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高中数学必修1到5知识点汇总

时间:2018-07-01


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高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 集合的含义 集合的中元素的三个特性: 元素的确定性如:世界上最高的山 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ ? } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 列举法:{a,b,c……} 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} Venn 图: 4、集合的分类: 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同一集合。 ;

? ? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A
2. “相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 三、集合的运算 运算 类型 交 集 并 集 补 集 B(或 B A)

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定 义

由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集.记作 A ? B (读作‘A 交 B’, )

由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合,叫做 A,B 的并集.记作: A ? B(读作‘A 并

设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中 所有不属于 A 的元素组 成的集合,叫做 S 中子 集 A 的补集(或余集) 记作

CS A

即 A ? B= {x|x ? A, B ’), 即 A ? B 且 x ? B} . 韦 恩 图 示 性
A B

,即

{x | x ? S , 且x ? A} ={x|x ? A, x ? B}). CSA= 或
A B

S A

图1

图2

A ? A=A A ? Φ =Φ

A ? A=A A ? Φ =A A ? B=B ? A A? B ?A A? B ?B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ .



A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个 3.若集合 M={y|y=x2-2x+1,x ? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A=

? x 1 ? x ? 2? ,B= ? x x ? a? ,若 A ? B,则 a 的取值范围是

5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化学实验做得正确得有 31 人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合 M= . 7. 已 知 集 合 A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若 B∩C≠Φ ,A∩C=Φ ,求 m 的值

二、函数的有关概念

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1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集 合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函 数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有 意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标 的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足函 数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法 描点法: 图象变换法 常用变换方法有三种 平移变换 伸缩变换 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) :A(原象) ? B(象) ” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足:

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(1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单 调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就 说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 1 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 2 ○ 变形(通常是因式分解和配方) 3 ; ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) 4 ; ○ 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) 5 . (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律: “同增 异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其 并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函 数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤:

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○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 1 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 2 ○作出相应结论: f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0, f(x)是偶函数; f(-x) =-f(x) 或 3 若 则 若 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 首先看函数的定义域是否关 于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出 它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 凑配法 待定系数法 换元法 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 1 ○ 利用图象求函数的最大(小)值 2 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 3 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最小值 f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域:
y? x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

y ? 1? (




x ?1 2 ) x ?1

2 2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x ) 的定义域为_ _

3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2 ,3] ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是
? x ? 2( x ? ?1) ? f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ?2 x( x ? 2) ?

4.函数

,若 f ( x) ? 3 ,则 x =

5.求下列函数的值域:
2 ⑴ y ? x ? 2 x ? 3 ( x ? R)
2 ⑵ y ? x ? 2 x ? 3 x ? [1, 2]

(3) y ? x ? 1 ? 2 x

2 (4) y ? ? x ? 4 x ? 5

2 6.已知函数 f ( x ? 1) ? x ? 4 x ,求函数 f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式

7.已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x) =



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3 8.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? x ) ,则当 x ? (??, 0) 时 f ( x) =

f ( x) 在 R 上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:
2 ⑴ y ? x ? 2x ? 3

2 ⑵ y ? ?x ? 2x ? 3



y ? x2 ? 6 x ?1

3 10.判断函数 y ? ? x ? 1的单调性并证明你的结论.

f ( x) ?

11.设函数

1? x2 1 f ( ) ? ? f ( x) 1 ? x 2 判断它的奇偶性并且求证: x .

第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N *.
n
n 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 0 ? 0 。

?a (a ? 0) a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0) 当 n 是奇数时, a ? a ,当 n 是偶数时,
n
n n

2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m n

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ,

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r r r ?s

(a ? 0, r, s ? R) ;
(a ? 0, r, s ? R) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs

(3) (ab) ? a a
r

s

(a ? 0, r, s ? R) .

(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,
x

函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1

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6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ;
x

(2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;
x

二、对数函数 (一)对数
x 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,

记作:

x ? log a N

( a — 底数, N — 真数,

log a N

— 对数式)

说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 1 ○ 2

a x ? N ? log a N ? x



○ 注意对数的书写格式. 3 两个重要对数: ○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 1

loga N

○ 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ?为底的对数的对数 ln N . 2 指数式与对数式的互化 幂值 真数

a b = N ? log a N = b

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底数 指数 (二)对数的运算性质 对数

如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: ○ 1

log a ( M

· N) ?

log a M



log a N



○ 2 ○ 3

log a

M ? N log a M - log a N ;
(n ? R) .

log a M n ? n log a M

注意:换底公式

log a b ?

log c b log c a ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) .

