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最新高中数学苏教版选修2-2课件:第二章 推理与证明 2.2.1_图文

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精品数学课件













2.2.2 间接证明



阶 段 二

业 分 层 测



1.理解反证法的思考过程和特点,会运用反证法证明简单数学问题. (重点、难点) 2.利用反证法证明时,对结论的假设否定.(易错点)

[基础·初探] 教材整理 间接证明 阅读教材 P85“例 1”以上部分,完成下列问题. 1.间接证明: (1)定义:不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立,这种不是直接证明的 方法通常称为间接证明. (2)常用方法:反证法.

2.反证法
(1)基本过程: 反证法证明时,要从 否定结论 开始,经过 正确的推理 ,导致 逻辑矛盾 , 从而达到 新的否定 (即肯定原命题).

(2)证题步骤:

1.判断正误: (1)反证法属于间接证明问题的一种方法.( ) (2)反证法的实质是否定结论导出矛盾.( ) (3)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( ) (4)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设应该是至少 两个钝角.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√

2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 60°”时,正确的 反设是____.
【导学号:01580047】
【解析】 “至少有一个角不大于 60°”的否定为“所有三角形的内角均大于 60°”.
【答案】 假设三个内角均大于 60°

[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1:________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问2:________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问3:________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________

[小组合作型] 利用反证法证明否定性命题
(1)用反证法证明:“若方程 ax2+bx+c=0,且 a,b,c 都是奇数, 则方程没有整数根”,正确的假设是方程存在实数根 x0 为________.
(2)已知三个正整数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求证: a, b, c不成等差数列.

【自主解答】 (1)要证明的结论是“方程没有整数根”,故应假设:方程存 在实数根 x0 为整数.
【答案】 整数

(2)假设 a, b, c成等差数列,则 a+ c=2 b, 即 a+c+2 ac=4b. 又 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac, 即 b= ac, 所以 a+c+2 ac=4 ac, 所以 a+c-2 ac=0,即( a- c)2=0, 所以 a= c,从而 a=b=c, 所以 a,b,c 可以成等差数列,这与已知中“a,b,c 不成等差数列”相矛盾. 原假设错误,故 a, b, c不成等差数列.

1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性 命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法.

2.反证法证明问题的一般步骤

[再练一题] 1.(2016·晋州高二检测)设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和. 求证:数列{Sn}不是等比数列. 【证明】 假设数列{Sn}是等比数列,则S22=S1S3, 即a21(1+q)2=a1·a1(1+q+q2), 因为a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 即q=0,这与公比q≠0矛盾. 所以数列{Sn}不是等比数列.

用反证法证明存在性问题
已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于14.
【精彩点拨】 “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立 面为“全部大于”.
【自主解答】 假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于14. ∵a,b,c∈(0,1), ∴1-a>0,1-b>0,1-c>0.

∴?1-2a?+b≥ ?1-a?b> 14=12. 同理?1-2b?+c>12,?1-2c?+a>12. 三式相加得 ?1-2a?+b+?1-2b?+c+?1-2c?+a>32, 即32>32,矛盾. 所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于14.

应用反证法常见的“结论词”与“反设词”

当命题中出现“至多”“至少”等词语时,直接证明不易入手且讨论较复杂.

这时,可用反证法证明,证明时常见的“结论词”与“反设词”如下:

结论词

反设词

至少有一个 一个也没有

至多有一个 至少有两个
至少有n个 至多有n-1个 至多有n个 至少有n+1个

结论词
对所有x 成立
对任意x 不成立
p或q p且q

反设词
存在某个 x0不成立 存在某个 x0成立 綈p且綈q
綈p或綈q

[再练一题] 2.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中 至少有一个是负数. 【证明】 假设a,b,c,d都是非负数, 因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1. 又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd, 所以ac+bd≤1, 这与已知ac+bd>1矛盾, 所以a,b,c,d中至少有一个是负数.

[探究共研型]
利用反证法证明唯一性命题 探究1 反证法解题的实质是什么? 【提示】 否定结论、导出矛盾,从而证明原结论正确. 探究2 应用反证法推出矛盾的推导过程中,可以把下列哪些作为条件使用
________. ①结论的反设;②已知条件;③定义、公理、定理等;④原结论. 【提示】 反证法的“归谬”是反证法的核心,其含义是从命题结论的假设
(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发,引用一系列论据进
行正确推理,推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果. 【答案】 ①②③

已知直线m与直线a和b分别交于A,B两点,且a∥b.求证:过a,b, m有且只有一个平面.
【精彩点拨】 “有且只有”表示“存在且惟一”,因此在证明时,要分别 从存在性和惟一性两方面来考虑.

【自主解答】 因为a∥b, 所以过a,b有一个平面α. 又因为m∩a=A,m∩b=B, 所以A∈a,B∈b, 所以A∈α,B∈α. 又因为A∈m,B∈m,所以m?α, 即过a,b,m有一个平面α,如图.

假设过a,b,m还有一个平面β异于平面α, 则a?α,b?α,a?β,b?β,这与a∥b,过a,b有且只有一个平面矛盾. 因此,过a,b,m有且只有一个平面.

用反证法证明惟一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和惟一性.当证 明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时,可先证 “存在性”,由于假设“惟一性”结论不成立易导出矛盾,因此可用反证法证其 惟一性.

[再练一题] 3.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续,且f(a)<0,f(b)>0,且f(x)在[a,b]上 单调递增,求证:f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.
【导学号:01580048】

【证明】 由于 f(x)在[a,b]上的图象连续,且 f(a)<0,f(b)>0,即 f(a)·f(b)<0, 所以 f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为 m,则 f(m)=0. 假设 f(x)在(a,b)内还存在另一个零点 n,即 f(n)=0,则 n≠m. 若 n>m,则 f(n)>f(m),即 0>0,矛盾; 若 n<m,则 f(n)<f(m),即 0<0,矛盾. 因此假设不正确,即 f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.

1.“x=0且y=0”的否定形式为________. 【解析】 “p且q”的否定形式为“綈p或綈q”. 【答案】 x≠0或y≠0

2.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的 否定是_______________________________________________.
【解析】 “至少有一个”的否定是“一个也没有”,故结论的否定是:没 有一个面是三角形或四边形或五边形.
【答案】 没有一个面是三角形或四边形或五边形

3.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b=1;②a+b=2;③a+b>2; ④a2+b2>2.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).
【解析】 假设a,b均不大于1,即a≤1,b≤1. 则①②④均有可能成立,故①②④不能推出“a,b中至少有一个大于1”, 故选③.
【答案】 ③

4.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾, 故假设错误; ②所以一个三角形不能有两个直角; ③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°. 上述步骤的正确顺序为__________.
【解析】 由反证法证明数学命题的步骤可知,上述步骤的顺序应为③①②. 【答案】 ③①②

5.若a,b,c互不相等,证明:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0, cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
【证明】 假设三个方程中都没有两个相异实根, 则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0. 相加得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,(a-b)2+(b-c)2+(c- a)2≤0,∴a=b=c.这与a,b,c互不相等矛盾. ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

我还有这些不足: (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________

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