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2017届高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略专题七概率统计1.7.3概率随机变量及其分布列课件理_图文

时间:2017-03-24

第三讲
概率、随机变量及其分布列

【知识回顾】 1.互斥事件、对立事件的概率公式 P(A)+P(B) 1-P(B) (1)P(A∪B)=__________.(2)P(A)=_______. 2.古典概型的概率公式
A中所含的基本事件数 基本事件总数 P(A)= m =____________________. n

3.几何概型的概率公式

P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体积) . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
P ? AB ?

4.条件概率
P ?A? P(B|A)=________.

5.相互独立事件同时发生的概率

P(A)P(B) P(AB)=_________.

6.独立重复试验与二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次
独立重复试验中恰好发生k次的概率为
k k n-k C p (1 - p) Pn(k)=____________ ,k=0,1,2,…,n.用X表示事 n

件A在n次独立重复试验中发生的次数,则x服从二项分
k(1-p)n-k. 布,即X~B(n,p)且P(X=k)= C k p n

7.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件
k n ?k C C 次品,则P(X=k)= M nN?M , k=0,1,2,…,m,其中 CN

m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.此时称随
机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回 抽样,超几何分布中的参数是M,N,n.

8.离散型随机变量的均值、方差

(1)离散型随机变量ξ 的分布列为 ξ
P

x1
p1

x2
p2

x3
p3




xi
pi




n
pn

离散型随机变量ξ 的分布列具有两个性质:

①pi≥0;
②p1+p2+…+pi+…+pn=1(i=1,2,3,…,n).

x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量ξ 的 (2)E(ξ )=_______________________ 数学期望或均值.
2·p +(x -E(ξ ))2·p +…+(x (x -E( ξ )) 1 1 2 2 i D(ξ )=______________________________________ 2·p +…+(x -E(ξ ))2·p E( ξ )) i n n 叫做随机变量ξ 的 _____________________________

方差.

①性质:E(aξ +b)=aE(ξ )+b,D(aξ +b)=a2D(ξ );

②X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p);
X~N(μ ,σ 2),则E(X)=μ ,D(X)=σ 2; ③X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).

【易错提醒】

1.混淆互斥、对立事件:对立事件是互斥事件,但互
斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必 要不充分条件.

2.关注条件:概率的一般加法公式

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B=?,
即A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0.

3.混淆两种概型致误:易混淆几何概型与古典概型,

两者共同点是基本事件的发生是等可能的,不同之处
是几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概型中 基本事件的个数是有限的.

4.注意区分两个事件:注意区分互斥事件和相互独立

事件,互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的两
个事件,相互独立事件是指几个事件的发生与否互不 影响,当然可以同时发生.

【考题回访】 1.(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7:30,8:00,8: 30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班 车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不 超过10分钟的概率是(
1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3

)
3 D. 4

【解析】选B.如图所示,画出时间轴:

小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中,而当他 到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间

不超过10分钟,根据几何概型,所求概率P= 10 ? 10 ? 1.
40 2

2.(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,

x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),
(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的 数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π

的近似值为(
4n A. m 2n B. m

)
4m C. n 2m D. n

【解析】选C.由题意得:(xi,yi)(i=1,2,?,n)在 如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图 所示的阴影中,
? 由几何概型概率计算公式知 4 ? m , 1 n 所以π= 4m . n

3.(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中,每人投3次,至少

投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概
率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学 通过测试的概率为( )

A.0.648

B.0.432

C.0.36

D.0.312

【解析】选A.根据独立重复试验公式得,该同学通过
2 3=0.648. 测试的概率为 C3 0.62×0.4+ C3 × 0.6 3

4.(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明,

一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优
良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随 后一天的空气质量为优良的概率是( )

A.0.8

B.0.75

C.0.6

D.0.45

【解析】选A.设某天空气质量优良,则随后一天空气

质量也优良的概率为p,
则据题有0.6=0.75·p,解得p=0.8.