利用换底公式推导下面的结论

(1)

log a m b n ?

1 n log a b ? log a b log b a . m ; (2)

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数

y ? log a x(a ? 0

,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,

函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: y ? 2 log 2 x , 1
y ? log 5 x 5 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 2 2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2

0<a<1
3 2.5 2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过定点(1,0) (三)幂函数

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)

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1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向 原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限 地逼近 x 轴正半轴. 例题: 1. 已知 a>0,a 0,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是 ( )

?

log 3 2 ? log 27 64 2.计算: ①

;② 2

4?log2 3

=

; 25

1 log5 3

27 ? 2 log5 2

=

;



0.064

?1 3

1 7 ?4 ? (? ) 0 ? [( ?2)3 ] 3 ? 16 ?0.75 ? 0.01 2 8

=

1

3.函数 y=log 2 (2x2-3x+1)的递减区间为 4.若函数 f ( x) ? log a x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a= 5.已知
f ( x) ? log a 1? x (a ? 0且a ? 1) 1? x , (1)求 f ( x) 的定义域(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围

第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)( x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数

y ? f ( x)( x ? D) 的零点。
2、 函数零点的意义: 函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f (x) 的 图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零 点.

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3、函数零点的求法: ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 1 ○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的图象联系起来,并 2 利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) .
2

(1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,
2

二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,
2

二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无
2

零点. 5.函数的模型 收集数据

画散点图

不 符 合 实 际

选择函数模型

求函数模型

检验 符合实际 用函数模型解释实际问题

顺德成才辅导教育 高一数学必修 2 知识点 1、圆柱是由矩形旋转得到,圆锥是由直角三角形旋转得到,圆台是由直角梯形旋转得到,球是由半圆旋转 得到. 2、中心投影的投影线相交于一点,平行投影的投影线互相平行. 3、圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆;圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆和 圆心;圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆;球的三视图都是圆. 4、空间几何体的表面积: (1)直棱柱的侧面展开图是矩形;设棱柱的高为

h

,底面多边形的周长为 c ,则直棱柱的侧面积

S直棱柱侧面积 ? ch ;
(2)正棱锥的侧面展开图是全等的等腰三角形;设正棱锥底面正多边形的边长为 a ,底面周长为 c ,斜高 为 h? ,则正 n 棱锥的侧面积 S正棱柱侧面积

?

(3)正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形;设正 n 棱台的上底面、下底面边长分别为 a? 、 a ,对应的 周长分别为 c? 、 c ,斜高为 h? ,则正 n 棱台的侧面积

1 1 nah ' ? ch ' ; 2 2

S

正棱台侧面积

1 1 ? n ? a? ? a ? h? ? ? c? ? c ? h? ; 2 2

(4)圆柱的侧面展开图是矩形;设圆柱的底面半径为 r ,母线长为 l ,则圆柱的底面面积为 ? 为 2? rl ,圆柱的表面积

r

2

,侧面积

S

圆柱表面积

? 2? r ? r ? l ? ;

(5)圆锥的侧面展开图是扇形;设圆锥的底面半径为 r ,母线长为 l ,则圆锥的侧面积为 ? rl ,表面积

S

圆锥表面积

? ? r ? r ? l? ;

(6)圆台的侧面展开图是扇环;设圆台的两底面半径分别为 r ? 、 r ,母线长为 l ,则圆台的侧面积为

? ? r ? ? r ? l ,表面积 S圆台表面积 ? ? (r '2 ? r 2 ? r ' l ? rl ) ;
(7)设球的半径为 R ,则球的表面积 S表面积 5、空间几何体的体积: (1)设柱体(棱柱、圆柱)的底面积为 S ,高为 h ,则柱体的体积

? 4? r 2 .

V

柱体

? Sh ;

(2)设锥体(棱锥、圆锥)的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积 (3)设台体(棱台、圆台)的上、下底面积分别为

V


锥体

1 ? Sh ; 3
,高为

S?

S

h

,则台体的体积

V

台体

1 ? h S? 3

?

? S S? ?S ;

?

