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新课标高考数学理一轮复习课件:4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式_图文

时间:2014-08-05

1.同角三角函数的基本关系 sin2α+cos2α=1 (1)平方关系:_______________.
sin α =tan α cos α (2)商数关系:____________.

2.填表 函数 角 -α π- α π+ α sin cos cos α _____ tan

- sin α ______ sin α _____
______ - sin α -sin α ______ sin α ____

- tan α ______
-tan α _______ tan α _____ -tan α _______ tan α _____

- cos α ______ - cos α _______ _____ cos α cos α _____

2π-α 2π+α

3.余角函数关系 ?π ? ?π ? ____ , α sin?2-α?= cos α cos? -α?= sin ____. 2 ? ? ? ? ?π ? ?π ? ? ? ____ , cos α + α sin 2 = -sin α cos?2+α?= ______. ? ? ? ?

? 11 ? 1.sin?- 6 π?= ? ?

(

)

1 3 3 B. C.- D. 2 2 2 ? 11 ? ? 1 ? π 1 解析:sin?- 6 π?=sin?-2π+6π?=sin = . 6 2 ? ? ? ? 答案 B

1 A.- 2

2.已知

?π ? 4?3π ? sin?2+α?= ? 2 <α<2π?,则 ? ? 5? ?

?π ? cos?2+α?的值是 ? ?

( 3 A. 4 3 B. 5 1 C. 2

)

2 D. 5 ?π ? 4 3π ? ? 解析:因为 sin 2+α =cos α= ,又 <α<2π,所以 5 2 ? ?
?π ? 3 3 ? ? sin α=- ,cos 2+α =-sin α= .故选 B. 5 5 ? ? 答案 B

π π 3.若 sin α=cos β,- <α< ,0<β<π,则 α+β 的 2 2 值为 3π A. 2 ( )

π B.π C. D.0 2 ?π ? π ? ? - β 解析:由 sin α=cos β=sin 2 ,故 α+β= +2kπ(k 2 ? ?

π π π 3π ∈Z),又- <α< ,0<β<π,故- <α+β< ,所以 k 2 2 2 2 π =0,则 α+β= . 2 答案 C

1 4.已知 sin(α+30° )= ,60° <α<150° ,则 sin(15° - α) 2 =________. 解析:因为 60° <α<150° ,所以 90° <α+30° <180° ,

1 -135° <15° -α<-45° .又 sin(α+30° )= , 2 3 则 cos(α+30° )=- . 2 2? 3 1? 所以 sin(15° -α)=sin[45° -(α+30° )]= ?- - ? 2 ? 2 2? 6+ 2 =- . 4 6+ 2 答案:- 4

1.掌握三角函数的三种基本题型. (1)求值题型.已知任意角的正弦、余弦、正切中 的一个求其他两个,应特别注意开方运算时根号前正负 号的选取,应根据题设条件是否指明角所在的象限,确 定最后结果是一组解还是两组解. (2)化简三角函数式.化简是一种不指明答案的恒 等变形.三角函数化为最简形式的标准是相对的,一般 是指函数种类要最少,项数要最少,函数次数尽量低, 能求出数值的要求出数值,尽量使分母不含三角形式和 根式.

(3)证明简单的三角恒等式,一般方法有三种:由繁 杂的一边证到简单的一边;证明左右两边等于同一个式 子;证明与原恒等式等价的式子,从而推出原式成立. 2.在计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧: (1)“1”的代换. (2)切化弦.利用商数关系把正切化为正弦或余弦函 数. (3)整体代替.将计算式适当变形,使条件可以整体 代入,或将条件适当变形,找出与算式之间的关系.

3.应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负 号”的正确判断.求任意角的三角函数值的问题,都可以 通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题.具体步骤为 负角化正角→正角化锐角→求值. 4.使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限 的符号,特别是在具体题目中出现类似kπ±α的形式时, 需要对k的取值进行分类讨论,从而确定出三角函数值的 正负. 5.必须熟记一些特殊角的三角函数值,做到“见角 知值,见值知角”.

