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2016年春苏教版高中数学选修2-1课件:第2章 圆锥曲线与方程 6.2_图文

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第2章—— 2.6.2 求曲线的方程 [学习目标] 1. 掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法,熟悉求曲线方 程的五个步骤. 2.掌握求轨迹方程的几种常用方法. 栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测 挑战自我,点点落实 重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功 预习导学 挑战自我,点点落实 [知识链接] 求曲线方程要“建立适当的坐标系”,这句话怎样理解. 答:坐标系选取的适当,可使运算过程简化,所得方程也 较简单,否则,如果坐标系选取不当,则会增加运算的烦 杂程度. 2.6.2 求曲线的方程 4 [预习导引] 1.平面解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程. (2)通过方程,研究平面曲线的性质. 2.求曲线(图形)的方程一般有下面几个步骤 (1)建立 适当的坐标系 ,用有序实数对(x,y)表示曲线上任 意一点M的坐标. (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}. 2.6.2 求曲线的方程 5 (3)用 坐标 表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0. (4)化方程f(x,y)=0为 最简形式 . (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 3.求曲线方程(轨迹方程)的常用方法有 直接法 、代入法 、定 义法、参数法、待定系数法. 2.6.2 求曲线的方程 6 课堂讲义 重点难点,个个击破 要点一 直接法求曲线方程 例1 已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到l的距离是2. 一条曲线也在 l的上方,它上面的每一点到 F的距离减去到 l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程. 解 如图所示,取直线l为x轴,过点F且垂直 于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy. 2.6.2 求曲线的方程 7 设点M(x,y)是曲线上任意一点,作MB⊥x轴,垂足为B, 那么点M属于集合P={M|MF-MB=2}. 由两点间的距离公式,点 M 适合的条件可表示为 x2+?y-2?2-y=2, ① 将①式移项后两边平方,得x2+(y-2)2=(y+2)2, 1 2 化简得 y=8x . 2.6.2 求曲线的方程 8 因为曲线在x轴的上方,所以y>0. 虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线, 1 2 所以曲线的方程应是 y=8x (x≠0). 2.6.2 求曲线的方程 9 规律方法 直接法是求轨迹方程的最基本的方法,根据所 满足的几何条件,将几何条件 {M|p(M)} 直接翻译成 x , y 的 形式F(x,y)=0,然后进行等价变换,化简为f(x,y)=0.要 注意轨迹上的点不能含有杂点,也不能少点,也就是说曲 线上的点一个也不能多,一个也不能少. 2.6.2 求曲线的方程 10 跟踪演练 1 已知在直角三角形 ABC 中,角 C 为直角,点 A(-1,0),点B(1,0),求满足条件的点C的轨迹方程. 解 如图,设C(x,y), → → 则AC=(x+1,y),BC=(x-1,y). → → → → ∵C 为直角,∴AC⊥BC,即AC· BC=0. ∴(x+1)(x-1)+y2=0. 化简得x2+y2=1. 2.6.2 求曲线的方程 11 ∵A、B、C三点要构成三角形, ∴A、B、C不共线,∴y≠0, ∴点C的轨迹方程为x2+y2=1(y≠0). 2.6.2 求曲线的方程 12 要点二 定义法求曲线方程 例2 已知圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦, 求所作弦的中点的轨迹方程. 解 如图,设OQ为过O点的一条弦, P(x,y)为其中点, 则CP⊥OQ,设M为OC的中点, 1 则 M 的坐标为(2,0). 2.6.2 求曲线的方程 13 ∵∠OPC=90°, 1 ∴动点 P 在以点 M(2,0)为圆心,OC 为直径的圆上, 12 2 1 由圆的方程得(x-2) +y =4(0<x≤1). 2.6.2 求曲线的方程 14 规律方法 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义, 则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程 .利用定义法 求轨迹要善于抓住曲线的定义特征. 2.6.2 求曲线的方程 15 跟踪演练2 已知定长为6的线段,其端点A、B分别在x轴、 y轴上移动,线段AB的中点为M,求M点的轨迹方程. 解 作出图象如图所示, 1 根据直角三角形的性质可知 OM=2AB=3. 所以M点的轨迹为以原点O为圆心,以3为半径的圆, 故M点的轨迹方程为x2+y2=9. 2.6.2 求曲线的方程 16 要点三 代入法求曲线方程 例3 已知动点M在曲线x2+y2=1上移动,M和定点B(3,0) 连线的中点为P,求P点的轨迹方程. 解 设P(x,y),M(x0,y0), ∵P为MB的中点. ? x0+3 ? ?x= 2 , ∴? ? y0 y= 2 , ? ? ? ?x0=2x-3, 即? ? ?y0=2y, 17 2.6.2 求曲线的方程 又∵M在曲线x2+y2=1上, ∴(2x-3) +4y 2 2 ? 3? 1 ? ?2 2 =1,即?x-2? +y =4. ? ? ∴P ? 3? 1 ? ?2 2 点的轨迹方程为?x-2? +y =4. ? ? 2.6.2 求曲线的方程 18 规律方法 代入法求轨迹方程就是利用所求动点 P(x,y)与 相关动点Q(x0,y0)坐标间的关系式,且Q(x0,y0)又在某已 知曲线上,则可用所求动点P的坐标(x,y)表示相关动点 Q 的坐标(x0,y0),即利用x,y表示x0,y0,然后把x0,y0代入 已知曲线方程即可求得所求动点P的轨迹方程. 2.6.2 求曲线的方程 19 跟踪演练3 已知圆C:x2+(y-3)2=9.过原点作圆C的弦OP, 求OP的中点Q的轨迹方程. 解 方法一(

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