(4)设圆柱的底面半径为 r ,高为 h ,则圆柱的体积

V

圆柱

? ? r 2h ;

(5)设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,则圆锥的体积

V

圆锥

1 ? ? r 2h ; 3

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(6)设圆台的上、下底面半径分别为 r ? 、 r ,高为 h ,则圆台的体积

V

圆台

2 1 ? ? h r 2 ? rr ? ? r / 3

?

?



(7)设球的半径为 R ,则球的体积

V



4 ? ? R3 . 3

6、平面的特征:平的,无厚度,可以无限延展. 7、平面的基本性质: 公理 1、如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 数学符号表示: ?? l , ?? l , ??? , ?? ?

?l ??

公理 2、过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 数学符号表示: ?, ?, C三点不共线 ? 有且只有一个平面? , 使?? ? , ?? ? , C ? ? 公理 3、如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 数学符号表示: ?? ? ? ?

? ? ? ? ? l且?? l

推论 1、经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面. 推论 2、经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3、经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理 4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. 数学符号表示: a // b, b // c ? a // c 8、等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 9、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 数学符号表示: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? 直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直 线平行. 数学符号表示: a // ? , a ? ? , ? ? ?

? b ? a // b

10、平面与平面平行的判定定理: (1)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 数学符号表示: a ? ? , b ? ? , a ? b ? ?, a // ? , b // ? (2)垂直于同一条直线的两个平面平行. 数学符号表示: a ? ? , a ? ?

? ? // ?

? ? // ?

(3)平行于同一个平面的两个平面平行. 数学符号表示: ? // ? , ?

// ? ? ? // ?

平面与平面平行的性质定理: (1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平 面. 数学符号表示: ? // ? , a ? ?

? a // ?

顺德成才辅导教育 (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 数学符号表示: ? // ? , ? ? ?

? a, ? ? ? ? b ? a // b

11、直线与平面垂直的判定定理: (1)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面 垂直. 数学符号表示: m ? ? , n ? ? , m ? n ? ?, l

? m, l ? n ? l ? ?

(2)如果两条平行直线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 数学符号表示: a // b, a ? ?

?b ??

(3)如果一条直线垂直于两个平行平面中一个,那么该直线也垂直于另一个平面. 数学符号表示: ? // ? , a ? ?

?a??

直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 数学符号表示: a ? ? , b ? ?

? a // b

12、两个平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 数学符号表示: a ? ? , a ? ?

?? ? ?

平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 数学符号表示: ?

? ? ,? ? ? ? b, a ? ? , a ? b ? a ? ?
?

14、求异面直线所成的角( 0

? ? ? 90? )的步骤:

(1)选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线. (2)将这个角放入某一个三角形中. (3)在这个三角形中,计算这个角的大小,若该三角形为直角三角形,等腰三角形等特殊三角形,便易求 此角大小. 15、求直线与平面所成的角( 0
?

? ? ? 90? )的步骤:

(1)在斜线上找适当的点,过该点作平面的垂线,连结垂足和斜足,则斜线与射影的夹角就是直线与平面所成 的角. (2)将这个角放入某一个三角形中. (3)在这个三角形中,计算这个角的大小,若该三角形为直角三角形,等腰三角形等特殊三角形,便易求 此角大小. 16、求二面角的平面角( 0
?

? ? ? 180? )的步骤:

(1)在二面角的棱上找适当的点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角,即为二 面角的平面角. (2)将这个角放入某一个三角形中. (3)在这个三角形中,计算这个角的大小,若该三角形为直角三角形,等腰三角形等特殊三角形,便易求 此角大小.

17、直线的倾斜角和斜率:

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(1)设直线的倾斜角为 ?

?0

?

?? ? ? ? ? 180? ? ,斜率为 k ,则 k ? tan ? ? ? ? ? . 2? ?

当?

?

? 时,斜率不存在. 2
?

