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【配套K12】2018年高考数学专题突破练6圆锥曲线定点定值最值范围探索性问题文

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小初高试卷教案类

专题突破练(6)
一、选择题

圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题
2

1.设 AB 为过抛物线 y =2px(p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( A.

)

p
2

B.p D.无法确定

C.2p 答案 C

解析 当弦 AB 垂直于对称轴时|AB|最短,这时 x= ,∴y=±p,|AB|min=2p. 2 2.已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+ 4 12 |PA|的最小值为( A.4 C.8 答案 D 解析 注意到 P 点在双曲线的右支上,且双曲线右焦点为 F′(4,0),于是由双曲线定义 得|PF|-|PF′|=2a=4,故|PF|+|PA|=2a+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=9,当且仅当 A、 ) B.6 D.9

p

x2

y2

P、F′三点共线时等号成立.
3.[2016·哈三中模拟]直线 l 与抛物线 C:y =2x 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若 2 直线 OA,OB 的斜率 k1,k2 满足 k1k2= ,则 l 一定过点( 3 A.(-3,0) C.(-1,3) 答案 A 解析 设直线 l 的方程为 x=my+b,联立直线和抛物线的方程得?
? ?x=my+b, ?y =2x, ?
2 2

)

B.(3,0) D.(-2,0)

整理得

y2-2my-2b=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1y2=-2b,y1+y2=2m,故 y1y2 x1x2=(my1+b)·(my2+b)=m2y1y2+mb(y1+y2)+b2=-2bm2+2bm2+b2=b2.因为 k1k2= = x1x2
-2b 2 = ,解得 b=-3,故 l 的横截距为定值-3,即 l 一定过点(-3,0). b2 3 4.[2017·贵州遵义联考]设 P,Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆 +y =1 上的点, 10 即 P,Q 两点间的最大距离是( A.5 2 C.6 2 答案 C 解析 解法一:设 Q(x,y),-1≤y≤1. 因为圆 x +(y-6) =2 的圆心为 T(0,6),半径 r= 2, K12 小学初中高中
2 2 2 2

x2

2

) B. 46+ 2 D.7+ 2

小初高试卷教案类

则|QT|= x + y-

2

2



-y

2

+ y-

2



? 2?2 -9?y+ ? +50≤5 2,当 y ? 3?

2 =- 时取等号,所以|PQ|max=5 2+ 2=6 2.故选 C. 3 解法二:设 Q( 10cosθ ,sinθ ),圆心为 M,由已知得 M(0,6), 则|MQ|= 10cosθ -
2



θ -

2

= 10cos θ +sin θ -12sinθ +36 = -9sin θ -12sinθ +46 = 2?2 ? -9?sinθ + ? +50 3? ?
2

2

2

≤5 2

?当sinθ =-2时取等号?, ? ? 3 ? ?
故|PQ|max=5 2+ 2=6 2. 5.[2016·贵阳摸底]已知椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P 在 C 上且 4 3 直线 PA2 的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线 PA1 的斜率的取值范围是( )

x2 y2

?1 3? A.? , ? ?2 4? ?1 ? C.? ,1? ?2 ?
答案 B

?3 3? B.? , ? ?8 4? ?3 ? D.? ,1? ?4 ?

解析 解法一: 设 P(x, y), 直线 PA1, PA2 的斜率分别为 k1, k2, 易知 A1(-2,0), A2(2,0), 3?1- ? y y y2 3 3 ? 4? 则有 k1k2= · = = 2 =- , 因为-2≤k2≤-1, 所以 k1>0 且-2≤- ≤ x+2 x-2 x2-4 x -4 4 4k1 3 3 3 -1,即 1≤ ≤2,解得 ≤k1≤ .故选 B. 4k1 8 4

?

x2?

K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 解法二:设直线 PA2 的斜率为 k2,令 k2=-1,则直线 PA2 的方程为 y=-(x-2),代入 2 ?2 12? 2 椭圆方程并整理得 7x -16x+4=0,解得 x1=2,x2= ,从而可得点 P 的坐标为? , ?,于 7 ?7 7 ? 12 -0 7 3 3 是直线 PA1 的斜率 k1= = .同理,令 k2=-2,可得 k1= .结合选项知,选项 B 正确. 2 4 8 +2 7 6.[2016·山西运城调研]已知 A,B 为抛物线 y =2px(p>0)上的两动点,F 为其焦点, 且满足∠AFB=60°,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线,垂足为 N,|MN|=λ |AB|,则 λ 的最大值为( A.1 C. 3 3 ) B. 2 3 3
2

