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高二文科数学选修1—1期中复习卷

时间:2014-12-24


高二文科数学选修 1—1 期中复习卷 1
一、选择题(共 12 小题,每题 5 分)
1.下列命题是真命题的是( ) A. “若 x ? 0 ,则 xy ? 0 ”的逆命题; B. “若 x ? 0 ,则 xy ? 0 ”的否命题; C.若 x ? 1 ,则 x ? 2 ; D. “若 x ? 2 ,则 ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ”的逆否命题 ) 2.对抛物线 y ? 4 x2 ,下列描述正确的是( A.开口向上,焦点为 (0,1) C.开口向右,焦点为 (1, 0) 3.命题“存在 x0 ? R, 2
x x0

1 ) 16 1 D.开口向右,焦点为 (0, ) 16
B.开口向上,焦点为 (0, )
x0

? 0”的否定是(

A. 不存在 x0 ? R, 2 0 >0 C. 对任意的 x ?R, 2 ? 0
x

B. 存在 x0 ? R, 2

?0
x

D. 对任意的 x ? R, 2 >0

4. 已知两定点 F 1 (5,0) , F2 (?5, 0) ,曲线上的点 P 到 F 1 、 F2 的距离之差的绝对值是 6,则该曲 线的方程为( )

x2 y 2 ? ?1 A. 9 16

x2 y 2 ? ?1 B. 16 9

x2 y 2 ? ?1 C. 25 36

D.

y 2 x2 ? ?1 25 36

5.以下有四种说法,其中正确说法的个数为( ) (1) “m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件;
2 2 (2) “ a ? b ”是“ a ? b ”的充要条件;

(3) “ x ? 3 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件; ? ”是“ A ? ? ”的必要不充分条件. (4) “A B B A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
2

6. 已知椭圆 A. 4

x2 y2 ? ? 1 ,若其长轴在 y 轴上.焦距为 4 ,则 m 等于( 10 ? m m ? 2 B. 5 C. 7 D. 8




7.等轴双曲线的一个焦点是 F1 (?6,0) ,则其标准方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 9 9
2 2

B.

y2 x2 ? ?1 9 9
2

C.

y2 x2 ? ?1 18 18
2 2

D.

x2 y 2 ? ?1 18 18
( )
2

8.用反证法证明命题“如果 a ? b ? 0, 那么a2 ? b2 ”时,假设的内容应是 A. a ? b B. a ? b
2

C. a ? b
2

2

且a ? b D. a ? b ,
2

9.一物体作直线运动,其运动方程为 s ? 3t ? t ,其中位移 s 单位为米,时间 t 的单位为秒,那
2

么该物体的初速度为 A.0 米/秒
3



) C.3 米/秒 C. a ? 3 ; ) D.3—2t 米/秒 ) D. a ? 3

B.—2 米/秒 B. a >3 ;

10..函数 f(x)=x - a x+1 在区间(1,+ ? )内是增函数,则实数 a 的取值范围是( A. a <3 ; 11.函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图 象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内极值点有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

12.下列说法正确的是 ( ) A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大. B.对于函数 f ( x) ? x 3 ? px2 ? 2 x ? 1,若 | P |? C.函数在闭区间上的最大值一定是极大值. D.函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 上一定存在最值. 二、填空题(共 4 小题,每题 4 分) 13.过原点作曲线 y =e x 的切线,则切线的斜率为 . 。 。

6 ,则 f ( x) 无极值.

x2 y2 ? ? ?1 的渐近线方程是 4 9 ? 15.函数 y ? x ? sin x, x ? [ , ? ] 的最大值为
14.双曲线

2

16.直线 l 过抛物线 x ? ay (a>0)的焦点,并且与 x 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为 4,则 a = . 三、解答题(共 6 题,17 至 21 题每题 12 分,22 题 14 分,共 74 分)
2
2 17. 若 4 x ? p ? 0 是 x ? x ? 2 ? 0 的充分条件,求实数 p 的取值范围.

2 2 18. (本小题满分 14 分)已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y ? x ? m 。

(1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程。 5

19. (本大题满分 12 分)已知命题 p:方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q: 2m m ? 1

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,若 p、q 有且只有一个为真,求 m 的取值范围. 双曲线 5 m

20. (本大题满分 12 分)已知双曲线 C : 焦点,点 A(3, 7 ) 在双曲线 C 上.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 . b ? 0 ) ? ? 1 有共同的 与椭圆 18 14 a2 b2

(1)求双曲线 C 的方程; (2)以 P(1,2)为中点作双曲线 C 的一条弦 AB,求弦 AB 所在直线的方程.

21. (本小题满分 12 分)某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千 米/小时)的函数解析式可以表示为: y ?

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120) 已知甲、乙两地 128000 80

相距 100 千米。 (Ⅰ )当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ )当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

22.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? c (其中 a, b, c 均为常数, x ? R ).当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 的极值为

?3 ? c 。 (1)试确定 a , b 的值; (2)求 f ( x ) 的单调区间;
2 (3)若对于任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? ?2c 恒成立,求 c 的取值范围。

高二文科数学选修 1—1 期中复习卷答案
一、选择题(共 12 小题,每题 5 分)

D B D AA

AD C C C

C

B

二、填空题(共 4 小题,每题 4 分)

13.1

3 14. y ? ? x 2

15. ?