同角三角函数的求值 2 5 π 【案例 1】 已知 sin α= , <α<π,求 tan α. 5 2 sin α 关键提示:先求出 cos α 的值,再利用 tan α= 求值. cos α π 5 2 2 解:由 sin α+cos α=1, <α<π 得 cos α=- , 2 5

考点一

sin α 所以 tan α= =-2. cos α

【即时巩固 1】

1 已知 sin(π+α)= ,求 sin(2π-α)- 2

1 · cos α 的值. tan?α-π? 分析:先对条件和结论利用诱导公式化简,转化为角α 的三角函数,再利用同角三角函数的基本关系式代入求值. 1 1 解:因为 sin(π+α)=-sin α= ,所以 sin α=- , 2 2 1 所以 sin(2π-α)- · cos α tan?α-π? cos?π-α? =-sin α+ · cos α sin?π-α? cos2α =-sin α- sin α sin2α+cos2α 1 =- =- =2. sin α sin α

考点二

利用同角三角函数关系式及诱导公式进行 已知sin(α-π)=2cos(2π-α),求证:

证明
【案例2】
sin?π-α?+5cos?2π-α? 3 =- . 5 3cos?π-α?-sin?-α? 关键提示:先化简已知等式,找出sin α与cos α的关 系式,再代入等式左边进行化简求值.

证明:因为sin(α-π)=2cos(2π-α), 所以-sin α=2cos α, 即sin α=-2cos α,
sin α+5cos α -2cos α+5cos α 所以左边= = -3cos α+sin α -3cos α-2cos α 3cos α 3 = =- =右边, 5 -5cos α sin?π-α?+5cos?2π-α? 3 所以 =- . 5 3cos?π-α?-sin?-α?

? ? π? 3 π? 【即时巩固 2】 已知 sin?α+4 ?= , 求 cos?α-4 ?的值. ? ? 5 ? ? ? ?π ? ?π ? 3 π? 解:cos?α-4 ?=cos?4-α?=sin?4+α?= . ? ? ? ? ? ? 5

考点三

利用方程的思想解决三角问题
π 1 已知- <x<0,sin x+cos x= . 2 5

【案例 3】

(1)求 sin x-cos x 的值; sin 2x+2sin2x (2)求 的值. 1-tan x 关键提示:(1)(sin x± cos x)2=1± sin 2x,从而 sin x+cos

x 与 sin x-cos x 通过平方关系可相互转化. (2)由(1)得到 sin x-cos x 的值后, 只需运用 sin 2x=2sin sin x xcos x 及 tan x= ,即可化简. cos x

1 解:(1)由 sin x+cos x= ,平方得 5 1 2 2 sin x+2sin xcos x+cos x= , 25 24 所以 2sin xcos x=- . 25 49 所以(sin x-cos x) =1-2sin xcos x= . 25 π 因为- <x<0, 2
2

所以 sin x<0,cos x>0,sin x-cos x<0, 7 故 sin x-cos x=- . 5

sin 2x+2sin2x 2sin x?cos x+sin x? (2) = sin x 1-tan x 1- cos x 2sin xcos x?cos x+sin x? = cos x-sin x -24 1 × 25 5 24 = =- . 7 175 5

【即时巩固 3】

已知 α 和 α 是关于 x 的一元二次方

程 2x2+( 2+1)x+m=0 的两个根, 试求 sin4α+cos4α 的值.

分析:首先化简所给三角函数式,然后结合韦达定理 求值. 解:sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α =1-2(sin αcos α)2,

2+1 由韦达定理可得 α+ α=- , 2
2 m ? α+ α? -1 2 2-1 α α= = = , 2 2 8

2 2-1 所以 m= . 4 2 2-1 于是原方程化为 2x +( 2+1)x+ =0, 4
2

2 2-1 其判别式 Δ=( 2+1) -4×2× 4
2

=5-2 2>0, 23+4 2 所以方程存在实根,所以原式= . 32


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