(2)当 0

? ? ? 90? 时, k ? 0 ;当 90? ? ? ? 180? 时, k ? 0 .
? y2 ? y1 ( x2 ? x1 ) . x2 ? x1

(3)过 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) 的直线斜率 k 1 2 18、两直线的位置关系: 两条直线 l1 : (1) l1 ∥ l 2 (2) l1

y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 斜率都存在,则:

? k1 ? k2 且 b1 ? b2

? l2 ? k1 ? k2 ? ?1(当 l1 的斜率存在 l 2 的斜率不存在时 l1 ? l2 )

(3) l1 与 l 2 重合 ?

k1 ? k2 且 b1 ? b2

19、直线方程的形式: (1)点斜式: y ?

y0 ? k ? x ? x0 ? (定点,斜率存在)

(2)斜截式: y ? kx ? b (斜率存在,在

y 轴上的截距)

(3)两点式:

y ? y1 x ? x1 ? ( y2 ? y1 , x2 ? x1 ) (两点) y2 ? y1 x2 ? x1

(4)截距式:

x y ? ? 1 (在 x 轴上的截距,在 y 轴上的截距) a b
? 0??? A2 ? B 2 ? 0 ?

(5)一般式: ?x ? ?y ? C 20、直线的交点坐标: 设 l1 : A1 x ? B1 y ? c1

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? c2 ? 0 ,则联立方程组 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

(1)当方程组有惟一解时,两条直线相交,此解是交点的坐标; (2)当方程组无解时,两条直线平行; (3)当方程组有无数组解时,两条直线重合. 设 l1 : A1 x ? B1 y ? c1

? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? c2 ? 0 ,则:
? A1 B1 ? A2 B2
; 2) (

(1)

l1



l2

相交

l1



l2

?

A1 B 1 C ? ? A2 B 2 C

1 2

; 3) (

l1



l2

重合

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?

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

.

21、两点 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) 间的距离公式 1 2 原点 ?

P P2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 1

? 0, 0 ? 与任一点 ? ? x, y ? 的距离 OP

? x2 ? y 2

22、点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : ?x ? ?y ? C 0

? 0 的距离 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

(1)点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : ?x ? C ? 0 的距离 d 0

?

Ax0 ? C A By0 ? C B
C A2 ? B 2 C1 ? C2 A2 ? B 2

(2)点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : ?y ? C ? 0 的距离 d 0

?

(3)点 ?

? 0,0? 到直线 l : ?x ? ?y ? C ? 0 的距离 d ?

23、两条平行直线 ?x ? ?y ? C1

? 0 与 ?x ? ?y ? C2 ? 0 间的距离 d ?

24、过直线 l1 :

A1 x ? B1 y ? c1 ? 0 与 l2 : A2 x ? B2 y ? c2 ? 0 交点的直线方程为

( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? c2 ) ? 0 ? ? ? R ?
25、与直线 l : ?x ? ?y ? C 与直线 l : ?x ? ?y ? C

? 0 平行的直线方程为 ?x ? ?y ? D ? 0 ? C ? D ?

? 0 垂直的直线方程为 ?x ? ?y ? D ? 0

26、中心对称与轴对称:

x1 ? x2 ? ? x0 ? 2 ? (1)中心对称:设点 P( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ) 关于点 M ( x0 , y0 ) 对称,则 ? ? y ? y1 ? y2 ? 0 ? 2
(2)轴对称:设 P( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ) 关于直线 l : ?x ? ?y ? C

? 0 对称,则:

a、 B ? 0 时,有

x1 ? x2 C ? ? 且 y1 ? y2 ; 2 A y1 ? y2 C ? ? 且 x1 ? x2 2 B

b、 A ? 0 时,有

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? y1 ? y2 B ?x ?x ? A ? 1 2 c、 A ? B ? 0 时,有 ? ? A ? x1 ? x2 ? B ? y1 ? y2 ? C ? 0 ? ? 2 2
27、圆的标准方程: ( x ? a) 圆心 O
2

? ( y ? b)2 ? r 2 (圆心 A ? a, b ? ,半径长为 r )

? 0, 0 ? ,半径长为 r 的圆的方程 x 2 ? y 2 ? r 2 。
2

28、点与圆的位置关系: 设圆的标准方程 ( x ? a)

? ( y ? b)2 ? r 2 ,点 M ( x0 , y0 ) ,则:
? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 ; ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 ; ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 .

(1)当点 ? 在圆上时, ( x0 (2)当点 ? 在圆外时, ( x0 (3)当点 ? 在圆内时, ( x0 27、圆的一般方程: x
2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ?
为半径的圆;

(1)当 D

2

1 ? D E? ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示以 ? ? , ? ? 为圆心, D2 ? E 2 ? 4F 2 ? 2 2?

(2)当 D

2

? D E? ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点 ? ? , ? ? ; ? 2 2?
? E 2 ? 4F ? 0 时,不表示任何图形.