D.2

答案 A

解析 过点 A,B 作准线的垂线,垂足分别为 D,C,因为 M 为线段 AB 的中点,BC∥AD, 1 1 所以|MN|= (|BC|+|AD|),又因为|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,所以|MN|= (|BF|+|AF|), 2 2 又 |MN| = λ |AB| ,所以 2λ |AB| = |AF| + |BF| ,两边平方得 4λ |AB| = |AF| + |BF| + 2|AF||BF|,即 4λ =
2 2 2 2 2 2 2

|AF| +|BF| +2|AF||BF| 2 2 .在△ABF 中,由余弦定理得|AB| =|AF| + 2 |AB|
2 2 2 2

2

2

|BF| - 2|AF||BF|·cos60° , 即 |AB| = |AF| + |BF| - |AF||BF| , 所 以 4λ



|AB| +3|AF||BF| 2 2 2 ,由|AB| =|AF| +|BF| -|AF||BF|≥2|AF||BF|-|AF||BF|=|AF||BF|, 2 |AB| |AB| +3|AF||BF| |AB| +3|AB| 故 |AB| ≥|AF||BF| ,所以 4λ = ≤ = 4 ,因为 λ >0 ,所以 2 2 |AB| |AB|
2 2 2 2 2

0<λ ≤1,故 λ 的最大值为 1.故选 A. 二、填空题 7.已知双曲线的中心在原点,右顶点为 A(1,0),点 P 在双曲线的右支上,点 M(m,0)到 直线 AP 的距离为 1,若 AP 的斜率为 k 且|k|∈? K12 小学初中高中

? 3 ? , 3?,则实数 m 的取值范围是________. ?3 ?

小初高试卷教案类 2 3? ?2 3 ? ? 答案 ?-1,1- ?∪? +1,3? 3 ? ? 3 ? ? |mk-k| 解析 直线 AP 的方程为 y=k(x-1),k≠0,即 kx-y-k=0,由 =1,得|m-1| 2 1+k = 1 ? 3 ? 1+ 2.∵|k|∈? , 3?, k ?3 ? ∴ 2 3 ≤|m-1|≤2, 3

2 3? ?2 3 ? ? 解得 m∈?-1,1- ?∪? +1,3?. 3 3 ? ? ? ? 8.过抛物线 y =8x 上的任意一点为圆心作与直线 x+2=0 相切的圆,这些圆必过一定 点,则定点的坐标是________. 答案 (2,0) 解析 抛物线的焦点为 F(2,0),准线 l 的方程为 x=-2,即 x+2=0,又抛物线上任意 一点到 F 与到准线 l 的距离相等,所以这些圆一定过焦点 F(2,0). 9.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 4 3 → → OP·FP的最大值为________. 答案 6 → 2 x2 y2 0 0 ? x0? 2 解析 由题意,得 F(-1,0),设点 P(x0,y0),则有 + =1,解得 y0=3?1- ?.因为FP 4 3 ? 4? → → → x2 0? x2 0 ? 2 =(x0+1,y0),OP=(x0,y0),所以OP·FP=x0(x0+1)+y0=x0(x0+1)+3?1- ?= +x0+3, ? 4? 4 → → 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当 x0=2 时,OP·FP取 2 得最大值 +2+3=6. 4 三、解答题 10.[2016·西工大附中模拟]在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离 1 心率 e= ,且过点(0, 3),椭圆 C 的长轴的两端点为 A,B,点 P 为椭圆上异于 A,B 的动 2 点,定直线 x=4 与直线 PA,PB 分别交于 M,N 两点.
2 2

x2 y2

x2 y2 a b

K12 小学初中高中

小初高试卷教案类

(1)求椭圆 C 的方程; (2)在 x 轴上是否存在定点经过以 MN 为直径的圆?若存在,求定点坐标;若不存在,说 明理由.

c a -b 1 ? ?e2= 2= 2 = , a a 4 解 (1)由题意,可得? 2 ? ?b =3,
∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3

2

2

2

? ?a =4, 解得? 2 ?b =3, ?