热点考向一

古典概型、几何概型及条件概型

命题解读:高考对本考向的考查难度不大,主要是考 查古典概型、几何概型公式的应用及条件概率公式的 应用,三种题型都有可能出现.

【典例1】(1)(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中 随机选出2人,则甲被选中的概率为(
1 A. 5 2 B. 5 8 C. 25 9 D. 25

)

(2)(2016·泉州一模)如图,矩形ABCD中,点A在x轴 上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=
? x ? 1, x ? 0, ? 的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点, ? 1 ? x ? 1, x ? 0 ? ? 2

则此点取自阴影部分的概率等于(
A. 1 6 1 B. 4 3 C. 8 1 D. 2

)

(3)一个口袋中装有6个小球,其中红球4个,白球2个. 如果不放回地依次摸出2个小球,则在第1次摸出红球

的条件下,第2次摸出红球的概率为________.

【解题导引】(1)本题属于古典概型的概率计算问题. (2)先求C点的坐标,再求D点与A点的坐标,进而求得

矩形面积与阴影部分图形的面积,代入几何概型概率
公式求解.

(3)先根据题意确定条件概率中的两个事件:“从口袋 中摸出2个小球,第1次摸出红球”——这是前提,

“从口袋中摸出2个小球,第1次摸出红球,第2次摸出
的也是红球”,求出相应的基本事件个数,然后代入 古典概型的概率计算公式求值,最后代入条件概率的

计算公式求值即可.

【规范解答】(1)选B.把5名同学依次编号为甲乙丙丁 戊,基本事件空间Ω ={甲乙,甲丙,甲丁,甲戊,乙

丙,乙丁,乙戊,丙丁,丙戊,丁戊},包含基本事件
总数n=10.设A表示事件“甲被选中”,则A={甲乙,甲 丙,甲丁,甲戊},包含基本事件数m=4.所以概率为P=
4 2 ? . 10 5

? x ? 1, x ? 0, (2)选B.因为f(x)= ? B点坐标为(1,0), ? 1 ? x ? 1, x ? 0, ? ? 2

所以C点坐标为(1,2),D点坐标为(-2,2),A点坐标 为(-2,0),故矩形ABCD的面积为2×3=6,阴影部分
3 的面积为 1 ×3×1= 3 ,故 P ? 2 ? 1 . 2 2 6 4

(3)设“第1次摸出红球”为事件A,“第2次摸出红球” 为事件B,则“第1次和第2次都摸出红球”为事件AB,

所求事件为B|A.

事件A发生的概率为P(A)= 4 ? 2 ,
6 3

事件AB发生的概率为P(AB)= 4 ? 3 ? 2 .
6 5 5

由条件概率的计算公式可得,所求事件的概率为
2 P ? AB ? 5 3 P?B | A? ? ? ? . 2 5 P ?A? 3 答案:3 5

【一题多解】本题还可用以下方法求解: 因为已知第一次摸出的球为红球,故第二次摸球等价

于从3个红球、2个白球中任取一个球,故所求概率P=
3 3 = . 3? 2 5

答案:3
5

【方法规律】 1.利用古典概型求概率的关键及注意点

(1)关键:正确求出基本事件总数和所求事件包含的基
本事件总数,这常常用到排列、组合的有关知识. (2)注意点:对于较复杂的题目计数时要正确分类,分

类时应不重不漏.

2.几何概型的适用条件及求解关键 (1)适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、

体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解.

(2)求解关键:构成试验的全部结果的区域和事件发生 的区域的寻找是关键,有时需要设出变量,在坐标系

中表示所需要的区域.

3.条件概率的求法
P AB (1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)= ? ? . P?A?

这是通用的求条件概率的方法.
(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事 件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基

本事件数,即n(AB),得P(B|A)=

n ? AB ? n ?A?

.