(3)当 D

2

28、直线与圆的位置关系: 设直线 l : ?x ? ?y ? C

? 0 与圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,圆心到直线的距离 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2



方程组 ?

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 2 ?( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r

, ? 为方程组消去一元后得到的方程的判别式,则:

(1)相交 ? d

? r ? ? ? 0 ? 方程组有两组实数解; (2)相切 ? d ? r ? ? ? 0 ? 方程组有一组实数解; (3)相离 ? d ? r ? ? ? 0 ? 方程组无实数解.
29、圆与圆的位置关系: 设圆 C1 的半径为 r1 ,圆 C2 的半径为 r2 ,则: (1) ? (3)?

C1 与 ? C2 相离 ? C1C2 ? r1 ? r2 ;

(2) ?

C1 与 ? C2 相切 ? C1C2 ? r1 ? r2 ;


C1 与 ? C2 相交 ? r1 ? r2 ? C1C2 ? r1 ? r2 ;(4)? C1 与 ? C2 内切 ? C1C2 ? r1 ? r2

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(5) ?

C1 与 ? C2 内含 ? C1C2 ? r1 ? r2

. 与

30 、 过 两 圆

x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0

x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0

交点的圆的方程

( x 2 ? y 2 ? D x? E y? ) 1 ? ( 2 x ? 2 y ? 2D x 2 E ? 2 F 0? ? ? 1). F ? ? y) ? ( 1 1
当?

? ?1 时,即两圆公共弦所在的直线方程.

31、点 ?

? a, b, c ? 关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标: ? a, b, ?c ? ; (2)关于 xoz 平面的对称点坐标为 ? a, ?b, c ? ;
? ?a, b, c ? ; (4)关于 x 轴的对称点坐标为 ? a, ?b, ?c ? ;
(6)关于 z 轴的对称点坐标为

(1)关于 xoy 平面的对称点坐标为 (3)关于 yoz 平面的对称点坐标为 (5)关于

y 轴的对称点坐标为 ? ? a, b, ?c ? ;

? ? a , ?b, c ? ;

(7)关于原点的对称点坐标为

? ?a, ?b, ?c ? ;
P P2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 1
. ,

32 点 P ( x1 , y1 , z1 ) , P ( x2 , y2 , z2 ) 间的距离 1 2 点 P (0, 0, 0) , P ( x, y, z ) 间的距离 1 2

P P2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 1

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必修 3 数学知识点
第一章:算法 1、算法三种语言: 自然语言、流程图、程序语言; 2、算法的三种基本结构: 顺序结构、选择结构、循环结构 3、流程图中的图框: 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法; 4、循环结构中常见的两种结构: 当型循环结构、直到型循环结构 5、基本算法语句: ①赋值语句: “=” (有时也用“←” ) ②输入输出语句: “INPUT” “PRINT” ③条件语句: If ? Then ? Else ? End If ④循环语句: “Do”语句 Do ? Until ? End “While”语句 While ? ? WEnd ⑹算法案例:辗转相除法—同余思想 第二章:统计 1、抽样方法: ①简单随机抽样(总体个数较少) ②系统抽样(总体个数较多) ③分层抽样(总体中差异明显) 注意:在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本,每个个体被抽到的机会(概率)均 为
n 。 N

2、总体分布的估计: ⑴一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。

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⑵茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的分布,以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相同的药重复写。 3、总体特征数的估计: ⑴平均数: x ?
x1 ? x 2 ? x3 ? ? ? x n ; n

取值为 x1 , x 2 , ?, x n 的频率分别为 p1 , p 2 , ?, p n ,则其平均数为 x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ; 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差:一组样本数据 x1 , x 2 , ?, x n 方差: s 2 ?
1 n

?
i ?1

n

2

( x i ? x) ;

标准差: s ?

1 n

?
i ?1

n

2

( x i ? x)

注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的稳定水平。 ⑶线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)
n ? ? xi yi ? nx y ? ?b ? i ?1n ? 2 ? ? xi2 ? nx ? i ?1 ? ? a ? y ? bx ?
?

