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高中数学 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系素材 新人教A版必修2

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点、线、面典例解析 平面的基本性质与推论主要有:公理 1、公理 2 和公理 3、公理 4 及三个推论,它们是确 定平面、判定直线或交线的基本依据.为方便记忆,公理 1 可以简化成“两点定线” ,它是判 定一条直线是否在某个平面内的依据(只要在直线上找出两个点在该平面内即可) ;公理 2 可 简化为“窥一点知全线” ,它是寻找两个平面交线的依据;公理 3 可简化成“三点定面” (强 调不共线) ,它是确定平面的根本方法,后面的几个推论本质上都源于此.而公理 4 体现了直 线平行的传递性,且这种平行关系不受直线条数的限制,它是证明或判定两直线平行的主要 依据.应用公理 4 证明两条直线平行主要是要找出第三条直线与前两条直线平行. 例 1 已知在平面外,且, , ,求证:三点共线. 解析:如图 1,只需要证明都在平面与所在平面的交线上即可. ,平面,则点平面,且, 故点 P 在平面与平面的交线上,即. 同理可证也在平面与平面的交线上,即, 因此三点共线(都在 l 上) . 例 2 如图 2,与三条边对应平行,且两个三角形不全等,证明三对对应顶点的连线相交 于一点. 解析: ,由推论 3 知可确定平面, 同理, 则和可分别确定平面?茁、?酌, 而且与不全等,则. 由,若交点为, 则. 又, ,则; ,则; 所以点在上,即,这样点在上,即三对对应顶点的连线相交于一点. 注:证明三条直线交于一点,可先设出两条直线的交点,然后证明此点在第三条直线上. 例 3 求证两两相交且不过一点的四条直线必在同一个平面内. 解析:可首先由两条相交直线确定一个平面,再证明其余直线都在该平面内即可,分两 类情况:有三条直线共点;任何三条直线都不共点. (1)如图 3,设直线相交于点,直线和分别交于三点,直线确定平面为, 则, , , , , 由公理 1, ,则(即) , ,则. 由, ,则,则, 所以都在平面内. (2) 如图 4, 若中任何三条直线都不共点, 设, , , , , , 直线确定平面为, 则, , 都在内 (即) , 同理,由, 则,即,同理. 综上所述,都在平面内. 我们知道,空间平面是无限延展的,因此它们可以将各自所在的空间一分为二,于是我 们有下面的问题:空间中的三个平面可以将整个空间分成多少个部分?此题可以借助三视图 (见图 5,其中五个图形均以直线代替平面) ,得到 4、6、7、8 部分. 例4 正方体各面所在平面将空间分成几部分? 解析:若从整体考虑难于处理.难点在于平面是无限延展的.类比“平面上一条直线把 这个平面分成两部分”与“空间内一个平面把空间分成两部分”之间的联系,从三视图中的 俯视图考虑:平面、平面、平面、平面就变为直线、直线、直线、直线,正方体变成正方形 (参考思维流程示意图 6) .由于平面是无限延展的,则“平面无限延展”类比“直线无限延 伸” ,可以将正方形延展为“井”字,因此侧面所在平面将空间分成 9 部分.两个互相平行的 平面又将“井”字分成三层,所以正方体各面所在平面将空间分成 27 部分. 例 5 如图 1,在长方体中,分别是的中点,求证: . 证明:连结,在长方体中, 有, ∴四边形是平行四边形,∴. 在中,分别是的中点, ∴.由公理 4 知, . 点评:判断两条直线平行的基本方法是分别寻找与这两条直线平行的第三条直线,再 利用平行线的传递性就能证得这两条直线平行. 例 6 如图 2,在空间四边形中,分别 是四边形边上的点,且满足. 求证:四点共面且四边形为平行四边形. 证明:∵, ∴,且. ∴,即. 又∵, ∴,且. ∴, 即. ∴,且. ∴共面且四边形为平行四边形. 点评:要证明四点共面,只需证明直线与直线平行即可,这也是平行四边形所必需的, 因此,问题就转化为利用直线平行的传递性,寻找第三条直线分别与所求两条直线平行. 例 7 在平面几何中,经过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行,这个结论在 空间中是否成立? 解:在空间中这个结论也成立.下面用反证法证明: 假设结论在空间中不成立,那么过直线 a 外一点有两条直线 b、c 与 a 平行,即有.由 平行公理 4 知, ,这与 b、c 有公共点矛盾. 所以,该结论在空间仍然成立. 点评:一般情况下,要把平面几何中的结论推广到立体几何中,需要经过证明才能使 用,千万不能盲目套用. 总结:本题采用了反证法,其步骤为: (1)反设———否定结论; (2)归谬———由所作假设出发连同已知条件,通过推理,导出矛盾; (3)矛盾的产生是由于所作假设的错误,所以原命题正确. 像这种以线代面、以点代线的方法在立体几何中经常使用,从思维角度体现了化归与转 化思想.前三个例题都只用到平面的基本性质与推论,最后一道例题则结合了前面学习的三 视图的思想方法,应注意在学习中前后知识的连贯性,不可把知识点孤立化,那样就太模式 化或程式化了,很难学好数学.

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