【题组过关】 1.(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境,从红、黄、白、紫4

种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种
花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花 坛的概率是(
A. 1 3 B. 1 2

)
C. 2 3 D. 5 6

【解析】选C.将4种颜色的花任选2种种在花坛中,余 下的2种花种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色
2 和紫色的花不在同一花坛的种数有4种,故概率为 . 3

2.已知a∈{-2,0,1,3,4},b∈{1,2},则函数 f(x)=(a2-2)x+b为增函数的概率是(
2 A. 5 3 B. 5 1 C. 2 3 D. 10

)

【解析】选B.因为f(x)=(a2-2)x+b为增函数,所以a22>0,又a∈{-2,0,1,3,4},所以a∈{-2,3,4},

又b∈{1,2},所以函数f(x)为增函数的概率是 3 .
5

3.(2016·山东高考)在[-1,1]上随机地取一个数k, 则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率

为______.

【解析】若直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,则有圆 心到直线的距离d=
5k k2 ?1 ? 3,

3 3 - ( - ) 3 3 即 - ? k ? , 所以所求概率 P ? 4 4 ? 3. 4 4 1-(- 1) 4

答案: 3
4

【加固训练】1.(2016·贵阳二模)若k∈[-3,3],则k 的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆(x-k)2+y2=2

相切的概率等于(
A. 1 2 1 B. 3

)
2 C. 3 3 D. 4

【解析】选C.由题可知点在圆外,过该点可作两条直 线与圆相切.故使圆心与点A的距离大于半径即可,即

(1-k)2+1>2,解得k<0或k>2,所以所求k∈[-3,0)
4 2 ∪(2,3],所求概率P= = . 6 3

2.(2016·唐山一模)甲、乙、丙三个车床加工的零件 分别为350个、700个、1050个,现用分层抽样的方法

随机抽取6个零件进行检验.

(1)求从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的件数. (2)从抽取的6个零件中任意取出2个,已知这2个零件

都不是甲车床加工的,求其中至少有一个是乙车床加
工的概率.

【解析】(1)由抽样方法可知,从甲、乙、丙三个车床 中抽取的零件数分别为1,2,3.

(2)记抽取的6个零件为a1,b1,b2,c1,c2,c3.

事件“这2个零件都不是甲车床加工的”可能结果为 (b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),

(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),
共10种可能;

事件“其中至少有一个是乙车床加工的”可能结果为 (b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),

(b2,c2),(b2,c3),共7种可能.
故所求概率为P=0.7.

热点考向二 概率

互斥事件、对立事件及相互独立事件的

命题解读:互斥事件、对立事件常与古典概型相结合
考查,相互独立事件主要考查事件同时发生的概率的 求法,难度不大,各种题型都有可能出现.

【典例2】(1)某个部件由两个 电子元件按如图方式连接而成,

元件1或元件2正常工作,则部件正常工作,设两个电
子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立.那

么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________.

(2)(2016·昆明一模)在一块耕地上种植一种作物,每 季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上

的产量均有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg) 概率 300 0.5 500 0.5

作物市场价格(元/kg) 概率

6 0.4

10 0.6

①设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分 布列;

②若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少
有2季的利润不少于2000元的概率.

【解题导引】(1)由题意可知,只要元件1和元件2中有 一个正常工作,则该部件就能正常工作,故可利用互

斥事件的概率公式求解.

(2)①利用“利润=产量×市场价格-成本”,计算出不 同的利润,再求出各自的概率即可列出分布列;②由

①可知第i季利润不少于2000元的概率,将问题转化为
独立重复试验概率求解问题.

【规范解答】(1)由正态分布知元件1,2的平均使用寿 命为1000小时,设元件1,2的使用寿命超过1000小时

分别记为事件A,B,显然P(A)=P(B)= 1 , 所以该部件的
2

使用寿命超过1000小时的事件为 A B ? A B ? AB,所以其 概率P= 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 .
2 2 2 2 2 2 4

答案: 3
4

(2)①设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件

“作物市场价格为6元/kg”,
由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4, 因为利润=产量×市场价格-成本,

所以X所有可能的取值为 500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,

300×10-1000=2000,300×6-1000=800.
P(X=4000)=P( A )P( B )=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, P(X=2000)=P( A )P(B)+P(A)P( B )

=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,

P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 所以X的分布列为 X P 4 000 0.3 2 000 0.5 800 0.2

②设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2, 3),

由题意知C1,C2,C3相互独立,由①知,
P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000) =0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),

3季的利润均不少于2000元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;

3季中有2季利润不少于2000元的概率为
P(C1C2C3 )+P(C1 C2C3 )+P(C1C2 C3 )

=3×0.82×0.2=0.384,

所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率 为0.512+0.384=0.896.