注意:线性回归直线经过定点 ( x, y ) 。 第三章:概率 1、随机事件及其概率: ⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母表示; ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点; ⑶随机事件 A 的概率: P( A) ?
m ,0 ? P( A) ? 1 ; n

2、古典概型: ⑴基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果; ⑵古典概型的特点: ①所有的基本事件只有有限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事件共有 n 个,事件 A 包含了其中的 m 个基本事件,则事件 A 发生的概率 P( A) ?
m 。 n

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3、几何概型: ⑴几何概型的特点: ①所有的基本事件是无限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式: P( A) ?
d的测度 ; D的测度

其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、体积等。 4、互斥事件: ⑴不能同时发生的两个事件称为互斥事件; ⑵如果事件 A1 , A2 , ?, An 任意两个都是互斥事件,则称事件 A1 , A2 , ?, An 彼此互斥。 ⑶如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率,等于事件 A,B 发生的概率的和, 即: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ⑷如果事件 A1 , A2 , ?, An 彼此互斥,则有:
P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )

⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称这两个事件为对立事件。 ①事件 A 的对立事件记作 A
P( A) ? P( A) ? 1, P( A) ? 1 ? P( A)

②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事件。

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高一数学必修 4 知识点
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象 限,则称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?

?

? ?

第二象限角的集合为 ? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?

?

第三象限角的集合为 ? k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?

?

? ?

第四象限角的集合为 ? k ? 360? ? 270? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ? 终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? , k ? ?

?

?

? ? ? ?

终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? ? 90? , k ? ? 终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90? , k ? ?

?

?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360? ? ? , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

?

份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来 ? 是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域. n 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. l 6、 半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l , 则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? . r
? 180 ? ? 57.3? . 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 180 ? ?
?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等 n
*

?

?

?

8、 若扇形的圆心角为 ? ?? 为弧度制? , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S ,
1 1 则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2

9、设 ? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点 的距离是 r r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

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10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限 正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1
sin ? sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ? ; ? 2 ? cos? ? tan ? ?
2 2 2 2

y P T v O M A x

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

口诀:奇变偶不变,符号看象限. 14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数
y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩

短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不

变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长 (缩短) 到原来的 得到函数
y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

1

?

倍 (纵坐标不变) ,

? 个单 ?

位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所

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有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) 得到函数 ,
y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象.

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质:
①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ;④相位:? x ? ? ;⑤初相: ? ? 2?

?.
函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

最大值为 ymax ,则 ? ?
函 质





y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

? ?1,1?
当 x ? 2 k? ?

? ?1,1?
?k ? ??
当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,
ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

R

?
2

最 值

时 , ymax ? 1 ; 当
x ? 2 k? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
2?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周 期 性 奇 偶 性 单 调 性

2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

? ?? ? 在 ? 2 k? ? , 2 k? ? ? 2 2? ?

在 ? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? 上 是 增 函 数 ; 在

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

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? k ? ? ? 上是增函数;在 ? 2k? , 2k? ? ? ?
? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? , 0 ?? k ? ? ? 对 称 性 对
x ? k? ?





















?
2

? k ? ??

? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?

?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

对称轴 x ? k? ? k ? ? ?

无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ?b ? b ?a ;②结合律: a ?b ? c ? a ? b ? c ;③

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? a ?0 ? 0?a ? a .
⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

C
? ? ?

?

? a

?

?

?

?

?

? b

?

?? ? ? 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , ? 则 ??

? ? x1

x2 y1 y2 ,?

?.

? ? ? ? ???? ??? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ;

?

?

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②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当

?

?

?

?

? ? 0 时, ? a ? 0 .
⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? a ? b ? ? a ? ? b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ? a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .

?

?

?

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

b b 设 a ? ? x1 , y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, 向量 a 、 b ? 0
共线.

?

?

?

?

? ? ?

?

?

?

21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、?2 ,使 a ? ?1e1 ? ? e2 . (不共线的向量 e1 、e2 作 2 为这一平面内所有向量的一组基底) 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1? 2 上的一点,?1 、? 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 当 ?1? ? ? ?? 2 时,点 ? 的坐标是 ? 23、平面向量的数量积:
? ? ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .

??

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? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

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a ⑵性质: a 和 b 都是非零向量, 设 则① a ? b ? a ? b ? 0 . ②当 a 与 b 同向时, ? b ? a b ;
当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ?

?

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?2

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?

?2

?

? ? ? ? ? ? a ? a .③ a ? b ? a b .

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

? ?

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?

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? ?

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?

?2

?

x2 ? y2 .