2

x2 y2

(2)∵a=2,∴A(-2,0),B(2,0),设 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,P(x0,y0), 则 k1= ,k2= , x0+2 x0-2
2 2

y0

y0

4-x0 ? x0? 3?1- ? 3· 2 4 y0 3 ? 4? k1k2= 2 = 2 = 2 =- . x0-4 x0-4 x0-4 4 由 lPA:y=k1(x+2),知 M(4,6k1),由 lPB:y=k2(x-2),知 N(4,2k2), ∴MN 的中点为 G(4,3k1+k2). 1 2 2 2 2 ∴以 MN 为直径的圆的方程为(x-4) +(y-3k1-k2) = (6k1-2k2) =(3k1-k2) . 4 令 y=0,得 x -8x+16+9k1+6k1k2+k2=9k1-6k1k2+k2, 化简得 x -8x+16+12k1k2=0. 3 ? 3? 2 将 k1k2=- 代入,得 x -8x+16+12×?- ?=0, 4 ? 4? 即 x -8x+7=0,解得 x=7 或 x=1. ∴在 x 轴上存在定点(1,0),(7,0)经过以 MN 为直径的圆. 11.[2016·吉林模拟]已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A,左 焦点为 F1(-2,0),点 B(2, 2)在椭圆 C 上,直线 y=kx(k≠0)与椭圆 C 交于 E,F 两点,直 线 AE,AF 分别与 y 轴交于点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在 x 轴上是否存在点 P, 使得无论非零实数 k 怎样变化, 总有∠MPN 为直角?若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)解法一:设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0).
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 因为椭圆的左焦点为 F1(-2,0),所以 a -b =4. 设椭圆的右焦点为 F2(2,0),已知点 B(2, 2)在椭圆 C 上, 由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a, 所以 2a=3 2+ 2=4 2,所以 a=2 2,从而 b=2. 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4
2 2

x2 y2

x2 y2 解法二:设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b
因为椭圆的左焦点为 F1(-2,0),所以 a -b =4.① 4 2 因为点 B(2, 2)在椭圆 C 上,所以 2+ 2=1.②
2 2

a

b

由①②解得 a=2 2,b=2. 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)因为椭圆 C 的左顶点为 A,则点 A 的坐标为(-2 2,0). 因为直线 y=kx(k≠0)与椭圆 + =1 交于 E,F 两点,设点 E(x0,y0)(不妨设 x0>0), 8 4 则点 F(-x0,-y0).

x2 y2

x2 y2

y=kx, ? ? 2 2 联立方程组?x y + =1, ? ?8 4
所以 x0= 2 2 1+2k
2

8 2 消去 y 得 x = 2. 1+2k 2 2k 1+2k
2

,y0=

.

所以直线 AE 的方程为 y= (x+2 2). 2 1+ 1+2k 因为直线 AE 与 y 轴交于点 M,令 x=0, 2 2k ? ? 2 2k 得 y= ,即点 M?0, 2?. 2 1+ 1+2k ? 1+ 1+2k ? 2 2k ? ? 同理可得点 N?0, 2?. ? 1- 1+2k ? 假设在 x 轴上存在点 P(t,0),使得∠MPN 为直角, → → 则MP·NP=0, -2 2k -2 2k 2 2 即t+ × =0,即 t -4=0, 2 2 1+ 1+2k 1- 1+2k 解得 t=2 或 t=-2. 故存在点 P(2,0)或 P(-2,0),使得无论非零实数 k 怎样变化,总有∠MPN 为直角. 12.[2017·安徽联考]已知抛物线 C:y =2px 经过点 M(2,2),C 在点 M 处的切线交 x 轴 于点 N,直线 l1 经过点 N 且垂直于 x 轴.
2

k

K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 (1)求线段 ON 的长; (2)设不经过点 M 和 N 的动直线 l2:x=my+b 交 C 于点 A 和 B,交 l1 于点 E,若直线 MA,

ME,MB 的斜率依次成等差数列,试问:l2 是否过定点?请说明理由.
解 (1)由抛物线 C:y =2px 经过点 M(2,2),得 2 =4p,故 p=1,抛物线 C 的方程为 1 2x
2 2

y2=2x. C 在第一象限的图象对应的函数解析式为 y= 2x,则 y′=
.

