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双曲线及其标准方程_图文

时间:2018-12-20

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反比例函数的图像 双曲线交通结构可缓拥堵

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罗兰导航系统原理

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1.了解双曲线标准方程的推导过程. 2.能根据条件熟练求出双曲线的标准方程. 3.掌握双曲线的定义与标准方程.

一.复习提问:
1、椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距的
2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹. 和 等于常数
Y

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)

2、椭圆的两种标准方程:
定 义 y
M

|MF1|+|MF2|=2a

y
F2
M

图 形

F1

o

F2

x

o
F1

x

焦点及位置 判定 标准方程

焦点F1 (?c,0), F2 (c,0)
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

焦点F1 (0,?c ), F2 (0, c )
y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

a,b,c之间
的关系

a>b>0,a2=b2+c2

一.复习提问:
1、椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
Y

2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹.

M ? x, y ?

|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|) F1?? c, 0 ? 思考问题:

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

1.了解双曲线标准方程的推导过程. 2.能根据条件熟练求出双曲线的标准方程. 3.掌握双曲线的定义与标准方程.

观察演示过程中的变量和不变量。

1、画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线

观察画双曲线的过程思考问题
1.在作图的过程中哪些量是定量? 哪些量是不定量? 2.动点在运动过程中满足什么条件? 3.这个常数与|F1F2|的关系是什么? 4.动点运动的轨迹是什么? 5.若拉链上被固定的两点互换, 则出现什么情况?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗?

2、双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; M ② |F1F2|=2c ——焦距.

符号表示:
||MF1| - |MF2||=常数(小于|F1F2|)
注意
F
1

o

F

2

(1)距离之差的绝对值

| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|大于0

0<2a<2c

【思考1】如何理解双曲线的定义?
【剖析】“常数要小于|F1F2|且大于 0” 这一条件可以用

“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.“差的绝对值”这
条件是因为当|MF1|<|MF2|或|MF1|>|MF2|时,点 P 的轨迹为 双曲线的一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中 应为“差的绝对值”.

【思考2】说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形?
(F1、F2是两定点, |MF1|-|MF2| =2a, |F1F2| =2c (0<a<c) 当|MF1|-|MF2|=2a时,点M的轨迹 双曲线的右支 当|MF2|-|MF1|=2a时,点M的轨迹 双曲线的左支
F2





若2a=2c,动点M 的轨迹 以F1、F2为端点的两条射线 ; M 不存在 F1c,动点M 若2a>2 的轨迹 F 2 .
F1

M 线段F1F2的垂直平分线 若2a=0,动点M的是轨迹_______________________.

因此,在应用定义时,首先要考查 2a与2c的大小

.

当堂训练
1.动点P到点M(-1,0)的距离与到点N(1,0)的距 离之差为2,则点P轨迹是( D )

A.双曲线
C.两条射线

B.双曲线的一支
D.一条射线

y 求曲线方程的步骤: 1.建系 以F1,F2所在的直线为x轴,线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系

3、 双曲线标准方程推导
M

2.设点. . 设M(x , y),则F1(-c,0),F 2(c,0) 3.限式 4.代换 5.化简

F

1

O

F

2

x

|MF1| - |MF2|=±2a
即 ( x ? c) ? y
2 2

? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2

y
M

代数式化简得:
x

F

1

O

F

2

(c ? a ) x ? a

2

2

2

2

y ? a (c ? a )
2 2 2

2

可令:c2-a2=b2 代入上式得:b2x2-a2y2=a2b2 此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程

即: x a

2 2

y ? b

2

2

?( 1 a ? 0, b ? 0)

其中c2=a2+b2

y
M F O
1

若建系时,焦点在y轴上呢?
y

F2

x F ( ±c, 0) F(0, ± c)

O

x

y2 x2 ? 2 ?( 1 a ? 0, b ? 0) 2 a b 练习:写出以下双曲线的焦点坐标 x2 y2 x2 y 2 ( 1 ) ? ? 1, (2) ? ? ?1 16 9 16 9

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上? (二次项系数为正,焦点在相应的轴上)

双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定 义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

方 程

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

焦 点

F(±c,0) F(0,±c)

F(±c,0) F(0,±c)

a.b.c的关系

a>b>0, c2=a2-b2 a最大

a>0,b>0,但a不一定大于b, c2=a2+b2 c最大

共性:
1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题;

2、两者的定点都是焦点;
3、两者定点间的距离都是焦距。 区别:

椭圆是距离之和;
双曲线是距离之差的绝对值。

当堂训练:
x2 y2 1.已知方程 表示椭圆,则 ? ?1 m ?1 2 ? m

m

的取值范围是____________.
解: ?m ? 1 ? 0

m 的取值范围? 若此方程表示双曲线, 解: ( m ? 1)(2 ? m) ? 0 ? m ? 1或m ? 2
2.“ab<0”是方程 ax2+by2=1 表示双曲线 的( C )条件
A.必要不充分 C.充要 B.充分不必要 D.既不充分也不必要

3 ? ? 1 ? m ? 2且m ? ?2 ? m ? 0 2 ?m ? 1 ? 2 ? m ?

3.已知下列双曲线的方程:
y 2 x2 (1) ? ? 1 则a= 3 b= 4 c= 5 焦点坐标为(0,-5),(0,5) 9 16

(2) x ? 3 y ? 3 则a= 3 b= 1 c= 2 焦点坐标为(-2,0),(2,0)

2

2

4.写出适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)a=4,b=3,焦点在x轴上; (2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,-5) 利用定义得2a= ||MF1|-|MF2||
4 (3)a=4,过点(1, 10) 3

分类讨论

15 (4)焦点在x轴上,且过P(- 2,- 3),Q( , 2). 3

由题可设双曲线的方程为:mx2 ? ny2 ? 1(m ? 0, n ? 0)
15 (4)变式:过P(- 2,- 3),Q( , 2). 3

由题可设双曲线的方程为:mx2 ? ny 2 ? 1(mn ? 0)

轨迹问题
例:已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9, 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨 迹方程.
解:设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A 和B,根据两圆外切的条件,

|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|

这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2.根 据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2 的距离大,与C1的距离小),这里a=1,c=3,则b2=8,设点M 的坐标为(x,y),其轨迹方程为:

变式训练: 已知B(-5,0),C(5,0)是三
3 角形ABC的两个顶点,且 sin B ? sin C ? sin A, 5

求顶点A的轨迹方程。

解:在△ABC中,|BC|=10, 3 ? sin B ? sin C ? sin A, 53 3 ? AC ? AB ? BC ? ? 10 ? 6 ? 10 5 5 故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支 又因c=5,a=3,则b=4
x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?3) 则顶点A的轨迹方程为 9 16

变2:已知 F1 (?5, 0), F2 (5, 0) , 动点 P 到 F 、F2 的 1 距离之差的绝对值为6,求点 P 的轨迹方程. 解:由双曲线的定义知点 P的轨迹是双曲线.因为 双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b ?2c=10 ?a ? 3 由已知 ? ,? ? ,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 25 ? 9 ? 16 ?2a=6 ?c ? 5

x2 y 2 ?1 所求双曲线的方程为: ? 9 16

小结 ----双曲线定义及标准方程
定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象

F1

o

F2

x
F1

x

方程 焦点
a.b.c 的关 系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

c ?a ?b
2


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