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高考数学第一轮复习单元试卷-数列的求和

时间:2010-11-20


数列的求和、极限、 数列的求和、极限、数学归纳法
一.选择题 选择题 (1) 已 知 等 差 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 S4=3 , S8=7 , 则 S12 的 值 是 ( ) A 8 B 11 C 12 D 15 (2) 已知数列 {a n } 满足 a1 = 0, a n +1 = ( A 0 (3) ( B )

an ? 3 3a n + 1

(n ∈ N * ) ,则 a 20 =

? 3

C

3

D

3 2

数 列 1,(1+2),(1+2+22), … ,( 1+2+22+ … +2n-1+ … ) 的 前 n 项 和 是 ) A 2n B 2n-2 C 2n+1- n -2 D n·2n (4) 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任选三个不同的数,如果这三个数经过 适 当 的 排 列 成 等 差 数 列 , 则 这 样 的 等 差 数 列 一 共 有 ( ) A 20 个 B 40 个 C 10 个 D 120 个

(5) ( ) A2 (6) (

lim

n→∞

1+ 2 + 3 +L + n n2
C



B4

1 2

D

0

如 果 a1 , a2 ,L , a8 为 各 项 都 大 于 零 的 等 差 数 列 , 公 差 d ≠ 0 , 则 ) a1 a8 < a 4 a 5 C a1 + a8 > a4 + a5 D a1 a8 = a 4 a5 A a1 a8 > a 4 a5 B

(7)已知等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn, 若 值 ( A (8) ( A )

a S n 3n ? 2 lim , 则 n →∞ n 的 = bb Tn 2n + 1


)

2 3
lim n →∞

B

6 3 C 2 2 0 1 2 n Cn + Cn + Cn + L + Cn 1 + 2 + 22 + L + 2n 1 4
C

D 的 值

9 4


1 5

B

1 2

D

1 3

(9) 已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且 a1=3,a2=5,则

1

lim n →∞

(

1 1 1 + + LL + ) a 2 ? a1 a 3 ? a 2 a n +1 ? a n
)

=

( A 2

B

3 2

C 1

D

1 2

(10) 已 知 数 列 { xn } 满 足 x2 = ( A )

x1 1 , xn = ( xn ?1 + xn ? 2 ) , n = 3, 4, … . 若 lim xn = 2 , 则 n →∞ 2 2
C4 D5

3 2

B3

二.填空题 填空题 (11) 在等差数列{an}中,a1>0,a5=3a7,前 n 项和为 Sn,若 Sn 取得最大值,则 n= (12) 在等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 S19=31,S31=19,则 S50 的值是______ (13)在等比数列{an}中,若 a9·a11=4,则数列{ log 1 a n }前 19 项之和为_______
2

.

(14)若 a>0,且 a≠1, 则 lim 三.解答题 解答题

n →∞

3 ? 2a 的值是 1+ an
n

.

? 1 ? 2 an 1 ? (15) 设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 an +1 = ? 4 ?a + 1 ? n 4 ?
记 bn = a2 n ?1 ?

n为 为 为
,

为 n为 为

1 ,n==l,2,3,…·. 4

(I)求 a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (III)求 lim(b1 + b2 + b3 + L + bn )
n →∞

2

(16) 数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an +1 =

1 S n ,n=1,2,3,……,求 3

(I)a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式; (II) a2 + a4 + a6 + L + a2n 的值.

(17) 已知{ a n }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a 3 , a 2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比 较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由. .

(18) 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 和数列 {a n } 满足下列条件:

a1 = a, a n = f (a n ?1 )(n = 2, 3, 4, ...), a 2 ≠ a1 , f (a ) ? f (a ) = k (a ? a )(n = 2, 3, 4, ...) ,其中 a 为常数,k 为非零常数.
n n ?1 n n ?1

(Ⅰ)令 bn = a n +1 ? a n (n ∈ N *) ,证明数列 {bn } 是等比数列;
3

(Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅲ)当 | k |< 1 时,求 lim a n .
n →∞

