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2018版高中数学(人教A版)必修5同步教师用书:必修5 第2章 2.3 第2课时 等差数列前n项和的综合应用

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第 2 课时 等差数列前 n 项和的综合应用 1.掌握 an 与 Sn 的关系并会应用.(难点) 2.掌握等差数列前 n 项和的性质及应用.(重点) 3.会求等差数列前 n 项和的最值.(重点、易错点) [基础· 初探] 教材整理 等差数列前 n 项和的性质 阅读教材 P44 例 3~P45,完成下列问题. 1.Sn 与 an 的关系 ?S1,?n=1? an=? ?Sn-Sn-1.?n≥2? 2.等差数列前 n 项和的性质 (1)等差数列{an}中, 其前 n 项和为 Sn, 则{an}中连续的 n 项和构成的数列 Sn, S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,?构成等差数列. (2)数列{an}是等差数列?Sn=an2+bn(a,b 为常数). 3.等差数列前 n 项和 Sn 的最值 (1)若 a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或 0),所以将这些项相加 即得{Sn}的最小值. (2)若 a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或 0),所以将这些项相加 即得{Sn}的最大值. 特别地,若 a1>0,d>0,则 S1 是{Sn}的最小值;若 a1<0,d<0,则 S1 是{Sn} 的最大值. 1.下列说法中正确的有________(填序号). ?Sn? (1)若 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和,则数列? n ?也是等差数列. ? ? (2)在等差数列{an}中,当项数 m 为偶数 2n 时,则 S 偶-S 奇=an+1. (3)若 a1>0,d<0,则等差数列中所有正项之和最大. (4)在等差数列中,Sn 是其前 n 项和,则有 S2n-1=(2n-1)an. Sn d 1 【解析】 (1)正确.因为由等差数列前 n 项和公式知 n =2n+a1-2d,所以 Sn 数列 n 为等差数列. (2)错误.当项数 m 为偶数 2n 时,则 S 偶-S 奇=nd. (3)正确.由实数的运算可知该说法正确. ?a1+a2n-1??2n-1? (4)正确.因为 S2n-1= 2 = 2n-1 2 [an+(1-n)d+an+(n-1)d] =(2n-1)an. 【答案】 (1)(3)(4) 2.一个有 11 项的等差数列,奇数项之和为 30,则它的中间项为________. 【解析】 由条件知 a1+a3+a5+a7+a9+a11=30, 又∵a1+a11=a3+a9=a5+a7,∴a5+a7=2a6=10, ∴中间项 a6=5. 【答案】 5 3.等差数列{an}中,S2=4,S4=9,则 S6=________. 【解析】 由 S2,S4-S2,S6-S4 成等差数列, ∴4+(S6-9)=2×5,∴S6=15. 【答案】 15 4. 已知数列 {an} 的通项公式是 an = 2n - 48 ,则 Sn 取得最小值时, n 为 ________. 【解析】 由 an≤0 得,2n-48≤0,n≤24, ∴当 n=23 或 24 时,Sn 最小. 【答案】 23 或 24 [小组合作型] 由数列的前 n 项和 Sn 求 an 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2+2n,求这个数列的通项公式.这 个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 【精彩点拨】 【自主解答】 1(n>1), 根据 Sn=a1+a2+?+an-1+an 与 Sn-1=a1+a2+?+an- 1 1 1 可知,当 n>1 时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2+2(n

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