ,故 .

f ( x 2 ? 4) ? 2 ,得 f ? x 2 ? 4 ? ? f ?1? ,所以 0 ? x2 ? 4 ? 1 ,解得实数 x 的取值范围为

(? 5,?2) ? (2, 5) .
考点:函数的单调性,解不等式.
2 2 15 . 若 实 数 a, b, c, d 满 足 ab ? 2, c ? 2d ? 0, 则 (a ? c) ? (b ? d ) 的 最 小 值



.

16 【答案】 5
【解析】

2 1 2 2 , d ? ? c , (a ? c) ? (b ? d ) 的最小值就是 a 2 2 1 1 函数 y ? 与 y ? ? x 的图像上两点间的最短距离的平方,做函数 y ? ? x 的平行线,与 x 2 2 2 2 2 函数 y ? 相切,此时平行线间距离,即为所求的最小值,对函数 y ? 求导得 y ' ? ? 2 , x x x 2 1 由导数的几何意义可知, ? 2 ? ? ,求得 x ? ?2 ,得切点为 ? 2,1? ,或 ? ?2, ?1 ? ,平行线 x 2 1 间距离即为切点到直线 y?? x 的距离,由点到直线距离公式可得, 2
试题分析:由 ab ? 2, c ? 2d ? 0 得, b ?

16 ? 2 ?1 ? 1? 2 ? 16 2 2 d ?? ? ? 5 ,故 (a ? c) ? (b ? d ) 的最小值为 5 . 5 ? ?
2

2

12

10

8

6

4

2

f?x? =

2 x

10

5

5

10

15

20

2

4

g?x? =

x 2

6

考点:求最值.
8

16.已知数列 ?log2 (an ? 1)? (n ? N ? ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9 .
10

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
12

(2)证明

1 1 1 ? ?…? ? 1. a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an

【答案】 (1) an ? 2n ? 1 ; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)求数列 ?an ? 的通项公式,因为数列 ?log 2 ( an ?1)?( n ? N ?) 为等差数列,设公 差 为 d , 由 a1 ? 3, a3 ? 9 得 2(log2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8 即 d ? 1 , 可 写 出 数 列

? ) ?l o 2g an(? ? 1n

? 的通 (2)证明 (N ) 项 公 式 , 从 而 可 得 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 ;

? ? 1 1 1 1 ? ?…? ? 1 ,关键是求数列 ? ? 的通项公式,由( 1 )知 a2 ? a 1 a 3? a 2 an ?1 ? an ? an ?1 ? an ?
an ? 2n ? 1 ,得

? ? 1 1 1 1 1 ? n ,这样数列 ? ? 是一个以 为首项,以 为公比的等 2 2 an ?1 ? an 2 ? an ?1 ? an ?

比数列,由等比数列的前 n 项和公式,求出和即可证出. 试题解析: (1)设等差数列的公差为 d, 由 a1 ? 3, a3 ? 9 得 2(log2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8 即 d=1; 所以 log2 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n 即 an ? 2n ? 1 . (2)证明: 3分 6分 8分

1 1 1 ? n?1 ? n n a n?1 ? a n 2 ?2 2

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1? 2? 3 所以 a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an 2 2 2
考点:等差数列的通项公式,等比数列求和. 17.如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 的大小等于 过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P.

1 1 1 ? n? 1 1 ? n ? 2 2 2 ?1? n ?1 1 2 2 1? 2

12 分

? ,半径为 2,在半径 OA 上有一动点 C, 3

(1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的长; (2)设 ?COP ? ? ,求 ?POC 面积的最大值及此时 ? 的值.

PC ?
【答案】 (1) 【解析】

3 ?1 ? 13 ? ?? S ( ? ) 6 时, 2 ; (2)当 取得最大值 3 .

试题分析: (1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的长,在 ?POC 中,由于 PC ? OB ,

?AOB ?

?
3 ,故

?OCP ?

2? 3 ,由已知可知 OP ? 2, OC ? 1 ,利用余弦定理求得 PC 的

值. ( 2 ) 设 ?COP ? ? , 求 ?POC 面 积 的 最 大 值 及 此 时 ? 的 值 , 由 题 意 可 知

?CPO ? ?POB ?

?
3

??

,利用正弦定理求得 CP 和 OC 的用 ? 的表达式,记 ?POC 的面

积 为 S (? ) , 则

S (? ) ?