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? . 2 2 2 a b x1 ? y 12 x 2? y 2
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

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⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
1 ? cos 2? ) . 2



cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 2



sin 2 ? ?

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

26、 ? sin ? ? ? cos ? ?

? . ?

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高中数学必修 5 知识点
第一章:解三角形
1、正弦定理:在 ???C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ???C 的外接

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; (正弦定理的变形经常用在有三角函数的 2R 2R 2R
圆的半径,则有 等式中) ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ;

a?b?c a b c . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
④ 4、余 定理:在 ???C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,
2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ab 2ac
2 2 2

6、设 a 、 b 、 c 是 ???C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 为
?

直角三角形; ②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 为锐角三角形;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 为钝角三
2 2 2

?

2

2

2

?

角形.

第二章:数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列. 5、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 6、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 7、常数列:各项相等的数列. 8、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式:表示数列 ? an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 10、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 11、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为 等差数列,这个常数称为等差数列的公差.

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12、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的 等差中项.若 b ?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

13、若等差数列 ? an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an ? a1 ? ? n ? 1? d . 通项公式的变形:① an ? am ? ? n ? m ? d ;② a1 ? an ? ? n ? 1? d ;③ d ?

n?

an ? a1 a ?a ? 1 ;⑤ d ? n m . d n?m

an ? a1 ;④ n ?1

* 14、若 ? an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; * 若 ? an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2an ? a p ? aq ;下角标成

等差数列的项仍是等差数列;连续 m 项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn ?

n ? a1 ? an ? 2

;② S n ? na1 ?
*

n ? n ? 1? 2

d.

16、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ?

?

? ,则 S

2n

? n ? an ? an ?1 ? ,且

S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an * .②若项数为 2n ? 1? n ? ? ? ,则 S 2 n ?1 ? ? 2n ? 1? an ,且 an ?1 n (其中 S奇 ? nan , S偶 ? ? n ? 1? an ) . n ?1

S奇 ? S偶 ? an ,

S奇 S偶

?

17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为 等比数列,这个常数称为等比数列的公比. 18、 a 与 b 中间插入一个数 G , a ,G ,b 成等比数列, G 称为 a 与 b 的等比中项. 在 使 则 若

G 2 ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.
19、若等比数列 ? an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q 20、通项公式的变形:① an ? am q
n?m

n ?1


n ?1

;② a1 ? an q

?? n ?1?

;③ q

?

an a n?m ? n . ;④ q a1 am

* 21、若 ? an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; * 若 ? an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 an ? a p ? aq ;下角标成等
2

差数列的项仍是等比数列;连续 m 项和构成的数列成等比数列。

?na1 ? q ? 1? ? 22、等比数列 ? an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q

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q ? 1 时, Sn ?

a1 a ? 1 q n ,即常数项与 q n 项系数互为相反数。 1? q 1? q

23、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ② Sn? m ? Sn ? q ? Sm .
n

?

*

? ,则 S

S偶


?q.

③ S n , S 2n ? S n , S3n ? S2 n 成等比数列.

24、 an 与 S n 的关系: an ? ?

?Sn ? Sn?1 ? n ? 2 ? ? ? n ? 1? ?S1 ?

一些方法: 一、求通项公式的方法: 1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法 ①若相邻两项相减后为同一个常数设为 a n ? kn ? b ,列两个方程求解; ②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为 a n ? an ? bn ? c ,列三个方程求解;
2

③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为 a n ? aq ? b ,q 为相除后的常数,列两
n

个方程求解; 2、由递推公式求通项公式: ①若化简后为 a n ?1 ? a n ? d 形式,可用等差数列的通项公式代入求解; ②若化简后为 a n ?1 ? a n ? f (n), 形式,可用叠加法求解; ③若化简后为 a n ?1 ? a n ? q 形式,可用等比数列的通项公式代入求解; ④若化简后为 a n ?1 ? kan ? b 形式,则可化为 (a n ?1 ? x) ? k (a n ? x) ,从而新数列

{a n ? x} 是等比数列, 用等比数列求解 {a n ? x} 的通项公式, 再反过来求原来那个。 (其
中 x 是用待定系数法来求得) 3、由求和公式求通项公式: ① a1 ? S1 分段函数写。 4、其他 ② a n ? S n ? S n ?1 ③检验 a1是否满足a n ,若满足则为 a n ,不满足用

(1) an ? an ?1 ? f ? n ? 形式, f ? n ? 便于求和,方法:迭加; 例如: an ? an ?1 ? n ? 1 有: an ? an ?1 ? n ? 1

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a2 ? a1 ? 3 a3 ? a2 ? 4 ? an ? an ?1 ? n ? 1 各式相加得an ? a1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 1 ? a1 ?