【母题变式】1.若将本例(1)中部件构成图变为如图, 其中元件3服从的正态分布与元件1,元件2相同,

元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正

常工作,则结果如何?

【解析】设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事 件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)= 1 , 所以该
2

部件的使用寿命超过1000小时的事件为:

? AB ? AB ? AB? C,
所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
1 1 1 1 1 1 1 3 P=( ? ? ? ? ? ) ? ? . 2 2 2 2 2 2 2 8

2.若将本例(1)的条件变为一个电路如图所示,A,B, C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率都是 1 , 且是相
2

互独立的,则灯亮的概率是多少?

【解析】设A与B中至少有一个不闭合的事件为T,E与F 至少有一个不闭合的事件为R,C,D不闭合的事件分别

为C,D,则P(T)=P(R)= 1 ? 1 ? 1 ? 3 , 所以灯亮的概率
4 P=1-P(T)·P(R)·P(C)·P(D)= 55 . 64 2 2

【方法规律】求复杂事件概率的方法及注意点 (1)直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转

化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事
件同时发生的积事件或一独立重复试验问题,然后用 相应概率公式求解.

(2)间接法:当复杂事件正面情况比较多,反面情况较 少,则可利用其对立事件进行求解.对于“至少”“至

多”等问题往往也用这种方法求解.
(3)注意点:注意辨别独立重复试验的基本特征:①在 每次试验中,试验结果只有发生与不发生两种情况;

②在每次试验中,事件发生的概率相同.

【题组过关】

1.(2016·南昌二模)现有编号从一到四的四个盒子,
1 甲把一个小球随机放入其中一个盒子,但有 的概率 5

随手扔掉,然后让乙按编号顺序打开每一个盒子,直

到找到小球为止(或根本不在四个盒子里).假设乙打开

前两个盒子没有小球,则小球在最后一个盒子里的概 率为(
1 A. 2

)
1 B. 3 1 C. 4 1 D. 5

【解析】选B.不妨在原有的4个盒子的基础上增加一 个盒子,且第5个盒子不能打开,

小球被随手扔掉可看做放入第5个盒子.
此时小球在第五个盒子里的概率都是 1 , 由于小球不
5

在第一、第二个盒子里,

就只能在第三、四、五个盒子里,又因为在每个盒子 里的概率相等,
1 所以这个小球在最后一个盒子里的概率为 . 3

2.(2016·贵阳一模)在某中学举办的校园文化周活动 中,从周一到周五的五天中,每天安排一项内容不同

的活动供学生选择参加,要求每位学生必须参加三项
活动,其中甲同学必须参加周一的活动,不参加周五 的活动,其余三天的活动随机选择两项参加,乙同学

和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加.

(1)求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的 概率.

(2)设X表示甲、乙、丙三名同学选择周三的活动的人
数之和,求X的分布列.

【解析】(1)设A表示事件“甲同学选周三的活动”, B表示事件“乙同学选周三的活动”,则P(A)=
2 C1 C 2 3 2 4 = ,P ? B ?= 3 = . 2 C3 3 C5 5

因为事件A,B相互独立, 所以甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的

概率为 P ? AB?=P ? A ? P ? B ?= 2 ? (1 ? 3 )= 4 .
3 5 15

(2)设C表示事件“丙同学选周三的活动”,则
C2 3 4 P(C)= 3 = . X的可能取值为0,1,2,3. C5 5

1 2 2 4 P(X=0)=P(A ?B? C)= ? ? = , 3 5 5 75 P(X= 1)=P(A ?B?C)+P(A ?B? C)+P(A ?B? C) 2 2 2 1 3 2 1 2 3 4 = ? ? + ? ? + ? ? = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 15

P(X=2)=P ABC +P ABC +P ABC 2 3 2 2 2 3 1 3 3 11 = ? ? + ? ? + ? ? = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 25 2 3 3 6 P(X=3)=P ? ABC ?= ? ? = . 3 5 5 25

?