1 2? CP ? OC s i n 2 3 ,利用两角和差的正弦公式化为

3 2 3 ? 3 ? ?? sin(2? ? ) ? 6 时, S (? ) 取得最大值为 3 . 3 6 3 ,可得
试题解析: (1)在 ?POC 中,

?OCP ?

2? 3 , OP ? 2, OC ? 1 ,由

OP 2 ? OC 2 ? PC 2 ? 2OC ? PC cos

2? 3 ? PC2 ? PC ? 3 ? 0

? PC ?

? 1 ? 13 2

5分

(2) CP 平行于 OB

? ?CPO ? ?POB ?

?
3

??

2 CP ? 2? s OP CP i n ? ? s i n 3 在 ?POC 中, 由正弦定理得 sin ?PCD sin ? , 即
OC sin( ? ? ) 3 又

? CP ?

4 3

sin ?

?

?

OP 2? OC ? 4 sin(? ? ? ) sin 3 3 3 , .
S (? ) ? 1 2? CP ? OC sin 2 3

8分

记 ?POC 的面积为 S (? ) ,则

?

4 ? 1 3 4 4 ? sin ? sin( ? ? ) ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 3 ? ? sin ? ? sin( ? ? ) ? 3 2 2 3 3 3 3 3 3

2 3 ? 3 sin(2? ? ) ? 6 3 , · = 3

10 分

?当

??

?

3 6 时, S (? ) 取得最大值 3 .

12 分

考点:余弦定理;两角和与差的正弦函数. 18.城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费;若太少又难以满足乘客需求.某市公 交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间作为样本分成 5 组, 如下表所示(单位:分钟) : 组别 一 二 三 四 五 候车时间 人数 2 6 4 2 1

[0,5)

[5,10) [10,15) [15, 20)

[20, 25]

(1)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (2)若从上表第三、四组的 6 人中任选 2 人作进一步的调查,求抽到的两人恰好来自不同 组的概率. 【答案】 (1)候车时间少于 10 分钟的人数为 32 人; (2)抽到的两人恰好来自不同组的概率 为

8 . 15

【解析】 试题分析: (1)根据 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟频数和为 8,可估计这 60 名乘客中 候车时间少于 10 分钟的人数; (2)将两组乘客编号,进而列举出所有基本事件和抽到的两 人恰好来自不同组的基本事件个数,代入古典概型概率公式可得答案.

2?6 8 ? 15 , 试题解析: (1)候车时间少于 10 分钟的概率为 15 60 ?
所以候车时间少于 10 分钟的人数为 (2)将第三组乘客编号为 以下基本事件:

4分

8 ? 32 15 人.

6分

a1 , a2 , a3 , a4 ,第四组乘客编号为 b1 , b2 .从 6 人中任选两人包含

(a1 , a2 ),(a1, a3 ),(a1, a4 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ) ,(a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ) ,
10 分

(a3 , a4 ),(a3 , b1 ),(a3 , b2 ) , (a4 , b1 ),(a4 , b2 ) , (b1 , b2 ) ,

8 其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 15 .

12 分

考点:频率分布表;古典概型及其概率计算公式. 19 . 如 图 , 在 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 正 方 形 , SA ? 底 面 ABCD , SA ? AD ? 1 ,点 M 是 SD 的中点, AN ? SC ,交 SC 于点 N .

(1)求证:平面 SAC ? 平面 AMN ; (2)求三棱锥 S ? ACM 的体积. 【答案】 (1)详见解析; (2) VS ? ACM ?

1 . 12

【解析】 试题分析: (1)求证:平面 SAC ? 平面 AMN ,证明两个平面垂直,只需证明一个平面过 另一个平面的垂线即可,注意到已知 AN ? SC ,可想到证明 SC ? 面 AMN ,只需证明 AM ? SC ,或 SC ? MN ,但 N 位置不确定,可考虑证 AM ? SC ,由已知点 M 是 SD 的中点,已知 SD ? AD ,故 AM ? SD ,而四棱锥 S ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形, SA ? 底面 ABCD ,故 CD ? 面 SAD ,这样能得到 AM ? 面 SDC ,从而得 AN ? SC , 问 题 得 证 ;( 2 ) 求 三 棱 锥 S ? ACM 的 体 积 , 由 于 M 是 SD 的 中 点 , 则

VS ?

A C M

?V

?D

A C M

? V

?

,这样转化为求 M D A C

VM ? DAC ,由图可知, VM ? DAC 容易求出.