16.4

三、解答题(共 6 题,17 至 21 题每题 12 分,22 题 14 分,共 74 分) 17.解:由 4 x ? p ? 0 ,得 A= {x x ? ? } ,…………………………………………4 分 由 x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x>2 或 x<-1,令 B= {x x ? 2或x ? ?1 },
2

p 4

…………8 分

由题意知 A ? B 时,即 ? 此时 x ? ?

p ? ?1 ,即 p ? 4 ,………………………………………12 分 4

p ? ?1 ? x 2 ? x ? 2 ? 0 , 4

∴ 实数 p 的取值范围是 [4, ?? )

18. 解: (1)把直线 y ? x ? m 代入椭圆方程得: 4 即: 5

x

2

? ( x ? m) ? 1
2

x

2

? 2mx ? m ? 1 ? 0 , ? = ? 2m ? -4 ? 5 ? ? m2 -1? =-16m2 +20 ? 0
2

2

解得 ?

5 5 ?m? 2 2

??7 分

(2)设直线交椭圆于 A( x1 ,y1 ) , B( x2 ,y2 ) 两点,则

?1 2m 由(1)得: x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? m 5 5
? AB ?
?m ? 0

2

? x1 -x2 ? + ? y1 -y2 ?
2

2

2 = (1 ? k 2 ) ?? x1 +x2 ? -4 x1 x2 ? = ? ?

?? 2m ?2 m2 -1? 2 10 2 ?? ? = ? -4 5 5 ? ? ?? 5 ? ?

则直线的方程为 y =x 。

19.解:将方程

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 改写为 ? ? 1, 2m m ? 1 2m 1 ? m
1 时,方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,所以 3

只有当 1 ? m ? 2m ? 0, 即 0 ? m ? 命题 p 等价于 0 ? m ?

1 ;???4 分 3

因为双曲线

5?m y2 x2 ? 4, ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,所以 m ? 0 ,且 1 ? 5 5 m

解得 0 ? m ? 15 ,所以命题 q 等价于 0 ? m ? 15 ;????8 分 若 p 真 q 假,则 m ? ? ;

1 ? m ? 15 3 1 综上: m 的取值范围为 ? m ? 15 ?????12 分 3
若 p 假 q 真,则 20.解: (1)由已知双曲线 C 的焦点为 F1 (?2,0), F2 (2,0) 由双曲线定义 || AF 1 | ? | AF 2 ||? 2a,? 25 ? 7 ? 1 ? 7 ? 2a

? a ? 2, c 2 ? 4,?b 2 ? 2
x2 y2 ? 1 ????6 分 ? 所求双曲线为 ? 2 2
(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,因为 A 、 B 在双曲线上
2 2 ? ? x1 ? y1 ? 2 ?? 2 2 ? ? x2 ? y 2 ? 2

① ②

①-②得 ( x1 ? x2 )(x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

?

y1 ? y 2 x1 ? x2 2 1 1 ? ? ? ,? k AB ? x1 ? x2 y1 ? y 2 4 2 2
1 ( x ? 1) 即 x ? 2 y ? 3 ? 0 2
????12 分

? 弦 AB 的方程为 y ? 2 ?

经检验 x ? 2 y ? 3 ? 0 为所求直线方程.

21. 解: (1)当

时,汽车从甲地到乙地行驶了

小时,

要耗油( . 答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升. (2)当速度为 千米/小时,汽车从甲地到乙地行驶了 设耗油量为 升,依题意得

3 1 2 800 15 ? 1 ? 100 h ? x? ? ? x3 ? x ? 8 ? ? x ? ? ? 0 ? x ? 120 ? 80 x 4 ? 128000 ? x 1280

令 当 当

,得 时, 时,

. , , 是减函数; 是增函数

∴ 当 时, 取到最小值 . . 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升. 22.解:(1)由 f ( x) ? ax ? bx ? c ,得 f '( x) ? 3ax ? 2bx ,
3 2
2

当 x ? 1 时, f ( x) 的极值为 ? 3 ? c ,

∴?

?

f '(1) ? 0

? f (1) ? ?3 ? c

,得 ?

? 3a ? 2b ? 0 ?a?6 ,∴? , ?a ? b ? c ? ?3 ? c ?b ? ?9

∴ f ( x) ? 6 x 3 ? 9 x 2 ? c . (2)∵ f ( x) ? 6 x 3 ? 9 x 2 ? c ,∴ f '( x) ? 18x ? 18x ? 18x( x ? 1) ,
2

令 f '( x) ? 0 ,得 x=0 或 x=1. 当 x ? 0 或 x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增;当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; ∴ 函数 f ( x) 的单调递增区间是 ?? ?,0? 和 ?1,??? ,单调递减区间是 [0,1] .
3 2 2 (3)∵ f ( x) ? ?2c 2 对任意 x ? 0 恒成立,∴? 6 x ? 9 x ? c ? ?2c 对任意 x ? 0 恒成立,
2 2 ∵ 当 x=1 时, f ( x) min ? ?3 ? c ,∴? 3 ? c ? ?2c ,得 2c ? c ? 3 ? 0 ,

∴c ? ?1 或 c ?

3 . 2 3 [ , ??) 2

∴c 的取值范围是 ( ??, ?1]


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