? ?

? ?

?

所以X的分布列为

【加固训练】1.现有10道题,其中6道甲类题,4道乙 类题,张同学从中任选3道题作答.已知所选的3道题中

有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的
4 3 概率都是 ,答对每道乙类题的概率都是 , 且各题答 5 5

对与否相互独立,则张同学恰好答对2道题的概率为

__________.

【解析】设张同学答对甲类题的数目为x,答对乙 类题的数目为y,答对题的总数为X,则X=x+y.

所以P(X=2)=P(x=2,y=0)+P(x=1,y=1)=
3 2 4 3 3 4 57 1 C ? ( ) ? (1- )+C2 ? ? (1- ) ? = . 5 5 5 5 5 125 答案: 57 125
2 2

2.(2016·汉中二模)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某
3 1 个用人单位的职位,3人能被选中的概率分别为 2 , ,, 5 4 3

且各自能否被选中互不影响.
(1)求3人同时被选中的概率. (2)3人中有几人被选中的情况最容易出现?

【解析】记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A,B, C,则 P ? A ?= 2 ,P ? B ?= 3 ,P ? C ?=1 .
5 4 3

(1)3人同时被选中的概率为
P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= 2 ? 3 ? 1 = 1 .
5 4 3 10

(2)3人中有2人被选中的概率为P2=
2 3 1 2 3 P(ABC ? ABC ? ABC)= ? ? (1- )+ ? (1- ) ? 5 4 3 5 4 1 2 3 1 23 +(1- ) ? ? = . 3 5 4 3 60

3人中只有1人被选中的概率为
2 3 1 P3=P(ABC ? ABC ? ABC)= ? (1- ) ? (1- ) 5 4 3 2 3 1 2 3 1 5 +(1- ) ? ? (1- )+(1- ) ? (1- ) ? = . 5 4 3 5 4 3 12

3人均未被选中的概率为P4= P ? ABC ?
2 3 1 1 =(1- ) ? (1- ) ? (1- )= . 5 4 3 10

由于P3>P2>P1=P4,即P3最大.
综上可知,3人中只有1人被选中的情况最容易出现.

热点考向三

离散型随机变量的分布列

命题解读:离散型随机变量的分布列、均值、方差和

概率的计算问题常常结合在一起进行考查,试题类型
有选择题,也有填空题,但更多的是解答题,难度中 档.

命题角度一

超几何分布

【典例3】(2016·兰州一模)袋中装有大小相同的8个

小球,其中5个白球的编号分别为1,2,3,4,5,3个
黑球的编号分别为1,2,3,从袋中任意取出3个球.

(1)求取出的3个球编号都不相同的概率. (2)记X为取出的3个球中编号的最大值,求X的分布列

与数学期望.
(3)记每次取出的3个球所得的分数为Y,其中Y=2X+1(X 为取出的3个球中编号的最大值),求Y的数学期望.

【解题导引】(1)因为一共取出3个球,故由题意可知 编号都不相同的对立事件是3个球中有两个球的编号相

同,所以先利用排列、组合知识求出所求事件的对立
事件的概率,然后转化为所求即可.(2)先根据小球编 号情况确定X的所有可能取值,分析其每个值对应事件

的性质和类型,利用排列、组合的知识求出相应的概

率,然后列表即得分布列,最后代入数学期望的计算 公式求值即可.(3)根据两个变量之间的关系确定两个

变量的数学期望之间的关系,然后直接利用(2)的结果
表示所求.