试题解析: (1)∵ SA ? 底面 ABCD ,∴ SA ? CD 又 AD ? CD ∴ CD ? 面 SAD

∴ CD ? AM ······① 3分 又 SA ? AD ? 1 ,且 M 是 SD 的中点,∴ AM ? SD ·········② 由①②得 AM ? 面 SDC ∴ AM ? SC 又 AN ? SC ∴ SC ? 面 AMN ∴平面 SAC ? 平面 AMN 6分 (2)∵ M 是 SD 的中点,∴ VS ? ACM ? VD? ACM ? VM ? DAC . 9分 12 分

1 1 1 1 1 1 ?VS ? ACM ? S?ACD ? SA ? ? ? ? 3 2 3 2 2 12
考点:面面垂直,几何体的体积. 20.已知椭圆 C:

x2 y 2 ,两个焦点与短轴的一个端 ? ? 1 ?a ? b ? 0? 的一个焦点是(1,0) a 2 b2

点构成等边三角形. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,设点 A 关于 x 轴的 对称点为 A1.求证:直线 A1B 过 x 轴上一定点,并求出此定点坐标.

x2 y 2 ? ?1 3 【答案】 (1) 4 ; (2)定点 T (1,0) .
【解析】 试题分析: (1)求椭圆 C 的方程,由题意,焦点坐标为 ?1,0 ? ,可求得 c ,再根据椭圆两个 焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.由等边三角形的性质,可求得 a 和 c 的关系式,可 求得 a ,进而求得 b ,则椭圆的方程可得; (2)求证:直线 A 1B 过 x 轴上一定点,并求出此 定点坐标. 这是过定点问题, 这类题的处理方法有两种, 一. 可设出直线方程为 y ? kx ? m , 然后利用条件建立 k , m 等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.二.从特殊情 况入手,先探求定点,再证明与变量无关.本题可设直线 l 的方程为: x ? my ? 4 ,与椭圆

x2 y 2 ? ?1 A (x1 , y1) B (x2 , y2) 3 方程 4 联立消去 x ,设出 , ,则可利用韦达定理求得
y1 ? y2 ? ?24m 36 y1 y2 ? 2 3m ? 4 和 3m 2 ? 4 的表达式,根据 A 点坐标求得关于 x 轴对称的点 A1 的

坐标,设出定点

T ? t ,0?

k ,利用 TB

? kTA1

求得 t ,从而得证.

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 ?a ? b ? 0? 的一个焦点是(1,0) 试题解析: (1)椭圆 C: ,所以半焦距 c ? 1 ,

c 1 ? 又因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形,所以 a 2 ,解得 a ? 2, b ? 3 ,

x2 y 2 ? ?1 3 所以椭圆 C 的标准方程为 4 ; ·

5分

x2 y 2 ? ?1 3 (2)设直线 l : x ? my ? 4 与 4 联立并消去 x 得:

(3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 . A (x1 , y1) B (x2 , y2) , ,
36 3m 2 ? 4 . y1 ? y2 ? ?24m 3m 2 ? 4 ,



y1 y2 ?

8分

由 A 关于 x 轴的对称点为

A1 ,得 A1 ( x1 , ? y1 ) ,根据题设条件设定点为 T ( t ,0) ,

k 得 TB

y2 y ? 1 ? kTA1 x ? t t ? x1 . ,即 2

t?
所以

x2 y1 ? y2 x1 (4 ? my2 ) y1 ? (4 ? my1 ) y2 2my1 y2 ? ? 4? ? 4 ?3 ?1 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2
13 分

即定点 T (1,0).

考点:椭圆的简单性质;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.

?? x3 ? x 2 ? bx ? c, x ? 1 21. 已知函数 f ( x) ? ? 的图像过坐标原点 O , 且在点 (?1, f (?1)) 处 ?a ln x, x ? 1
的切线斜率为 ?5 . (1)求实数 b, c 的值; (2) 求函数 f ( x) 在区间 [ ?1,1] 上的最小值; (Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 的图像上存在两点 P, Q ,使得对于任意给定的正实数 a 都满足

?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,且三角形斜边中点在 y 轴上,求点 P 的横坐标的

取值范围. 【答案】 ( 1 ) b ? 0, c ? 0 ; ( 2 ) f ( x)min ? 0 ; ( Ⅲ ) 点 P 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 为

