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考点43 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

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温馨提示: 此题库为 Word 版,请按住 Ctrl, 滑动鼠标滚轴,调节合适的观 看比例,关闭 Word 文档返回原板块。 考点 43 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 一、解答题 x2 y E 1.(2014·安徽高考文科·T21)设 F , 分别是椭圆 : ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 F 1 2 a 2 b2 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点, | AF 1 |? 3| BF 1| (1) 若 | AB |? 4, ?ABF2 的周长为 16,求 | AF2 | ; (2) 若 cos ?AF2 B ? 2 3 ,求椭圆 E 的离心率. 5 【解题提示】 (1) 利用椭圆的定义求解; (2) 设 | BF1 |= k , 用 k 表示 | AF2 | 、 | BF2 | 利用余弦定理解 D ABF2 得出等腰 RtD AF1F2 ,从而得到 a,c 的关系式。 【解析】 (1)由 | AF , | BF1|=1 ,因为 D ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定 1 |= 3| BF 1|,|AB|=4 ,得 | AF 1 |= 3 义可得 4a = 16,| AF 1 | + | AF 2 |=2a=8 ,故 | AF 2 | =2a- | AF 1|=8-3=5 。 (2)设 | BF1 |= k ,则 k>0,且 | AF 1 |= 3k ,| AB |= 4k , 由椭圆定义可得 | AF 2 | =2a - 3k ,| BF 2 |=2a - k , 在 D ABF2 中,由余弦定理可得 | AB |2 =| AF2 |2 + | BF2 |2 - 2 | AF2 | .| BF2 | cos ? AF2 B, (4k) = (2a - 3k ) + (2a - k ) 即 2 2 2 6 (2a - 3k )(2a - k ) , 5 化简可得 (a + k )(a - 3k ) = 0 ,而 a+k>0,故 a=3k,于是有 | AF2 |= 3k =| AF1|, | BF2 |=5k , 因 此 |B 2 F |= 2 2 | A2 F +| 2 |轣 A B| 1 , D AF F 2 A故 F A 1 F2 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 从 而 c= 2 a? e 2 c 2 = 。 a 2 2 2 2.(20 14·安徽高考理科·T19)如图,已知两条抛物线 E1 : y ? 2 p1 x? p1 ? 0?和 E2 : y ? 2 p2 x? p2 ? 0? , 过原点 O 的两条直线 l1 和 l 2 , l1 与 E1 , E2 分别交于 A1 , A2 两点, l 2 与 E1 , E2 分别交于 B1 , B2 两点. (1)证明: A 1B 1 / / A2 B2 ; (2)过原点 O 作直线 l (异于 l1 , l 2 )与 E1 , E2 分别交于 C1 , C2 两点。记 ?A1B1C1 与 ?A2 B2C2 的面积分别为 S1 与 S2 ,求 S1 的值. S2 [来源:学*科*网] 【解题提示】 (1)设出两条直线的方程,联立抛物线方程,求出点 A1 , A2 , B1 , B2 的坐标,利用向量证明 平行关系; (2)利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解。 【解析】 (1)设直线 l1 , l2 的方程分别为 y = k1 x, y = k2 x,(k1 , k2 ? 0) ,则 由í ì ì 2 p1 2 p1 2p 2p ? y = k1 x ? y = k1 x ,由 ? A ( , ) ? A2 ( 22 , 2 ) , í 2 1 2 2 k1 k1 k1 k1 ? ? ? y = 2 p1 x ? y = 2 p2 x 2 p1 2 p1 2p 2p , ),B2 ( 22 , 2 ) , 2 k2 k2 k2 k2 2 p1 2 p1 2 p1 2 p1 1 1 1 1 - 2, , ) = 2 p1 ( 2 - 2 , - ) , 2 k2 k1 k2 k1 k2 k1 k2 k1 同理可得 B1 ( 所以 A1 B1 = ( ???? ? ????? ? 2p 2p 2p 2p 1 1 1 1 A2 B2 = ( 22 - 22 , 2 , 2 ) = 2 p2 ( 2 - 2 , - ) k2 k1 k2 k1 k2 k1 k2 k1 故 A1B1 = ???? ? ? p1 ????? A2 B2 ,所以 A1B1 / / A2 B2 。 p2 (2)由( 1 )知 A A1 B1C1相似于A2 B2,因此 1 B1 / / A2 B2 ,同理可得 B 1C1 / / B2C2 , AC 1 1 / / A2C2 ,所以 D ???? ? ???? ? ? | AB | p ???? ? p ????? S1 p12 S1 | A1B1 | 2 1 1 1 1 A2 B2 知 ?????? = ,故 = 2 = ( ?????? ) ,又由(1)中的 A1B1 = p2 S2 p2 S2 | A2 B2 | | A2 B2 | p2 3. (2014·四川高考理科·T20)已知椭圆 C: 点与长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程; x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 4,其短轴的两个端 a 2 b2 (2) 设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x ? ?3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ; ②当 | TF | 最小时,求点 T 的坐标. | PQ | 【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查数形 结合、划归与转化、分类与整合等数

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