【规范解答】(1)记“取出的3个球编号都不相同”为 事件A,“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事

件B,则由题意知,事件A与事件B互为对立事件.
事件B表示从3对编号相同的小球中选取一对,再从其
1 C1 C 余的6个小球中任选一个即可,故P(B)= 3 3 6 ? 9 . C8 28 所以P(A)=1-P(B)= 1 ? 9 ? 19 . 28 28

(2)由题意,知X表示取出的3个球中编号的最大值, 故X的所有可能取值为2,3,4,5.
1 1 2 C2 C ? C 4 1 2 2 2C2 P ? X ? 2? ? ? ? , 3 C8 56 14 2 2 1 C1 C ? C C 16 2 P ? X ? 3?= 2 4 3 2 4 = = , C8 56 7 2 1 2 C1 C C 15 21 3 1 6 1C7 P ? X ? 4 ? ? 3 ? ,P ? X ? 5 ? ? 3 ? ? . C8 56 C8 56 8

所以X的分布列为

故其数学期望为E(X)= 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 15 ? 5 ? 3 ? 221 .
14 7 56 8 56

(3)由已知得Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=
2? 221 249 ?1 ? . 56 28

命题角度二

与独立重复试验有关的分布列

【典例4】(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”

参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,
在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分; 如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都

没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率

是 3, 乙每轮猜对的概率是 2 ; 每轮活动中甲、乙猜对
4

3

与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参

加两轮活动,求:
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率. (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).

【解题导引】(1)要弄清“至少猜对3个”所包含的事 件.

(2)找全两轮得分之和为X的可能值,然后计算每种可
能值的概率.

【规范解答】(1)由题意,“星队”至少猜对3个成语 包含“甲对一乙对二”与“甲对二乙对一”“甲乙全

对”,
3 1 3 2 1 2 2 2 2 1 所以p ? C ? ? ? C2 ( ) ? C2 ? ( ) ? C2 ? 4 4 3 4 3 2 1 1 1 2 2 3 2 2 2 2 ? ? C2 ( ) C2 ( ) ? ? ? ? . 3 4 3 6 4 4 3
1 2

(2)“星队”两轮得分之和X的可能值为:0,1,2,3, 4,6.

可得随机变量X的分布列为

【规律方法】求解随机变量分布列问题的两个关键点 (1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变

量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类
概率公式求概率.

(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量 的分布列.若随机变量服从二项分布,则可直接使用公

式法求解.

【题组过关】 1.(2016·平顶山二模)随着人口老龄化的到来,我国

的劳动力人口在不断减少,“延迟退休”已经成为人
们越来越关注的话题,为了了解公众对“延迟退休” 的态度,某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取

了50人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表:

年龄 [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) 人数 4 5 8 5 3 年龄 [45,50) [50,55) [55,60) [60,65) [65,70) 人数 6 7 3 5 4

年龄在[25,30),[55,60)的被调查者中赞成人数分 别是3人和2人,现从这两组的被调查者中各随机选取2

人,进行跟踪调查.

(1)求年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都是赞 成的概率.

(2)求选中的4人中,至少有3人赞成的概率.
(3)若选中的4人中,不赞成的人数为X,求随机变量X 的分布列和数学期望.

【解析】(1)设“年龄在[25,30)的被调查者中选取
2 C3 的2人都是赞成”为事件A,所以 P(A) ? 2 ? 3 . C5 10

(2)设“选中的4人中,至少有3人赞成”为事件B,
所以
2 1 1 1 2 2 2 C3 C2C1 C1 C C C 1 3 2 2 3 C2 P(B) ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? . C5 C3 C5 C3 C5 C3 2