(??, ?1) ? (1, ??) .
【解析】 试题分析: (1)求实数 b, c 的值求导数,根据函数在点 (?1, f (?1)) 处的切线的斜率是 ?5 , 由 导 数 的 几 何 意 义 , 及 当 x ? 1 时 , f ( x) ? ? x3 ? x2 ? bx ? c , 对 函 数

f ( x) ? ? x3 ? x2 ? bx ? c 求导数得, f ?( x) ? ?3x2 ? 2 x ? b ,依题意 f ?(?1) ? ?5 ,可求出
b ? 0 ,又因为图象过坐标原点,则 f (0) ? 0 ,即可求得实数 c 的值; (2)求函数 f ( x) 在

] 的 最 小 值 , 当 x ? 1 时 , f ( x) ? ? x3 ? x2 , 对 函 数 f ( x) 求 导 函 数 区 间 [ ? 1 , 1上

f ?( x) ? ?3x2 ? 2 x ,令 f ?( x) ? 0 ,解出 x 的值,确定函数的单调性,计算导数等零点与端
点的函数值, 从而可得函数 f ( x) 在区间 [ ?1,1] 上的最小值; (Ⅲ) 设 P( x1 , f ( x1 )) , 因为 PQ 中点在 y 轴上,所以 Q(? x1 , f (? x1 )) ,根据 OP ? OQ ,可得

f ( x1 ) f (? x1 ) ? ? ?1,分类讨 x1 ? x1

论,确定函数的解析式,利用

f ( x1 ) f (? x1 ) ? ? ?1,即可求得结论. x1 ? x1
3 2
2

? 试题解析: (1)当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x ? x ? bx ? c ,? f ( x) ? ?3x ? 2 x ? b
2 依题意 f ?(?1) ? ?5 , ?3(?1) ? 2(?1) ? b ? ?5,?b ? 0

又 f (0) ? 0,? c ? 0

故 b ? 0, c ? 0
3 2 2

3分

(2)当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x ? x , f ?( x) ? ?3x ? 2 x 令 f ?( x) ? 0, 有 x1 ? 0, x2 ?

2 2 ,故 f ( x) 在 (?1, 0) 单调递减;在 (0, ) 单调递增; 3 3

在 ( ,1) 单调递减.又 f (0) ? 0, f (1) ? 0 , 所以当 x ? [ ?1,1] 时, f ( x)min ? f (0) ? 0 6分

2 3

(Ⅲ)设 P( x1 , f ( x1 )) ,因为 PQ 中点在 y 轴上,所以 Q(? x1 , f (? x1 )) 又? OP ? OQ,?

f ( x1 ) f (? x1 ) ? ? ?1 x1 ? x1



(ⅰ)当 x1 ? 1 时, f ( x1 ) ? 0 ,当 x1 ? ?1 时, f (? x1 ) ? 0 .故①不成立 7 分
3 2 3 2 (ⅱ)当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x1 ) ? ? x1 ? x1 , f (? x1 ) ? x1 ? x1 代人①得:

? x13 ? x12 x13 ? x12 ? ? ?1,? (? x13 ? x12 )( x13 ? x12 ) ? x12 , x1 ? x1

? x14 ? x12 ? 1 ? 0 无解
3 2

8分

(ⅲ)当 x1 ? 1 时, f ( x1 ) ? a ln x1 , f (? x1 ) ? x1 ? x1 代人①得:

a ln x1 x13 ? x12 1 ? ? ?1 ? ? ( x1 ? 1) ln x1 x1 ? x1 a



设 g ( x1 ) ? ( x1 ? 1) ln x1 ( x1 ? 1) ? g ?( x1 ) ? ln x1 ?

x1 ? 1 ? 0 ,则 g ( x1 ) 是增函数. x1
10 分

? g (1) ? 0,? g ( x1 ) 的值域是 (0, ??) .

所以对于任意给定的正实数 a ,②恒有解,故满足条件. (ⅳ)由 P, Q 横坐标的对称性同理可得,当 x1 ? ?1 时, f ( x1 ) ? ? x1 ? x1
3 2

f (? x1 ) ? a ln(? x1 ) ,代人①得:

a ln(? x1 ) ? x13 ? x12 1 ? ? ?1 ? ? (? x1 ? 1) ln(? x1 ) ③ ? x1 x1 a
设 h( x1 ) ? (? x1 ? 1)ln(? x1 )( x1 ? ?1) ,令 t ? ?x ,则 ? (t ) ? (t ? 1) ln t , t ? 1 由上面知

? (t ) 的值域是 (0, ??) ? h( x1 ) 的值域为 (0, ??) .
所以对于任意给定的正实数 a ,③恒有解,故满足条件。 12 分 14 综上所述,满足条件的点 P 的横坐标的取值范围为 (??, ?1) ? (1, ??) 分 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.


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