1 1 故 C 在点 M 处的切线斜率为 ,切线的方程为 y-2= (x-2). 2 2 令 y=0,得 x=-2,所以点 N 的坐标为(-2,0),故线段 ON 的长为 2. (2)l2 恒过定点(2,0),理由如下: 由题意可知直线 l1 的方程为 x=-2. 因为 l2 与 l1 相交,所以 m≠0. 由 l2:x=my+b,令 x=-2,得 y=- 故 E?-2,-

b+2 , m

? ?

b+2? . m ? ?
? ?x=my+b, ?y =2x ?
2

设 A(x1,y1),B(x2,y2).由?
2

消去 x,

得 y -2my-2b=0,则 y1+y2=2m,y1·y2=-2b. 直线 MA 的斜率为

y1-2 y1-2 2 = 2 = , x1-2 y1 y1+2
2 -2 2

同理,直线 MB 的斜率为

y2+2



b+2 2+ m 直线 ME 的斜率为 . 4
因为直线 MA,ME,MB 的斜率依次成等差数列,

b+2 2+ m 2 2 b+2 所以 + =2× =1+ , y1+2 y2+2 4 2m


y1+y2+ =1+ y1+y2 +y1y2+4

4-y1y2 b+2 =1+ , y1+y2 +y1y2+4 2m

b+2 b+2 整理得 = . 2m-b+2 2m
因为 l2 不经过点 N,所以 b≠-2,所以 2m-b+2=2m,即 b=2, 故 l2 的方程为 x=my+2,即 l2 恒过定点(2,0).

x2 2 13.[2017·正定月考]已知椭圆 C: 2+y =1(a>0),过椭圆 C 右顶点和上顶点的直线 l a

K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 2 2 2 与圆 x +y = 相切. 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 M 是椭圆 C 的上顶点,过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆 C 于 A,B 两点,设这两条 直线的斜率分别为 k1,k2,且 k1+k2=2,证明:直线 AB 过定点. 解 (1)∵直线 l 过点(a,0)和(0,1), ∴直线 l 方程为 x+ay-a=0, 2 2 2 ∵直线 l 与圆 x +y = 相切, 3 ∴

a
1+a

2



6 2 ,解得 a =2, 3

∴椭圆 C 的方程为 +y =1. 2 (2)证明: 当直线 AB 的斜率不存在时, 设 A(x0, y0), 则 B(x0, -y0), 由 k1+k2=2, 得 + -y0-1 =2,得 x0=-1.

x2

2

y0-1 x0

x0

当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y=kx+m(m≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),

x ? ? +y2=1, ?2 ? ?y=kx+m
得 x1+x2=

2

? (1+2k )x +4kmx+2m -2=0,
2

2

2

2

-4km 2m -2 2,x1·x2= 2, 1+2k 1+2k

k1+k2=2?
?

y1-1 y2-1 + =2 x1 x2 x1+ kx1+m- x2x1 x2
=2,
2

kx2+m-

即(2-2k)x2x1=(m-1)(x2+x1)? (2-2k)(2m -2)=(m-1)(-4km). 由 m≠1,(1-k)(m+1)=-km? k=m+1, 即 y=kx+m=(m+1)x+m? m(x+1)=y-x. 故直线 AB 过定点(-1,-1). 14.[2016·贵阳检测]已知抛物线 C:y =2px(p>0),O 为坐标原点,F 为抛物线的焦点, 已知点 N(2,m)为抛物线 C 上一点,且|NF|=4. (1)求抛物线 C 的方程; → → → → (2)若直线 l 过点 F 交抛物线于不同的两点 A,B,交 y 轴于点 M,且MA=aAF,MB=bBF,
2

a,b∈R,对任意的直线 l,a+b 是否为定值?若是,求出 a+b 的值;否则,说明理由.
解 (1)因为|NF|=4,由抛物线的定义知 xN+ =4, 2

p

即 2+ =4,所以 p=4. 2 K12 小学初中高中

p

小初高试卷教案类 所以抛物线 C 的方程为 y =8x. (2)显然直线 l 的斜率存在且一定不等于零, 设其方程为 x=ty+2(t≠0), 则直线 l 与 y 2? ? 轴交点为 M?0,- ?.
2

?

t?

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由?
?x=ty+2, ? ? ?y =8x
2 2

消去 x 得 y -8ty-16=0,
2

2

所以 Δ =(-8t) -(-64)=64(t +1)>0,y1+y2=8t,y1y2=-16. → → 2? ? 由MA=aAF,得?x1,y1+ ?=a(2-x1,-y1),

?

t?

x1 ty1+2 2 2 所以 a= =- =-1- ,同理可得 b=-1- , 2-x1 ty1 ty1 ty2 a+b=?-1- ?+?-1- ?=-2- ty1? ? ty2? ?
-1.

?

2?

?

2?

y1+y2 16t =-2+ =-1.所以 a+b 为定值 ty1y2 16t

K12 小学初中高中


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