参考答案 一选择题: 1.C [解析]:∵{an}等差数列,∴2(S8 -S4)= S4+(S12-S8),且 S4=3,S8=7, 则 S12=12 2.B [解析]:已知数列 {a n } 满足 a1 = 0, a n +1 = 则 a 2 = ? 3 , a3 = 3.C [解析]:∵( 1+2+22+…+2n-1)=2n-1 ∴数列 1,(1+2),(1+2+22),…,( 1+2+22+…+2n-1+…)的前 n 项和为: (2-1)+(22-1)+…+(2n-1)= 2n+1- n -2 4.B [解析]:当公差 d 为正时,若 d=1,则这样的等差数列有 8 个 若 d=2,则这样的等差数列有 6个 若 d=3, 则这样的等差数列有 4个 若 d=4, 则这样的等差数列有 2个 共有 20 个 当公差 d 为负时,也有 20 个。 5.C

an ? 3 3a n + 1

(n ∈ N * ) ,

3, a 4 = 0, 有规律的重复了,故 a 20 = ? 3 。

n( n + 1) 1 2 1 n + n 1+ 2 + 3 +L + n 2 2 2 [解析]: = = n2 n2 n2
6. B
4

[解析]:因为 a1 , a2 ,L , a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ≠ 0 故

a1 a8 = a1 (a1 + 7 d ) = a1 + 7 a1 d ,
2

a 4 a5 = (a1 + 3d )(a1 + 4d ) = a1 + 7 a1 d + d 2
2

故 a1 a8 < a 4 a 5 7.C [解析]:因为等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn,

(2n ? 1)(a1 + a 2 n ?1 ) ( 2n ? 1)(2a n ) Sn a 2 2 则 = = = n Tn (2n ? 1)(b1 + b2 n ?1 ) (2n ? 1)(2bn ) bn 2 2
若 8.C [解析]:
0 1 2 n Cn + Cn + Cn + L + Cn 2n = n +1 = 1 + 2 + 22 + L + 2n 2 ?1

a lim 3n ? 2 3 S n 3n ? 2 lim , 则 n →∞ n = n →∞ = = bb 2n + 1 2 Tn 2 n + 1

1 1 2 ? ( )n 2

9.C [解析]:因为数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,∴ 故设 log2(an+1-1)-log2(an-1)=d 又 a1=3,a2=5,故 d=1 ∴

a n +1 ? 1 = 2, an ? 1

故{an-1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴an-1=2n,∴an=2n+1,∴an+1-an=2n

(

1 1 1 1 1 1 1 + + LL + )= + 2 +K+ n = 1? n a 2 ? a1 a 3 ? a 2 a n +1 ? a n 2 2 2 2
1 1 1 + + LL + ) =1 a 2 ? a1 a 3 ? a 2 a n +1 ? a n

则 lim ∞ ( n→ 10.B

[解析]:因为数列 { xn } 满足 x2 =

x1 1 , xn = ( xn ?1 + xn ? 2 ) , n = 3, 4, …. 2 2
5

则 x3 =

1 x1 1 1 ( + x1 ) = ( 2 + ) x1 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 + ) x1 , x5 = ( 4 + 3 + ) x1 , x6 = ( 5 + 3 + ) x1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x7 = ( 6 + 5 + 3 + ) x1 2 2 2 2 x4 = (
……

1 2 故 lim x n = 2 x1 = x1 n →∞ 1 3 1? 4
又 lim xn = 2 ,故 x1 = 3
n →∞

二填空题: 11.7 或 8 [解析]:在等差数列{an}中,a1>0,∵a5=3a7,∴a1+4d= 3(a1+6d) ∴a1= ? 7 d ∴Sn=n( ? 7 d )+

n(n ? 1) d 2 d= ( n ? 15n) , 2 2

∴n=7 或 8 时, Sn 取得最大值。 12.-50 [解析]:在等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn, S19=19a1+19×9d S31=31a1+31×15d S31-S19=12 a1+12× 又 S19=31,S31=19, 故 a1+

49 d 2

49 d =-1 2

S50=-50 13.-19 [解析]:由题意 an>0,且 a1·a19 =a2·a18 =…=a9·a11= a10 又 a9·a11=4 ,故 a1 a 2 L a19 = 219
6
2

故 log 1 a1 + log 1 a 2 +…+ log 1 a19 = log 1 ( a1 a 2 L a19 ) = ?19
2 2 2 2

14. -2

(a>1 时); 3 (0< a<1 时). [解析]:当 0< a<1 时, lim an=0,此时, lim
n→∞

n→∞

3 ? 2a n =3, 1+ an
n

1 3( ) n ? 2 3 ? 2a 1 n a :当 a>1 时, lim ( ) =0,此时 lim = lim = ?2 n→∞ a n→∞ 1 + a n n→∞ 1 ( )n + 1 a
三解答题 (15)解(I)a2=a1+

1 1 1 1 1 =a+ ,a3= a2= a+ ; 4 4 2 2 8 1 1 3 1 3 1 (II)∵ a4=a3+ = a+ , 所以 a5= a4= a+ , 4 2 8 2 4 16 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 b1=a1- =a- , b2=a3- = (a- ), b3=a5- = (a- ), 4 4 4 2 4 4 4 4 1 猜想:{bn}是公比为 的等比数列· 2
证明如下:

1 1 1 1 1 1 = a2n- = (a2n-1- )= bn, (n∈N*) 4 2 4 2 4 2 1 1 所以{bn}是首项为 a- , 公比为 的等比数列· 4 2 1 b1 (1 ? n ) 2 = b1 = 2( a ? 1 ) (III) lim(b1 + b2 + L + bn ) = lim n →∞ n →∞ 1 1 4 1? 1? 2 2 1 (16) 解(I)由 a1=1, an +1 = S n ,n=1,2,3,……,得 3 1 1 1 1 1 4 , a2 = S1 = a1 = a3 = S 2 = ( a1 + a2 ) = 3 3 3 3 3 9 1 1 16 , a4 = S3 = ( a1 + a2 + a3 ) = 3 3 27 1 1 4 由 an +1 ? an = ( S n ? S n ?1 ) = an (n≥2) ,得 an +1 = an (n≥2) , 3 3 3
因为 bn+1=a2n+1-



7

1 4 1 ,所以 an= ( ) n? 2 (n≥2), 3 3 3 ? 1 ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an = ? 1 4 n ? 2 ?3 ( 3) ?
又 a 2= (II)由(I)可知 a2 , a4 ,L , a2 n 是首项为

n =1 n≥ 2


4 1 ,公比为 ( ) 2 项数为 n 的等比数列,∴ 3 3

4 1 ? ( )2 n 1 3 = 3 [( 4 ) 2 n ? 1] a2 + a4 + a6 + L + a2n = ? 3 1 ? ( 4 )2 7 3 3 (17)解(Ⅰ)由题设 2 a 3 = a1 + a 2 , 即2 a1 q 2 = a1 + a1 q, Q a1 ≠ 0,∴ 2q 2 ? q ? 1 = 0. 1 ∴ q = 1或 ? . 2
n(n ? 1) n 2 + 3n (Ⅱ)若 q = 1, 则S n = 2n + ?1 = . 2 2
当 n ≥ 2时, S n ? bn = S n ?1 = 若q = ?

(n ? 1)(n + 2) > 0. 故 S n > b n . 2

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 + 9n , 则S n = 2 n + (? ) = . 2 2 2 4

当 n ≥ 2时, S n ? bn = S n ?1 = ?

(n ? 1)(n ? 10) , 4 故对于 n ∈ N + , 当2 ≤ n ≤ 9时, S n > bn ;当n = 10时, S n = bn ;当n ≥ 11时, S n < bn .

(18)(Ⅰ)证明:由 b1 = a 2 ? a1 ≠ 0 ,可得

b2 = a3 ? a 2 = f (a 2 ) ? f (a1 ) = k (a 2 ? a1 ) ≠ 0 .由数学归纳法可证 bn = a n +1 ? a n ≠ 0 (n ∈ N *) .
由题设条件,当 n ≥ 2 时

bn a ? an f (a n ) ? f (a n ?1 ) k (a n ? a n ?1 ) = n +1 = = =k bn ?1 a n ? a n ?1 a n ? a n ?1 a n ? a n ?1
n ?1

因此,数列 {bn } 是一个公比为 k 的等比数列. (Ⅱ)解:由(1)知, bn = k

b1 = k n ?1 (a 2 ? a1 )(n ∈ n*)
n ?1

1? k 当 k ≠ 1 时, b1 + b2 + ... + bn ?1 = ( a 2 ? a1 ) ( n ≥ 2) 1? k 当 k = 1 时, b1 + b2 + ... + bn ?1 = ( n ? 1)( a 2 ? a1 ) (n ≥ 2) . ... + (a ? a ) = a ? a 而 b1 + b2 + ... + bn ?1 = ( a 2 ? a1 ) + ( a 3 ? a 2 ) + n n ?1 n 1

(n ≥ 2)

8

所以,当 k ≠ 1 时, a n ? a1 = ( a 2 ? a1 )

1 ? k n ?1 1? k

(n ≥ 2) .上式对 n = 1 也成立.

所以,数列 {a n } 的通项公式为 a n = a + ( f ( a ) ? a )

a n ? a1 = (n ? 1)(a 2 ? a1 )
(Ⅲ)解:当 | k |< 1 时,

1 ? k n ?1 (n ∈ N *) . 当 k = 1 时 1? k (n ≥ 2) 。上式对 n = 1 也成立,所以,数列 {a n } 的通 (n ∈ N *) ,
n →∞

项公式为 a n = a + ( n ? 1)( f ( a ) ? a )
n →∞

lim a n = lim[a + ( f (a ) ? a )

1 ? k n ?1 f (a) ? a ]=a+ . 1? k 1? k

9


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