? n ? 4 ?? n ? 1?
2

(2) an ? an ?1 ? an an ?1 形式,同除以 an an ?1 ,构造倒数为等差数列; 例如: an ? an ?1 ? 2an an ?1 ,则 差数列。

?1? an ? an ?1 1 1 ?2? ? ,即 ? ? 为以-2 为公差的等 an an ?1 an ?1 an ? an ?

(3) an ? qan ?1 ? m 形式, q ? 1 ,方法:构造: an ? x ? q ? an ?1 ? x ? 为等比数列; 例如: an ? 2an?1 ? 2 ,通过待定系数法求得: an ? 2 ? 2 ? an ?1 ? 2 ? ,即 ?an ? 2? 等比, 公比为 2。 (4) an ? qan ?1 ? pn ? r 形式:构造: an ? xn ? y ? q an ?1 ? x ? n ? 1? ? y 为等比数列; (5) an ? qan ?1 ? p 形式,同除 p ,转化为上面的几种情况进行构造;
n

?

?

n

因为 an ? qan ?1 ? p n ,则 转化为(3)的方法

an q an ?1 q ? ? 1 ,若 ? 1 转化为(1)的方法,若不为 1, n n ?1 p p p p

二、等差数列的求和最值问题: (二次函数的配方法;通项公式求临界项法) ①若 ? ②若 ?

? ak ? 0 ?a1 ? 0 ,则 S n 有最大值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ? ?a k ?1 ? 0 ?d ? 0

? ak ? 0 ?a1 ? 0 ,则 S n 有最小值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ? ?a k ?1 ? 0 ?d ? 0

三、数列求和的方法: ①叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值; ② 错 位 相 减 法 : 适 用 于通 项 公 式 为 等 差 的 一 次函 数 乘 以 等 比 的 数 列 形式 , 如 :

an ? ? 2n ? 1? ? 3n ;
③分式时拆项累加相约法: 适用于分式形式的通项公式, 把一项拆成两个或多个的差的 形式。 如:an ?

1 1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ,an ? 等; n ? n ? 1? n n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

④一项内含有多部分的拆开分别求和法: 适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和
n 的部分,如: an ? 2 ? n ? 1 等;

四、综合性问题中 ①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为 a ? d和a ? d 类型,这样可以相加约掉, 相乘为平方差; ②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为 aq和

a 类型,这样可以相乘约掉。 q

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第三章:不等式
1、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 比较两个数的大小可以用相减法;相除法;平方法;开方法;倒数法等等。 2、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b
n n

? n ? ?, n ? 1? ;

⑧a ?b ? 0?

n

a ? n b ? n ? ?, n ? 1? .

3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式.

4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式 ? ? b
2

? 4ac

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c

? a ? 0 ? 的图象
有两个相异实数根

? a ? 0 ? 的根

一元二次方程 ax

2

? bx ? c ? 0

?b ? ? 2a ? x1 ? x2 ? x1,2 ?

有两个相等实数根

x1 ? x2 ? ?

b 2a

没有实数根

一元二次不 等式的解集

ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0?

? x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R
?

?x x

1

? x ? x2 ?

?

5、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 7、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数 对 ? x, y ? ,所有这样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合.

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8、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方.

9、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 . ① 若 ? ? 0 , 则 ?x ? ? ? 0?表 示 直 线 ?x ? ? ? 0?上 方 的 区 域 ; y C y C 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域. ?x ? ? ?C 0? y ② 若 ? ? 0 , 则 ?x ? ? ? 0?表 示 直 线 ?x ? ? ? 0?下 方 的 区 域 ; y C y C 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域. ?x ? ? ?C 0? y 10、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条 件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 11、设 a 、 b 是两个正数,则 几何平均数. 12、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 13、常用的基本不等式:
2 2

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的 2
a?b ? ab . 2

① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ; ② ab ?

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2
2 2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b? ?? ③ ab ? ? ? a ? 0, b ? 0 ? ;④ ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ? 14、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有

s2 . 4 ⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .
⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值


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