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函数模型及其应用(高二)

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个性化教学辅导教案
学科: 数学 教学 课题 1.综合考查函数的性质; 教学 目标 教学 重难点 2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题; 3.考查函数的最值. 与实际问题相联系,考查数学应用能力. 年级: 高二 任课教师: 授课时间: 2017 年 春季 第 周

函数模型及其应用

教学过程 一.知识点
1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b (a、b 为常数,a≠0) k f(x)= +b (k,b 为常数且 k≠0) x f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c (a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=blogax+c (a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=axn+b (a,b 为常数,a≠0)

对数函数模型 幂函数模型 (2)三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 值的比较

y=ax(a>1) 单调递增 越来越快 随 x 的增大逐渐表 现为与 y 轴平行

y=logax(a>1) 单调递增 越来越慢 随 x 的增大逐渐表 现为与 x 轴平行

y=xn(n>0) 单调递增 相对平稳 随 n 值变 化 而各有不同

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax

2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模: 将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论;

1

(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:

【疑点清源】 1.要注意实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 2.解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握其中的数学本质. (2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题. (3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题. (4)还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论.

二.高频考点 高频考点一、用函数图象刻画变化过程 例 1、(1)设甲、乙两地的距离为 a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟,在乙地休息 10 分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用 的时间 x 的函数图象为( )

(2)物价上涨是当前的主要话题, 特别是菜价, 我国某部门为尽快实现稳定菜价, 提出四种绿色运输方案. 据 预测,这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函 数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图 象. (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变 化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. 【变式探究】已知正方形 ABCD 的边长为 4,动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动.设点 P 运动
2

的路程为 x,△ABP 的面积为 S,则函数 S=f(x)的图象是(

)

高频考点二 已知函数模型的实际问题 例 2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度 v(单位:m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 v=a+blog 3 Q (其中 a、b 是实数).据统计,该种鸟类在静止的时 10

候其耗氧量为 30 个单 位,而其耗氧量为 90 个单位时,其飞行速度为 1m/s. (1)求出 a、b 的值; (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?

【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题. 【变式探究】某般空公司规定,乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定,那 么乘客可免费携带行李的质量最大为 kg.

高频考点三 构造函数模型的实际问题 例 3、某汽车销售公司在 A,B 两地销售同一种品牌的汽车,在 A 地的销售利润(单位:万元)为 y1=4.1x- 0.1x2,在 B 地的销售利润(单位:万元)为 y2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是( )
3

A.10.5 万元 C.43 万元

B.11 万元 D.43.025 万元

【变式探究】(1)世界人口在过去 40 年翻了一番,则每年人口平均增长率约是(参考数据 lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)( A.1.5% B.1.6% ) C.1.7% D.1.8%

(2)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%),又 经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损 B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况
[来源:学科网 ZXXK]

)

【举一反三】某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3km(不超过 3km 按起步价付费);超 过 3km 但不超过 8km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费, 另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了 km.

【变式探究】 (1)一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中 的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血 液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么,此人至少经过小时才能开车.(精确到 1 小时)

(2)某企业投入 100 万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护 费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元.为使该设备年 平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为( A.10 B.11 C.13 ) D.21

高频考点四、函数应用问题 例 4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 万部还需另投入 16 万 美元.设公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完,每万部的销售收入为 R(x)万美元,且 R(x)=

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400-6x,0<x≤40, ? ? ?7400 40000 ? ? x - x2 ,x>40. (1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.

【特别提醒】(1)此类问题的关键是正确理解题意,建立适当的函数模型.(2)分段函数主要是每一段自变量 变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要 注意各段自变量的范围,特别是端点值. 【方法技巧】 1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础. 2.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求 得最值. 3.解函数应用题的五个步骤:①审题;②建模;③解模;④还原;⑤反思.
[来源:学科网]真题感悟

三.真题感悟
【2016 高考北京文数】函数 f ( x ) ?

x ( x ? 2) 的最大值为_________. x ?1

【2016 高考四川文科】某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资 金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超 过 200 万元的年份是( (A)2018 年 ) (参考数据:l g1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30) (C)2020 年 (D)2021 年

(B) 2019 年

【2015 高考四川,文 8】某食品的保鲜时间 y (单位:小时)与储藏温度 x (单位:℃)满足函数关系

y ? ekx?b ( e ? 2.718... 为自然对数的底数, k , b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时,在 22 ℃
的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是( (A)16 小时 (B)20 小时 (C)24 小时
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) (D)21 小时

四.压题专练
1.某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件,根据市场预测,销售价为每件 100 元时可全部售完, 定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件,若要获得最大利润,销售价应定为每件( A.100 元 B.110 元 C.150 元 ) D.190 元

2.设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产,平均每人每年创造产值 t 万元(t 为正常数).公司决定从 原有员工中分流 x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品 B 的生产.分流后,继续从事产品 A 生产的员 工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了 1.2x%.若要保证产品 A 的年产值不减少, 则最多能分流的 人数是( A.15 ) B.16 C.17 D.18 )

3. 世界人口在过去 40 年内翻了一番, 则每年人口平均增长率是(参考数据 lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( A.1.5% B.1.6% C.1 .7% D.1.8%
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

4.将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中,t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线 y=aent.假设过 5 分 a 钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过 m 分钟甲桶中的水只有 ,则 m 的值为( 8 A.7 B.8 C.9 ) D.10

5.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一年内,根据预算得羊皮手 51 x 8? + (x>0).则当年广告费投入______万 套的年利润 L 万元与广告费 x 万元之间的函数解析式为 L = -? 2 ?2 x ? 元时,该公司的年利润最大. 6. 一片森林原来面积为 a, 计划每年砍伐一些树, 且每年砍伐面积的百分比相等, 当砍 伐到面积的一半时, 1 所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为 4 原来的 2 . 2

(1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?

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