(3)X的可能取值为0,1,2,3.
2 2 C3 1 所以P(X=0)= 2 C2 ? , 2 C5 C3 10

1 2 2 1 1 C1 C C ? C 2 3 2 2 3 C 2 C1 P ? X ? 1? ? ? , 2 2 C5 C3 5 2 1 1 1 1 C2 C ? C 13 2 2 3C 2 C 2 C1 P ? X ? 2? ? ? , 2 2 C5 C3 30 1 1 C2 C 1 2 2 C1 P ? X ? 3? ? 2 2 ? . C5 C3 15

所以X的分布列是

所以E(X)= 0 ? 1 ? 1? 2 ? 2 ? 13 ? 3 ? 1 ? 22 .
10 5 30 15 15

2.(2016·芜湖二模)2015年12月6日宁安高铁正式通车 后,极大地方便了沿线群众的出行生活.小明与小强都

是在芜湖工作的马鞍山人,他们每周五下午都乘坐高
铁从芜湖返回马鞍山.因为工作的需要,小明每次都要 在15:30至18:30时间段出发的列车中任选一车次乘

坐;小强每次都要在16:00至18:30时间段出发的列

车中任选一车次乘坐.(假设两人选择车次时都是等可 能地随机选取)

(1)求2016年1月8日(周五)小明与小强乘坐相同车次回 马鞍山的概率.

(2)记随机变量X为小明与小强在1月15日(周五),1月
22日(周五),1月29日(周五)这3天中乘坐的车次相同 的次数,求随机变量X的分布列与数学期望.

附:2016年1月1日至1月31日每周五下午芜湖站至马鞍 山东站的高铁时刻表. 车次 G7174 G7178 D5606 D5608 G7088 芜湖发车 13:37 15:05 15:37 17:29 18:29 到达马鞍山东 14:02 15:24 16:02 17:48 18:48 耗时 25分钟 19分钟 25分钟 19分钟 19分钟

【解析】(1)设“2016年1月8日(周五)小明与小强两人 乘坐同一趟列车回马鞍山”为事件A,由题意,小明可

选择的列车有3趟,小强可选择的列车有2趟,其中两
人可以同时乘坐的有2趟.
1 C 所以P(A)= 1 2 1 ? 1. C3 ?C 2 3

(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
1 由题,X~ B(3, ). 3

1 0 2 3 8 P ? X ? 0? ? C ( ) ( ) ? , 3 3 27 4 1 1 1 2 2 P ? X ? 1? ? C3 ( ) ( ) ? , 3 3 9 2 2 1 2 2 1 P ? X ? 2 ? ? C3 ( ) ( ) ? , 3 3 9 1 3 1 3 2 0 P ? X ? 3 ? ? C3 ( ) ( ) ? . 3 3 27
0 3

随机变量X的分布列为:

8 4 2 1 1 E ? X ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1(或E ? X ? ? 3 ? ? 1). 27 9 9 27 3

【加固训练】(2016·湛江二模)甲、乙两人轮流投 篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一

直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每
次投篮投中的概率为 1 ,乙每次投篮投中的概率为 1 ,
3
2

且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率.

(2)求投篮结束时甲的投篮次数ξ 的分布列与期望.

【解析】设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中, 则P(Ak)= 1 , P(Bk)= 1 (k=1,2,3).
3
2

(1)记“甲获胜”为事件C,
则P(C)= P ? A1 ? ? P(A1 B1A2 ) ? P(A1 B1 A2A3 )
1 2 1 1 2 1 1 13 ? ? ? ? ? ( )2 ? ( )2 ? ? . 3 3 2 3 3 2 3 27

(2)投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1,2,3
1 2 1 2 P(? ? 1) ? P ? A1 ? ? P A1B1 ? ? ? ? , 3 3 2 3 P(? ? 2) ? P(A1 B1A 2 ) ? P(A1 B1 A 2 B2 ) 2 1 1 2 2 1 2 2 ? ? ? ? ( ) ?( ) ? . 3 2 3 3 2 9 2 2 1 2 1 P(? ? 3) ? P(A1 B1 A 2 ) ? ( ) ? ( ) ? , 3 2 9

?

?

ξ的分布列为

期望
2 2 1 13 E(?) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 3 9 9 9


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